《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)
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《因式分解》全章复习与巩固
【学习目标】
1.
理解因式分解的意义，并感受分
解因式与整式乘法是相反方向的运算；
2
．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3.
了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法
进行多项式的因式分解
.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成
几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式
.
因式分解和整式乘法是互逆的运算，
二者不能
混淆
.
因式分解是一种恒等变形，
而整
式乘法是一种运算
.
要点二、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，
其中一个因式是各项的公因式
m
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
m
所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律
.
要点三、公式法
1.
平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
2.
完全平方公式
< br>两个数的平方和加上这两个数的积的
2
倍，等于这两个数
的和（差）的平方．
即
a
2
ab
b
a
< br>
b
，
a
2
ab
b
a<
/p>
b
.
2
2
2
2
2
2
形如
a
2
ab
b
，
a
< br>2
ab
b
的式子叫做完全平方式
.
要点诠释：
（
1
）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，
且符号相反，右边
是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积
< br>.
（
2
）完全平方公式的特点
：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）
这两数之积的
2
倍
.
右边是两数的和（或差）的平方
.
（
3
）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a<
/p>
、
b
可以是字母，也可以
是单项式或多项式
.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系
数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
.
对于二次
三项式
x
bx
c
，若存在
分组分解法
对于一个多项式的整体，
若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，
可考虑
分步处理的方法，
即把这个多项式分成几组，
先对各组分别分
解因式，
然后再对整体作因式
分解
——
分组分解法
.
即先对题目进行分组，然
后再分解因式
.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有
:
提公因式法
,
公式法
,
分组分解法
,
十字相乘法
,
添、
拆项法等
.
2
2
2
2
2
pq
c
2
，则
x<
/p>
bx
c
x
p
x
q
p
q
b
第
1
页
因式分解步骤
（
1
）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（
2
）如果各项没有公因式那就尝试用公式法
；
（
3
）如
用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（
4
）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1
、分解因式：
(1)
2
a
bc
8
ac
4
abc
；
(2)
m
(
m
n
)
m
(
m
n
)
m
(
m
< br>n
)(
m
n
)
．
【答案与解析】
解：
(1)
2
a
bc
8
ac
4
acb
2
ac
(
abc
4
c
2
< br>b
)
．
(2)
m
(
m
n
)
m
(
m
n
)
m
< br>(
m
n
)(
m
n
)
【总结升华】
在提取公因式时要注
意提取后各项字母，
指数的变化，另外分解要彻底，特别
是因式
中含有多项式的一定要检验是否能再分，
分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确
与否．
2
、利用分解因式证明：
25
5
能被
120
整除．
【思路点拨】
25
＝
5
，进而把
25
整理成底数为
5
的幂的形式，然后提取公因式并整理为
含有
120
的因数即可．
< br>
【答案与解析】
证明：
25
5
＝
5
7
12
7
12
2
7
7
12
3
2
2
2
2
3
2
< br>2
2
2
2
7
5
12
∴
25
5
能被
12
0
整除．
【总结升华】
解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有
120
的因数相乘的形
式．
类型二、公式法分解因式
3
、放学时，王老师布置了一道分解因式题：
x
y
4
x
y
4
x
y
2
< br>2
2
2
，小
明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电
话里讲了一句，小明就恍然大悟了，
你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的
．
【思路点拨】
把
< br>
x
y
、
x
y
分别看做一个整体，再运用完全平
方公式解答．
【答案与解析】
解：把
x
y
、
x
y
看作完全平方式里的
a
,
b
；
第
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页