-

2021年2月12日发(作者：深居简出的意思)

提公因式法（基础）

【学习目标】

1.

了解因式分解的意义

< p>
,

以及它与整式乘法的关系；

2

．

能确定 多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式

.

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成 几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多

项式分解因式

.

要点诠释：

（

1< /p>

）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，

< br>而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式

.

（

2

）要把一个多项式分解到每一个因 式不能再分解为止

.

（

3

）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆< /p>

.

因式分解是一种恒

等变形，而整式乘法 是一种运算

.

要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式

.

要点诠释：

（

1

）公因式必须是每一项中都含有的因式

.

（

2

）公因式可以是一个数，也可以是 一个字母，还可以是一个多项式

.

（

3

）

公因式的确定 分为数字系数和字母两部分：

①公因式的系数是各项系数

的最大 公约数

.

②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的

.

要点三、提公因式法

< p>
把多项式

分解成两个因式的乘积的形式，

其中一个 因式是各项的公因式

m

，另一个因式是

，即

，而

正好是

除以

< br>m

所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

要点诠释：

（

1

） 提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即

.

（

2

）用提 公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式

.

（

3

）当多 项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的

第一项的系数变为正数， 同时多项式的各项都要变号

.

< /p>

（

4

）用提公因式法分解因式时，若多项 式的某项与公因式相等或它们的和

为零，则提取公因式后，该项变为：

< br>“＋

1

”或“－

1

”

，不要把该项漏

掉，或认为是

0

而出现错误

.

【典型例题】

类型一、因式分解的概念

1

、观察下列从左到右的变形：

3

3

2

⑴



6

a

b



2

a

b

< br>





3

ab



；

⑵

ma



mb



c



m

< br>

a



b





c

2

2

2

2

2

2

⑶

6

x



12

xy



6

y



6



x



y

< br>

；

⑷



3

a



2

b



3

a



2

b





9

a



4

b

其中是因式分解的有

（填序号）

【思路点拨】

< p>
根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，

从对象和结 果

两方面去判断．

【答案】

（

3

）

.

【解析】

解：

(1)

的左边不是多项式而是一个单项式，

(2) (4)

的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；

< /p>

只有

(3)

的左边是多项式，右边是整式 的积的形式，所以只有

(3)

是因式分解．

【总结升华】

因式分解是将多项式变成积的形式，

所以等式的左边必须是多项式，

将单项式

拆成 几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．

举一反三：

【变式】

（

2014

•海南）下列式子从左到右变形是因式分解 的是（

）

A.a

+4a

﹣

21=a

（

a+4

）﹣

21

B.a

+4a

﹣

21=

（

< p>
a

﹣

3

）

（

a+7

）

C.

（

a

﹣

3

）

（

a+7

）

=a

+4 a

﹣

21

D.a

+4a

﹣

21=

（< /p>

a+2

）

﹣

25

【答案】

B.

类型二、提公因式法分解因式

2

2

2

2

2

2

、

(1)

多项式

3

x



6

xy



3

< p>
的公因式是

________

；

< br>

(2)

多项式

4

mn



16

m



8

m

的公因式是

________

；

(3)

多项式

x

(

b



c



a

)



y

(< /p>

b



c



a

)



(

< p>
a



b



c

)

的公因式是

______ __

；

(4)

多项式

2(

x

< /p>

3)



x

(3< /p>



x

)

的公因式 是

________

．

【答案】

(1)3 (2)4

m

(3)

b



c



a

(4)

x



3

【解析】

解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．

< /p>

(1)

的公因式就是

3

< br>、

6

、

3

的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不

含字母．公因式为

3.

(2)

公因式的系数是

< br>4

、

16

、

8

的最大公约数，字母部分是

m

． 公因式为

4

m

.

(3)

公因式是（

b



< p>
c



a

）

，为一个多项式因式．

(4)

多项式可变形

2



x



3





x



x



3



，其公因式是

x

< br>

3

．

【总结升华】

确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数 ，

也

可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因 式可变形为公因式．

举一反三：

【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（

）

2



2



2

A

．

x



y

B

．

x



2

x

C< /p>

．

x



y

D

．

x



xy



y

< /p>

2

3

2

2

【答案】

B

；

-

-

-

-

-

-

-

-