因式分解经典题目
-
精心整理
第一讲：因式分解一提公因式法
【
知识要点
】
1
、分解因式的概念
把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。
2
、分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是的恒等变形。
3
．分解因式的一些注意点
（
1
）结果应该是的形式；（
< br>2
）必须分解到每个因式都不能为止；
（
3
）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。
4
．公因式
<
/p>
多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的
.
5.
提公因式法
如果多项式的各项有公因式
,
可以把这个公因式提
到括号外面
,
将多项式写成因式乘积的形式
,
这种分解因式的方示叫做
提公因式法
.
6.
确定公因式的方法
(1)
系数公因式
:
应取多项式中各项系数为
;
(2)
字母公因式
:
应取多项式中各项字母为
.
【
学堂练习
】
1.
下列各式从左边到右边的变形
,<
/p>
哪些是分解因式
,
哪些不是
?
1
(1)
x
2
x
x
2
(
1
)
;(2)
a
< br>2
2
b
(
a
5
)(
a
5<
/p>
)
1
x
(3)
(
m
n
)(
m
n
)
m
2
n
< br>2
(4)
x
2
< br>
4
x
4
(
x
2
)
2
(5)
3
x
2
2
xy
x
x
(
3
x
2
y
)
(6)
(
x
3
)(
< br>x
1
)
x
2
2
x
3
2
．把下列各式分解因式
（
1
）
9
a
6
ab
< br>
3
a
2
（
2
）
4
x
4
y
6
x
2
y
3
< br>
2
xy
4
例
1
、把下列各式分解因式
（
1
）
2
a
(
x
2
y
)
< br>
3
b
(
x
2
y
)
（
2
）
2
a
(
x
2
y
)
3
b
(
< br>2
y
x
)
4
c
(
x
2
y
)
（
3
）
2
a
(
x
2
y
< br>)
2
b
(
2
y
x
)
3
（
5
）
(
x
y
)
2
3
(
y
< br>
x
)
3
2
(
y
x
)
4
例
2
．利用分解因式计算
< br>
页脚内容
（
4
）
15
b
< br>(
3
a
b
)
2
2
5
(
b
3<
/p>
a
)
3
（
6
）
(
a
x
)
m
1
(
b
x
)
n
1
(<
/p>
a
x
)
m
(
b
x
)
n
精心整理
2
99
2
98
（
1
）
2
.<
/p>
9
1234
.
5
11
.<
/p>
7
1234
.
5
4
.
6
1234
.<
/p>
5
（
2
）
100
99
2
2
例
3
．已知
a
b
2
,
ab
2
，求代数式
a
2
b
2
a
2
b
2
ab
2
的值。
3
例
4
< br>、
利用因式分解说明：
36
7<
/p>
6
12
能被<
/p>
140
整除。
【
随堂练习
】
1
．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（）
A
、
(
a
1
)(
< br>a
b
)
a
2
a
2
B
、<
/p>
x
2
C
、
x
y
(
x
y
)(
x
< br>y
)
1
1
(
x
)(
x
<
/p>
)
2
y
y
y
D
、
m
(
m
4
)
4
(
m
2
)
2
2<
/p>
．已知二次三项式
2
x
< br>2
bx
c
分解因式
2
(
< br>x
3
)(
x
1
)
，则
b
,
c
的
值为（）
A
、
b
3
,
c
1
B
、
b
6
,
c
2
C
< br>、
b
6
,
c
4
D
、
b
4
,
c
6
3
．下列各式的公因式
是
a
的是（）
A
、
ax
ay
5
B
、
4
ma
<
/p>
6
ma
2
C
、
5
a
2
10
ab
D
、
a
2
4
a
< br>
ma
4
．将
3
a
(
x
y
)
b
(
x
y
)
用提公因式法分解因式，应提出的公因
式是（）
A
、
3
a
b
B
、
3
(
x
y
)
C
、
x
y
D
< br>、
3
a
b
5
．把多项式
< br>m
2
(
a
2
)
m
(
2
a
)
分解因式的结果为（）
A
、
(
a
2
)(
m
2
m
)
B
、
(
a
2
)(
m
2
m
)
C
、
m
(
a
2
)(
m
1
)
D
、
m
(
a
2
)(
m
1
)
6
．多项式
2
x
2
y
xy
的公因式是；多项式是
< br>6
a
2
b
3
9
ab
2
c
3
的公因式是。
< br>
7
．分解因式：
xy
xy
2
=
。
a
(
m
n
)
3
b
(
n
m
)
3
<
/p>
(
m
n
)
3
（）。
8
．已知：
a
b
133
,
ab
1000
。
a
2
b
ab
2
的值为。
9
．把下列各式分解因式
（
1
）
2
a
2
b
6
a
2
b
2
2
ab
2
（
3
）
a
(
x
y
)
b
(
x
y
< br>)
（
2
）
3
a
2
bc
2
12
a
3
b
2
c
2
9
a
2
bc
3
（
4
）
2
(
y
x
)
2
x
(
x
y<
/p>
)
【
课后强化
】
1
．
3
x
2
mx
4
分解因式为
(
3<
/p>
x
4
)(
x
1
)
，则
m
的值为。
页脚内容
精心整理
2
．
3
xy
6
mxy
9
nxy
3
xy
（）
a
(
x
a
)
b
(
a
x
)
c
(
x
< br>a
)
。
3
．把下列各式分解因式
（
1
）
3
x
2
y
6
xy
2
< br>12
xyz
（
3
）
2
(
x
y
)
3
4
(
y<
/p>
x
)
2
（
2
）
3
x
2
(
x
y
)
6
x
(
y
x
)
<
/p>
（
4
）
a
(
a
b
)(
a
b
)
a
(
< br>a
b
)
2
第二讲：因式分解—公式法、分组分解法
1
．乘法公式逆变形
（
1
）平方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
< br>
（
2
）完全平方公式：
a
2
ab
b
(
a
b
)
< br>,
a
2
ab
b
(
a
b
)<
/p>
2.
常见的两个二项式幂的变号规律：
①
(
a
b
)
2
n
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>
(
b
a
)
2
n
；
②
(
a
b<
/p>
)
2
n
1
(
b
a
)
2
n
1
．（
n
为正整数）
3
．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
（
1
）如果多项式的各项有公因式
，那么先提公因式；
（
2
）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
（
3
）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组
分解方法。
【
学堂练习
】
1
、如果
9
x
kx
25
是一个完全平方式，那么
k
的值是（）
A
15
B<
/p>
15
C
30<
/p>
D
30
2
、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）
A
、
m
4
B
、
x
<
/p>
y
C
、
x
y
1
D
、
m
a
m
a
2
2
2
2
2
2
2
2
3
、把下列各式分解因式：
< br>（
1
）
4
a
b
（
4
）
m
2
2
2
（
2
）
16
9
a
（
3
）
16
x
y
< br>1
2
2
2
1
2
y
（
6
）
x
2
2
xy
y
2
4
2
2
4
2
（
7
）
x
y
ax
ay
（
8
）
4
x<
/p>
a
6
a
9
12
m
36
（
5
）
x
2
xy
< br>
【
经典例题
】
例
1
．用
< br>公式法
分解因式：
（
1
）
(
a
b
)
< br>4
a
b
（
3
）
a
b
4
ab
<
/p>
4
（
4
）
x
2
2
2
2
2
2
2
（
2
）
(
x
2
)
(
y
3<
/p>
)
4
2
2
2
2
8
x
2
16
2
2
2
(5)
16
(
x<
/p>
1
)
25
(
x
2
)
(6)
(
x
x
)
6
(
x
< br>
x
)
9
分组分解法
页脚内容
精心整理
掌握分组分解法中使用“二
二”、“一三”分组的不同题型的解题方法
分组后能运用公式
（
一三分组
）
x
2
y
2
x
y
x
2
2
xy
y
2
1
a
2
－
b
2
－
c
2
＋
2
bc
分组后能提公因式（
二二分组<
/p>
）
a
x
＋
ay
＋
bx
＋
byab
－
c
＋
b
－
ac
练习：
把下列多项式分解因式：
1
.
（
1
）
a
b
ab
1
（
2
）
a
2
－
ab
＋
ac
－
bc
2
.
（
1
）
7
x
2
3
y
xy
21
x
（
2
）
2
ac
6
ad
bc
3
bd
3
.
（
< br>1
）
a
2
9
b
2
2
a
6
b
（
2
）
x
2
x
4
y
2
< br>
2
y
4
.
（
1
）
a
2
－
2
ab
＋
b
2
－
c
2
（
2
）
a
2
4
b
2
12
bc
9
c
2
课外延伸
1
．用分组分解法把
ab
－
c
＋
b
－
ac
分解因式分组的方法有（）
A
．
1
种
B
.
2
种
C
.<
/p>
3
种
D
.
4
种
2
.
用分组分解
a
2
－
b
2
－
c
2
＋
2
bc
的因式，分组正确的是（）
A
.(
a
<
/p>
2
c
2
)
(
b
2
2
bc
)
3
．填空：
2
2
2
（
1
）
ax
ay
－
bx
－
ax
＋
ay
C
＋
.(
a
b
)
by
(
c
=(
2
bc
)
)
－
()=()()
B
.(
a
2
b
2
< br>c
2
)
2
bc
D
.
a
2
(
b<
/p>
2
c
2
2
bc
)
（
2
）
x
2
－
2
y
< br>－
4
y
2
＋
x
=()
＋
()=()()
（
3
）
4
a
2
－
b
2
－
4
c
2
＋
4
bc
=()
－
()=()()
4
．用
分组分解法
分
解因式
（
1
）
4
ax
4
ay
x
<
/p>
y
（
2
）
a
9
8
ab
16
b
2
2
2
（
3
）
a
b
4
a
4
b<
/p>
（
4
）
a
b
c
d
2
ad
2
bc
2
2
2
2
2
5
．用
合适的方法
分解因式：
（
1
）
5
m
a
5
m
< br>b
2
2
2
2
4
2
4
（
2
）
12<
/p>
m
n
12
m
n
3
m
2
2
2
2
2
（
< br>3
）
4
a
(
m
n
)
b
(
n
m
)
（
4
）
4
m
9
(
m
< br>
n
)
12
m
(
m
n
)
6
．利用分解因式计算：
（
1
）
1
.
22
9
< br>
1
.
33
4
3
2
2
（
2
）<
/p>
202
202
196
98
2
2
3
2
2
7
．若
a<
/p>
b
3
,
ab
2
,
求
a
a
b
< br>ab
b
值。
< br>
【
随堂练习
】
1
．对于多项式
x
x
x
1
有如下四种分组方法：其中分组合理的是（）
①
(
x
< br>
x
)
(
x
1)
②
(
x
x<
/p>
)
(
x
1)
③
(
x
x
x
)
1
< br>④
x
(
x
x
1
)
A
．①②
B
．①③
C
．②④
D
．③④
2.
< br>△
ABC
的三边满足
a
4
+b
2
c
2
-a
2
c
2
-b
4
=0
，则△
ABC
的形状是
__
________.
5
3
2
5
2
3
5
3
2
5
3
< br>2
5
3
2
页脚内容