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2021年2月12日发(作者：男大当婚主题曲)

因式分解的常用方法及应用

知识互联网

题型一：因式分解——分组分解法

思路导航

暑期因式分解知识回顾：

1

、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．< /p>

2

、提公因式法：

公因式：多项式各项公共的因式．

用提公因式法进行因式分解要注意下面几点：

⑴

公因式要提尽；

⑵

将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正

.

3

、公式法

把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解．

平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

< p>

完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的

2

倍，等于这两个数的和（或差）的平

方．

例如：对下列各式因式分解：

⑴

12

abc



9

a

2

b

< p>
2

=

. < /p>

⑵

(

x



3)

2



(

x



3)

=

.

⑶

x

3< /p>



xy

2



___________

．

⑷

27< /p>

x

2



18

x



3

=

.

在因式分解的时候，不能采用提公 因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用

分组分解法

.

基础知识

示例剖析

如果整式没有公因式可以提取，也无法直接

用公式分解，则需要分组分解

.

分组 分解法：

将一个多项式分成二或三组，各组

分别分解后，彼此又有公因式或者

可 以用公式，这就是分组分解法

.

分组分解法的基本步骤：

1

、将原式适当分组；

2

、讲分组后的式子分解因式，或

“

提

”

或

“

代

”

；

3

、将经过处理过的式子在分解因式，或

“

提

”

或

“

代

”.

注意事项：

降幂排序

首项为正

拆开重组

瞄准方法

ax



by



bx



ay

例如：



ax



bx



ay



by

K

K

重新分组



< br>x



a



b





y



a



b



K

K

提取公因式





a



b



x



y



K

K

再提取公因式

例题精讲

【引例】

分

解因式

⑴

x

2



xy< /p>



1

2

y



1

< p>

⑵

a

2



a



b

2



b

4

< br>1

2



1



2

1

1



2





< /p>



【解析】

⑴

原式

=



x< /p>



xy



y





1=



x



y



< p>


1





x



y



1



x



y



1



4



2



2

2











1

< p>




2

x



y



2



2

x



y



2



4

⑵

原式

=< /p>

a

2



b

2





a

< p>


b



=



a



b



a



b







a



b







a



b



a



b



< p>
1







典题精练

【例

1

】

⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（

）

①

m

3



m

2



m



1

；

②



4

b

2



9

a

2



6

ac



c

2

；

③

5

x

2



6

y

< /p>



15

x



2

xy



；

④

< p>
x

2



y

2





mx

< br>

my



；

A. 1

个

B. 2

个

C. 3

个

D. 4

个

⑵因式分解：

1



4

x

2



4

y

2



8< /p>

xy

，正确的分组是（

）

A.

1



4

x

2



8

xy



y

2

B.

1



4

x

2



4

y

2



xy

C.



1



8

< p>
xy





4

x

2



4

< br>y

2

D.

1



4

x

2



4

y

2



8

xy

⑶将多项式< /p>

x

2



2

xy



y

2



2

x



2

y



1

< br>分解因式，正确的是（

）

A.



x



y



B.



x



y



1



C.



x



y



1



D.



x



y



1



2

2

2

2























< br>













⑷将多项式

a

3



2

a

2

b



ab

2

< /p>

a

分解因式，正确的是（

）

A.

a

2



ab



a

< /p>

a



b



1



B.

a



a



b



1



a



b



1

< p>


C.

< p>
a

a

2



2

ab



b

< br>2



1

D.

a

2



ab



a< /p>

a

2



ab



a

【例

2

】

分解下列因式

⑴

xy



x



y



1

⑵

a

2

b

2



a

2



b

2



1













< br>

⑶

5

a

2

m



15

am



3

abm



9

bm

⑸

a

2



2

ab



b

< p>
2



c

2



2

c



1

【例

3

】

分解因式

⑴

x

(

x



z< /p>

)



y

(

y



z

)

< p>

⑶

ab

(

c

2



d

2

< p>
)



(

a

2



d

2

)

cd

⑷

a

2



b

2



2

ab



1

< p>

⑹

x

3



2

x

2



x



2



x

5



2< /p>

x

4

⑵

ax

(

y

3



b

3

)



by

(

bx

2



a

2

< br>y

)

题型二：因式分解——十字相乘法

思路导航

十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项 式

ax

2



b x



c

，若可以分解，则一定可以

写成

(

a

1

x



c

1

< p>
)(

a

2

x



c

2

)

< br>的形式，它的系数可以写成

a

1

a

2

c

1

，十 字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的

c

2

数，其实就是分解系数

a

，

b

，

c

，使得：

a

1

a

2



a

，

c

1

c

2



c

，

a

1

c

2



a

2

< br>c

1



b

，

x

2



(

a



b

)

x



ab



(

x



a

< p>
)(

x



b

)

.

若

b

2



4

ac

< br>不是一个平方数，那么二次三项式

ax

2



bx



c

< br>就不能在有理数范围内分解

.

建议：

< br>十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过

< p>
下面两个步骤：

⑴

将多 项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式；

⑵

若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成 为整系数，再利用十字相乘法分

解．

这个方法的要领可以概括成

16

个字

“

头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选

”

< br>．

例题精讲

【引例】

分

解下列因式

⑴

x

2



5

x



6

⑵

x

2



5

x



6

⑶

x

2



5

x



6

⑷

x

2



5

x



6

【解析】

⑴

(

x



2) (

x



3)

⑵

(

x



2)(

x



3)

；

x

-2

x

2

x

-3

x

3

⑶

(

x



6)(

x



1)

；

⑷

(

x



6)(

x



1)

x

6

x

-1

x

-6

x

1

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