提公因式法
-
⑴提公因式法
<
/p>
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的
公因式
。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，
从而将多项式化成
两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做
提公因式法
。
具体方法：
当各项
系数
都是
整数
时，公因式的系数应取各项系数的
最大公约数
；
字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项
式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出
“
-
”
号，使括号内的第一项的系
数成为正
数。
提出
“
< br>-
”
号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留
1
把家守；提
负要变号，变形
看奇偶。
例如：
-
am+bm+cm=-m(a-b-c)
；
a(x
-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
。
注意：把
2a+1/2
变成
2(a+1/4)
不叫提公因式
⑵公式法
如果把
乘法公式
反过来，就可以把某些
多项式分解因式，这种方法叫
公式法
。
平方差
公式
：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
；
完全平方公式
：
a^2±
2ab
＋
b^2
＝
(a±
b
）
^2
；
注意：能运用完全平方公式分解因
式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成
两个数
(
或式
)
的平方和的形式，另一项是这两个数
(
或式
)
的积的<
/p>
2
倍。
立方和公式
：
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
；
立方差公式
：
a^3-b^3=(a-b)
(a^2+ab+b^2)
；
完全立方公式
：
a^3±
3a^2b
＋
3ab^2±
b^3=(a±
b)^3
．
公式：
a+b+c-3abc=(a
+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)
例如：
a
^2+4ab+4b^2
=(a+2b)^2
。
（
3
）分解因式技巧
1.<
/p>
分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.
分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个
因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分
解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考
虑。
3.
提公因式法基本步骤：
（
1
）找出公因式；
（
2
）提公因式并确定另一个因式：
①第一
步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因
式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除
以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的
一个因式，也可用公因式分别除去原多项
式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
[
编辑本段
]
竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组
分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，
三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把
ax
和
ay
分一组，
bx
< br>和
by
分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解
除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1.
5ax+5bx+3ay+3by
解法：
=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把
5ax
和
5bx
看
成整体，
把
3ay
和
< br>3by
看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2.
x^3-x^2+x-1
解法：
=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+
(x-1)
=(x-1)(x^2+1)
利用二
二分法，提公因式法提出
x2
，然后相合轻松解决。
3.
x2-x-y2-y
解法：
=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二
二分法，再利用公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
，然
后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①
x^2+(p+q)x+pq
型的式子的因式分解
< br>
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是
1
；常数项是两个
数的积；一次项系
数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是<
/p>
1
的二次三项式
因式分解：
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
．
②
kx^2+mx+n
型的式子的因式分解
如果有
k=ac
，
n=bd
，且有
ad+bc=m
时，那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
．
图示如下：
a
b
×
c
d
例如：因为
1
-3
×
7
2
-3×
7
=-21
，
1×
2=2
，且
2-21=-19
，
所以<
/p>
7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)
．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开
或填补上互为相反数的两项（或几项），使原
式适合于提公因式法、运用公式法或分组分
解法进行分解。要注意，必须在与原多项
式相等的原则下进行变形。
例如：
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc
(c
-a+a
+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc
(c-a)
+bc(a+b)
+ca(c-a)-ab(a+b
)
=
bc(c-a)+ca(c-a)
+bc(a+b)
-ab(a
+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
．
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平
方式，然后再利用
平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫
配方法
。属于拆项、补项法的一种特殊
情况。也要注意必须在与
原多项式相等的原则下进行变形。
例如：
x^2
+
3x-40
=x^2
+
3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)
．
⑺应用因式定理
对于多项式
f(x)=0
，如果
f(a)=0
，
那么
f(x)
必含有因式
x-a
．
例如：
f(x)=x^2
+
5x+6
，
f(-2)
=0
，则可确定
x+2
是
x^2
+
5x+6
的一个因
式。
(
事实
上，
x^2
+
5x+6=(x+2)(x+3)
< br>．
)
注意：
1
、
对于系数全部是整数的多项式，若
X=q/p
（
p,q
为互质整数时）该多项
式值为零，则
q
为常数项约数，
p
最高
次项系数约数；
2
、对于多项式
f(a)=0,b
为最高次项系数，
c
为常数项，则有
a
为
c/b
约数
⑻换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进
行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意
:
换元后勿忘还元
.
例如在分解
(x^2
+
x+1)(x
^2
+
x+2)-12
时，可以令
y=x^2
+
x,
则
<
/p>
原式
=(y
+
1
)(y
+
2)-12
=y^2
+
3y
+
2-12=y^2
+
3y-10
=(y
+
5)(y-2)
=(x
^2
+
x+5)(x^2
+
x-2)
=(x^2
+
x+5)(x+2)(x-1)
．
也可以参看右图。
⑼求根法