因式分解培优专题
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初三数学因式分解培优专题（一）
一、用提公因式法把多项式进行因式分解
【
知识精读
】
如果多项式的各项有公因式，
根据乘法分配律的逆运算，
可以把这个公因式提到括
号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据
就是乘法分配
律。多项式的公因式的确定方法是：
（
1
）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低
次幂。
（
2
）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【
分类解析
】
1.
把下列各式因式分解
（
1
）
a
2
x
m
2
abx
m
1
< br>acx
m
ax
m
3
（
2
）
a
(
a
b
)<
/p>
3
2
a
2
(
b
a
)
2
2
ab
(
b
< br>
a
)
分析：
（
1
）若多项式的第一项系数
是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第
一项系数是正数，在提出“－”号后，多项
式的各项都要变号。
解：
（
2
）有时
将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当
n
为自
然数时，
(
a
< br>
b
)
2
n
(
b
a
)
2
n
；
(
a
b
)
2
n
1
< br>(
b
a
)
2
n
1
，是在因式分解过程中
常用的因式变换。
解：
2.
利用提公因式法简化计算过程
例：计
算
123
987
268
987
1368
456
987
1368
1368
521
987
< br>1368
分析：
算式中每一项
都含有
987
，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。<
/p>
1368
解：
3.
在多项式恒等变形中的应用
例：不解
方程组
2
x
y
3<
/p>
5
x
3
y
2
，求代数式
(
2
x
y
)(
2
x
3
y
)
3
x
< br>(
2
x
y
)
的值。
分析：
不要求解方程组，我们可以把
2
x
y
和
5
x
3
y
看成整体，它们的值分别是
3
和
2
，
观察代数式，
发现每一项都含有
2
x
y
，
利用提公因式法把代数式恒等变形，
化为含有
2
x
y
和
5
x
3
y
的式子，即可求出结果。
解：
4.
在代数证明题中的应用
例：证明：对
于任意自然数
n
，
3
< br>n
2
2
n
2
3
n
2
n
一定是
10
的倍
数。
分析：
首先利用因式分解把代数
式恒等变形，接着只需证明每一项都是
10
的倍数
即可。
解：
5
、中考点拨：
例
1
。因式分解
3
x
(
x
2
)
(
2
x
)
解：
说明：因式分解时，应先观察有
没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得
到。
例
2
．分解因式：
4<
/p>
q
(
1
p
)
3
2
(
p
1
)
2
解：
<
/p>
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要
注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
举一反三：
1
、分解因式：
（
1
）
4
m
2
n
3<
/p>
12
m
3
n
2
2
mn
（
2
）
a
2
x
n
2
abx
n
1
acx
n
adx
n
1
（
n
为正整数）
（
3
）
a
(
a
b
)<
/p>
3
2
a
2
(
b
a
)
2
2
ab
(
b
< br>
a
)
2
2.
计算：
(
2
)
11
(
2
)
10
的结果是（）
A.
2
100
B.
2
10
C.
2
D.
1
3.
已知
x
、
y<
/p>
都是正整数，且
x
(
x
y
)
y
(
y
<
/p>
x
)
12
，求
x
、
y
。
4.
证明：
81
7
27
9
9
13
能被
45
整除。
二、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：
平方差公式
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
完全平方公式
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
立方和、立方差公式
a
3
b
3
< br>
(
a
b
)
(
a
2
ab
<
/p>
b
2
)
补充：欧拉公式：
a
3
b
3
c
3
3
abc
(
a
b
c<
/p>
)(
a
2
b
2
c
2
ab
bc
ca
)
1
2
(
a
b
c
)[(
a
b
)
2
(
b
c<
/p>
)
2
(
c
a
)
2
]
特别地：（
1
）当
a
b
c
0
时，有
a
3
b
3
< br>c
3
3
abc
（
2
）当
c
0
时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关
键是要弄清各个公式的形式和特点，
熟练地掌握公式。
但
有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，
解方程、
几何综合
题中也有广泛的应用。
因此，
正确掌握公式法因式分解，熟练灵
活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
【分类解析】
1.
把
a
2
2
a
b
2
2
b
分解因式的结果是（）
A.
(
a
b
)
(
a
2
)(
b
2
)
B.
(
a
b
)(
a
b
2
)
C. <
/p>
(
a
b
)(
a
b
)
2
D.
(
a
2
2
b
)(<
/p>
b
2
2
a
)
分析：
a
2
2
a
b
2
2
b
a
2
2
a
1
b<
/p>
2
2
b
1
(
a
1
)
2
(
b
1
)
2
。
再利用平方差公式进行分解，最后得到
(
a
b
)(
a
b
2
)
，故选择
B
。
说明：
解这类题目时，
一般先观察现有项的特征，
通过添加项凑成符合
公式的
形式。同时要注意分解一定要彻底。
2.
在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整
除等方面的应用
例：已知多项式
2<
/p>
x
3
x
2
m
有一个因式是
2
x
1
，求
m
的值。
<
/p>
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法
即可求出
m
的值。
解：
3.
在几何题中的应用。
例：
已知
a
、
b
、
c
是
ABC
的三条边，
且
满足
a
2
b
2
c
2
ab
bc
ac
0
，
试判
断
ABC
的形状。
分析
：因为题中有
a
2
、
< br>b
2
、
ab
，考虑到要用完全平方公式，首先要把
ab
转成
2
ab
。所以两边同乘以
2
，然
后拆开搭配得完全平方公式之和为
0
，从而得解。
解：
4.
在代数证明题中应用
例：两个连续奇
数的平方差一定是
8
的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：
5
、中考点拨：
例
1
：因式分解：
x
3
4
xy
2
______________________
。
说明：因式分解时，先看有没有公
因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分
解彻底。
例
2
：分解因式：
2
x
3
y
<
/p>
8
x
2
y
2
8
xy
3
___________________
___
。
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：
例
1.
已知：
a
1
2
m
1
，
b
1
2
m
2
，
c
1
2
m
< br>
3
，
求
a
2
2
ab
b
2<
/p>
2
ac
c
2
2
bc
的值。