(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)
-
资料
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解：
因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，
主
要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（
1
）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即
首先看有
无公因式可提，
其次看能否直接利用乘法公式；
如前两个步骤都不能实施，
可用分组分解法，分组的目的是使得分组后
有公因式可提或可利用公式法
继续分解；
（
2
）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、
待定系数
法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法
.
< br>：
ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法
.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解
中常用的公式，例如：
2
2
2
2
(1) (a+b)(a-b) =
a
-b
-----------a
-
b
=(a+b)(a-b)
；
2
2
2
2
2
2
(2)
(a
±
b)
=
a
±
2ab+b
---------
a
±
2ab+b
=(a
±
b)
；
< br>2
2
3
3
3
3
2
2
(3)
(a+b)(a
-ab+b
) =a
+
b
---------a
+b
=(a+
b)(a
-ab+b
)
；
2
2
3
< br>3
3
3
2
2
(4)
(a-b)(a
+ab+b
) =
a
-b
--------a
-b
=(a-b)(a
+ab+b
)
．
下面再补充两个常用的公式：
2
2
2
2
(5)a
+b
+c
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
；
3
3
3
2
2
2
(6)a
+b
+c
-3abc=(a+b+c)(a
+b
< br>+c
-ab-bc-ca)
；
，
c
是
ABC
的三边，且
a
b
c
ab
bc
ca
，
例<
/p>
.
已知
a
，
b
则
ABC
的形状是（
）
A.
直角三角形
B
等腰三角形
C
等边三角形
D
等腰直角三角形
< br>解：
a
b
c
ab
bc
ca
2
a
2
b
2
c
2
ab
2
bc
2
ca
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
a
b
)
2
(
b<
/p>
c
)
2
(
c
a
)
2
0
a
b
c
.
资料
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：从“整体”看，这个
多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公
式分解，
但从“
局部”看，这个多项式前两项都含有
a
，
后两项都含有
b
，因
此可以考虑将前
两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组
之间的联系。
< br>
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm
< br>bn
)
=
a
(
m
n
)
b
(
m
n
< br>)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n
)(
a
b
)
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解
：
原
式
=
< br>
原
式
(
2
ax
10
ay
)
(
5
by
b
x
)
=
(
2<
/p>
ax
bx
)<
/p>
(
10
ay
5
by
)
=
2
a
(
x
5
y
)
b
(
x
< br>5
y
)
=
x
(
2
a
b
)
5
y
(
2
< br>a
b
)
=
(
x
5
y
)(
2
a
b
)
=
(
2
a
b
)(
x
5
y
)
练习：分解因式
1
、
a
ab
ac
bc
2
、
xy
x
y
1
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
x
y
ax
ay
分析
：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因
式，但提完后就能继
续分解，所以只能另外分组。
解：原式
=
(
x<
/p>
y
)
(
ax
ay
)
=
(
x
y
)(
x
y
)
a
(
x
y
)
=
(
x
y
)(
x
y
a
)
例
4
、分解因式：
a
2
ab
b
c
解：原式
=
(
a
2
ab
b
)
c
=
(
a
b
)
c
=
(
a
b
c
)(
a
b
c
)
练习：分解因式
3
、
x
x
9
y
3
y
4
、
x
y
z
2
yz
.
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
资料
2
2
综合练习：
（
1<
/p>
）
x
x
y
xy
y
（
2
）
ax
bx
bx
ax
a
< br>b
2
2
（
3
）
x
6
xy
9<
/p>
y
16
a
8
a
1
（
4
）
a
6
< br>ab
12
b
< br>
9
b
4
a
4
3
2
（
5
）
a
2
a
a
9
（
6
）
4
a
x
4
a
y
b
x
b
< br>y
2
2
（
7
）
x
2
xy
xz
yz
y<
/p>
（
8
）
a
2
a
b
2
b
2
ab
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3<
/p>
2
2
3
（
9
）
y
(
y
2
)
(
m
1
)(
m
1
)
（
10
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
< br>
2
a
)
（
11
）
a
2
(
b
<
/p>
c
)
b
2
(
a
c
)
c
2
(
a
b
)
2
abc
（
12
）
a
3
b
3
c
3
3
abc
四、十字相乘法
.
（一）二次项系数
为
1
的二次三项式
< br>直接利用公式——
x
(
p
q
)
x
pq
(
x
p
< br>)(
x
q
)
进行分解。
特点：
（
1
）二次项系数是
1<
/p>
；
（
2
）常数项是两个数的乘积；
（
3
）一次项系数是常数项的两因数的和。
2
思考：十字相乘有什么基本规律？
例
.
已知
0<
/p>
＜
a
≤
5
，
且
a
为整数，
若
2
x
3
x
a
能用十字相乘法分解因式，
求符合条件的
a
.
2
解
析
：
凡
是
能
十
字
相
乘
的
二
次
三
项
式
ax
2
+bx+c
，
都
要
求
b
2
4
ac<
/p>
>0
而且是一个完全平方数。
于是
9
8
a
为完全平方数，
a
1
例
5
、分解
因式：
x
5
x
6
分析
：将
6
分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于
6=2
×
3=(-2)
×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(
-6)
，从中可以发现只有
2
×
3
的分解适合，即
2+3=5
。
1
2
2<
/p>
解：
x
5
x
6
=
x
(
2
3
)
x
< br>
2
3
1
3
2
2
=
(
x
2
)(
x
3
)
1
×
2+1
×
3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。
< br>例
6
、分解因式：
x
7
x
6
解：原式
=
x
[(
1
)
(
6
)]
x
(
1
)
(
6
)
1
-1
=
(
x
1
)(
x
6
)
1
-6
（
-1
）
+<
/p>
（
-6
）
=
-7
2
2
.
资料
练习
5
、分解因式
(1)
x
< br>
14
x
24
(2)
< br>a
15
a
36
(3)
x
4
x
5
2
2
练习
6<
/p>
、分解因式
(1)
x
x
2
(2)
y
2
y
15
(3)
x
10
x
24
2
2
2
2
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
bx
c
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
a
1
c
2
a
2
c
1
< br>分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
1
x
< br>c
1
)(
a
2
x
c
2
)
例<
/p>
7
、分解因式：
3
x
11
x
10
分析：
1
-2
3
-5
（
-6<
/p>
）
+
（
-5
）
= -11
解：
3
x
11
x
10
=
(
x
2
)(<
/p>
3
x
5
)
练习
7
、分解因式：
（
1
）<
/p>
5
x
7
x
6
（
2
）
3
x
7
x
2
2
（
3
）
10
x
17
x
3
（
4
）
6
y
11
y
10
（三）二次项系数为
1
的齐次多项式
2
2
2
2
2
2
2
例
8
、分解因式：
a
< br>
8
ab
128
b
分析：将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字相
乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
2
2
解：
a
8
ab
128
b
=
a
[
8
b
(
16
b
)]
a
8
b
< br>
(
16
b
)
2
2
2
=
(
a
8
b
)(
a
16
b
)
练习
8
、分解因式
(1)
x
3
xy
2
y
(2)
m
6
mn
8
n
(3)
a
ab
6
b
.
2
2
2<
/p>
2
2
2
资料
（四）二次项系数不为
1
的齐次多项式
例
9
、
2
x
7
xy
6
y
例
10
、
x
y
3
xy
2
1
-2y
把
xy
看作一个整体
1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=
-7y
(-1)+(-2)=
-3
解：
原式
=
(
x
2
y
)(
2
x
3
y
)
解：
原式
=
(
xy
1<
/p>
)(
xy
2<
/p>
)
2
2
练习
9
、分解因式：
（
1
）
15
x
7
xy
<
/p>
4
y
（
2
）
a
x
6
ax
8
2
2
2
2
2
2
6
3
综合练习
10
、
（
1
）
8
x
7
x
1
（
2
）
12
x
11
xy
15
y
2
2
（
3
）
(
x
y
< br>)
3
(
x
y
)
10
（
4
）
(
a
b
)
4
a
4
b
< br>3
2
2
x
y
5
x
y
6
x
（
6
）
m
2
4
mn
4
n
2
3
m
6
n
2
（
5
）
（
7<
/p>
）
x
4
xy
4
y
2
x
4
y
3
< br>（
8
）
5
(
a
b
)
23
(
a<
/p>
b
)
10
(
a
b
)
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
12
(
x
y
)
11
(
x
y
)
2
(
x
y
)
（
9
）
< br>4
x
4
xy
6
x
3
y
y<
/p>
10
（
10<
/p>
）
思考：分解因式：
< br>abcx
(
a
b
c
)
x
abc
五、换元法。
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
(1)
、换单项式
例
1
分解因式
x
+
14x
y + 49y
.
分析
：注意到
x
=
（
x
）
，若把单项式
x
换元，设
x
=
m
，则
x
=
m
，
原式变形为
m
+ 14m
y +
49y
= (m + 7y)
= (
x
+ 7y)
.
2
2
2
3
2
6
3
2
3
3
6
2
6
3
2
(2)
、换多项式
< br>
例
2
分解因式
(x
+4x+6) +
(x
+6x+6) +x
.
分析
：
本题前面的两个多项式有相同的部分，<
/p>
我们可以只把相同部分
换元，设
x
+6=
m
，则
x
+4x+6=
m+4x
，
x
+6x+6=
m+6x
，原式变形为
.
2
2
2
2
2
2
资料
(m+4x)(m+6x)+x
=
m
+10mx+24x
+x
=
m
+10mx+25x
=
(m+5x)
= ( x
+6+5x)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= [(x+2)(x+3)]
=
(x+2)
(x+3)
.
2
以上这种换元法，
只换了多项式的一部分，
所以称为“局部
换元法”
.
当
然，
< br>我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，
就成了“整体换元
法”
.
比如，设
x
+4x+6=m
，则
x
+6x+6=m+2x
，原式变形为
m(m+2x)+ x
=
m
+2mx+x
= (m+x)
= (
x
+4x+6+x)
= (
x
+5x+6)
=
[(x+2)(x+3)]
= (x+2)
(x+3)
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
另外，
还可以取前两个多项式的平均数进行换元，
这种换元的方法被
1
称为“均值换元法”，可以借用平方差
公式简化运算
.
对于本例，设
m=
2
[(x
+4x+6) +
(x
+6x+6)]= x
+5x+6
，则
x
+4x+6=m-x
，
x
+6x+6=m+x
，
(m+x)(m-x)+x
=
m
-x
+x
=
m
= (x
+5x+6)
=
[(x+2)(x+3)]
= (x+2)
(x+3)
.
例
3
分解因
式
(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析
：
这道题的前面是四个多项式的乘积，
可以把它们分成两组相乘，
使之转化成为两个多项式的乘积
.
无论如何分组，最高项都是
x
，常数项
不相等，所以只能设法使一次项相同
.
因此，把
(x-1)(x+2)(x
-3)(x+4)
分组
为
[(x-1)
(x+2)][(x-3)(x+4)] = (x
+x-2) (x
< br>+x-12)
，从而转化成例
2
形式加以
解决
.
< br>1
2
2
2
我们采用“均值换元法”，设
m=
[ (x
+x-2)+ (x
+x-1
2)]=x
+x-7
，则
2
x
+x-2=m+5
，
x
+x-2= m-5
，原式变形为
<
/p>
(m+5)(m-5)+24=m
-25+24=m
-1=(m+1)(m-1)=( x
+x-7+1)(
x
+x
-7-1)
= (
x
+x-6)( x
+x-8)= (x-2)(x+3)(
x
+x-8).
.
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
资料
(3)
、换常数
例
1
分解因式
x
(x+1)-2003
×
2004x.
分析
：此题若按照一般思路解答，很难奏效
.
注意到
2003
、
2004
两
个数字之间的关系，
< br>把其中一个常数换元
.
比如，
设
m=2003
，
则
< br>2004=m+1.
于是，原式变形为
x
(x+1)
–
m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)]
= x(x
+x-m
-m)
=
x[(x
-m
) +(x-m)]= x[(x+m)
(x-m)+(x-m)]
= x(x-m)(x+m+1)=
x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).
例
13
、分解因式（
1
）
2005
x
(
2005
1
)
x
2005
（
2
）
(
x
1
)(
x
2
)(
x
3
)(
x
6
)
x
解：
（
1
）设
2005=
a
，则原式
=
ax
(
a
1
)
x
a
=
(
ax<
/p>
1
)(
x
a
)
=
(
200
5
x
1
)(
x
2005
)
（
2
）<
/p>
型如
abcd
e
的多项式，
分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式
=<
/p>
(
x
7
x
6
)(
x
5
x
6
)
< br>x
设
x
2
5
x
6
A
，则<
/p>
x
2
7
x
6
A
2
x
∴原式
=
(
A
2
x
)
A
x
=
A
2
2<
/p>
Ax
x
2
2
=
(
A
x
)
=
(
x
6
x
< br>
6
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
练习
13
、分解因式（
1<
/p>
）
(
x
xy
y
)
4
xy
(
x
y
)
（
2
）
(
x
3
x
2
)(
4
x
8
x
3
)
90
（
3
）
(
a
1
)
(
a
5
)
4
(
a<
/p>
3
)
例
14
、分解因式（
1
）
2
x
x
6
x
x
2
观察：此多项式的特点——是关于
x
的降幂排列
，每一项的次数依次少
1
，
并且系数成
“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中
间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原
式
=
x
2
(<
/p>
2
x
2
x
6
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1<
/p>
1
1
1
2
)
=
x
2
2
(
x
2
2
)
(
x
)
6
<
/p>
x
x
x
x
.
资料
1
1
t
，则
x
2
2
t
2
< br>
2
x
x
2
2
t
2
2
)
t
6
=
x
2
2
t
2
< br>t
10
∴原式
=
x
（
2
1
2
=
x
2
t
5
t
2
=
x
2
2
x
5
x
2
<
/p>
x
x
2
1
2
2
=
x
·
x
·
2
x
5
·
x
< br>
2
=
2
x
5
x
2
x
2
x
1
x
x
2
=
(
x
1
)
(
2
x
1
)(
x
2
)
设
x
（
2
）
x
4
4<
/p>
x
3
x
2
4
x
1
4
1
1
1
2
)
=<
/p>
x
2
x
2
2
4
x
1
x
x
x
x<
/p>
1
1
设
x
y
，则
x
2
2
y
2
2
x
x
2
2
2
∴原式
=
x
(
y
4
y
<
/p>
3)
=
x
(
y
1)(
y
3)
1
1
2
2
=
x
2
(
x
1
)(
x
3
)
=
x
x
1
x
3
x
1
x
x
练习
14
、
（
1
）
6
x
4
7
x
3
< br>36
x
2
7
x
6
4
3
2
2
（
2
）
x
2
x
x
1
< br>2
(
x
x
)
解：原式
=
x
2
(
x
2
4
x<
/p>
1
六、添项、拆项、配方法。
例
15
、分解因式（
1
）
x
3
<
/p>
3
x
2
4
解法
1
——拆项。
解法
2<
/p>
——添项。
原式
=
x
3
1
3
x
2
3
原式
=
x
3
3
x
2
4
x
4
x
4
2
2
=
(
x
1
)(
x
x
1
)
3
(
x
1
)(
x
1
)
=
x
(
x
3
x
4
)
(
4
x
< br>
4
)
=
(
x
1
)(
x
x
1
3
x
3
)
=
x
(
x
1
)(
x
4
)
4
(
x
1
)
=
(
x
1
)(
x
4
x
4
)
=
(
x
1
)(
x
4
x
4
)
=
(
x
1
)(
x
2
)
=
(
x
1
)(
x
2
)
9
6
3
（
2
）
x
x
x
3<
/p>
2
2
2
2
2
解：原式
=
(
x
1
)
(
x
1
)
< br>(
x
1
)
=
(
x
1
)(
x<
/p>
x
1
)
(
x
1
)(
x
1
)
< br>(
x
1
)
=
(
x
1
)(
x<
/p>
x
1
x
1
1
)
=
(
x
1
)(
x
x
1
)(
x
2
x
<
/p>
3
)
.
2
6
3<
/p>
3
6
3
3
3
6
3
3
3
3
9
6
3
资料
练习
15
、分解因式
（
1
）
x
3
9
x
< br>8
（
2
）
(
x
1
)
(
x
< br>1
)
(
x
1
)
（
3
）
x
4
7
x
2
1
（
4
）
x
4
x
2
2
ax
1
a
2
（
5
）
x
y
(
x
y<
/p>
)
（
6
）
2
a
2
b
2
2
a
2
c
< br>2
2
b
2
c
2
a
4
b
4
c
4
七、待定系数法。
例
16
、分解因式
x
xy
6
y
x
13
y
6
< br>
分析：
原式的前
3
项
x
xy
6
y
可以分为
(
x
3
y
)(
x
< br>2
y
)
，
则原多项式
必定可分为
(
x
3
y
m
)(
x
2
y
n
)
解：设
x
xy
6
y
x
1
3
y
6
=<
/p>
(
x
3
y
m
)(
x
2
y
n
)
< br>∵
(
x
3
y
m
)
(
x
2
y<
/p>
n
)
=
x
xy
6
y
(
m
n
)
< br>x
(
3
n
2
m
)
y
mn
<
/p>
∴
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
2
4
2
2
x
2
xy
6
y
2
x
13
y<
/p>
6
=
x
2
xy
6
y
2
(
m
n
< br>)
x
(
3
n
2
m
)
y
mn<
/p>
m
n
1
m
2
对比左右两边相同项的系数可得
< br>3
n
2
m
13
，解得
n
3
mn
6
∴原式
=
(
x
3
y
2
)(
x
2
y
3
)
例
17
< br>、
（
1
）当
m
为何值时，多项式
x
y
mx
5
y
6
能分解因式，并分
解此多项式。
（
2
）如果
x
3
ax<
/p>
2
bx
8
有两个因式为
x
1
和
x
<
/p>
2
，求
a
b
的值。
（
1
）
分析：
前两项可以分解为
(
x
y
)(
x
y
)
，
故
此多项式分解的形式必
为
(
x
y
a
)(
x
y
b
)
解：设
x
y
mx
5
y
6
=
(
x
y
a
)(
x
y
b
)
则
x
y
mx
5
y
6
=
x
y
(
a
b
)
x
(
b
a
)<
/p>
y
ab
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
< br>
m
a
2
a
2
比较对应的系数可得：
b
a
5
，解得：
b
< br>
3
或
b
3
ab
<
/p>
6
m
1
m
1
∴当
m
< br>
1
时，原多项式可以分解；
当
m
1
时，原式
=
(
x<
/p>
y
2
)(
x
y
3
)
；
当
m
< br>
1
时，原式
=
(
x
y
2
)(
x
y
3
)
.
资料
（
2<
/p>
）
分析：
x
3<
/p>
ax
2
bx
8
是一个三
次式，
所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形
如
x
c
的一
次二项式。
解：设
x
3
ax
2
< br>
bx
8
=
(
x
1
)(
x
2
)(
x
c<
/p>
)
则
x
3
ax
2
bx
8
=
x
(
3
c
< br>)
x
(
2
3
c
)
x
2
c
3
2
a
3
c
a
< br>7
∴
b
2
3
c
解得
b
14
，
2
c
8
c
4
< br>
∴
a
b
=
21
练习
17
、
（
1
）分解因式
x
3
xy
10
y
x
9
y
2
（
2
）分解因式
x
3
xy
2
y
5
x
7
y
6
（
3
）
已知：
x
2
xy
3
y
6
x
14
y
p
能分解成两个一次因式
之积，求常数
p
并且分解因式。
（
4
）
k
为何值时，
x
2
xy
ky
3
x
5
y
2
能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1.
< br>把一个多项式化成几个整式的
_______
的形式，<
/p>
叫做把这个多项式分解因
式。
2
分解因式：
m
-4m=
.
3.
分解因式：
x
-4y
= __
_____.
4
、分解因式：
x
4
x
4
=_______
____
______
。
5.
将
x
-y
分
解
因
式
的
结
果
为
(x
+y
)(x+y)(x-y)
，
则
n
的
值
为
.
2
2
2
2
x
y
xy
2
x
2
y
x
y
5,
xy
6
6
、若
，则
=_________
，
=__________
。
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>n
n
2
2
二、选择题
3
2
< br>2
2
3
15
m
n
5
m
n
20
m
n
的公因式是
(
)
7
、多项式
.
资料
2
2<
/p>
2
2
5
m
n
5
m
n
5
mn
5
mn
A
、
B
、
C
、
D
、
8
、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
(
)
a<
/p>
3
a
3
a
2
9
a
2
b
< br>2
a
b
a
b
A<
/p>
、
B
、
3
2
m
2
m
3
m
m
< br>
2
a
2
4
a
5
a
a
4
5
m
C
、
D
、
10.
下列多项式能分解因式的是（
）
2
2
2
2
2
(A)x<
/p>
-y
(B)x
+1
(C)x
+y+y
(D)x
-4x+4
11
．把（
x
－
y
）
－（
y
－
x
）分解因式为（
）
A
．
（
x
－
y
）
（
x
－
y
－
1
）
< br>
B
．
（
y
－
x
）
（
x
－
y
－
1
）
< br>
C
．
（
y
－
x
）
（
y
－
x
－
1
）
D
．
（
y
－
x
）
（
y
－
x
＋
< br>1
）
12
．下列各个分解因式中正确的是（
）
2
2
2
A
．
10ab
c
＋
6ac<
/p>
＋
2ac
＝
2a
c
（
5b
＋
3
c
）
2
2<
/p>
2
B
．
（
a
－
b
）
－（
b
－
a
）
＝（
a
－
b
）
（
a
－
b
＋
1
）
C
．
x<
/p>
（
b
＋
c
－
a
）－
y
（
a
－
b
－
c
）－
a
＋
b
－
c
＝（
b
＋
c
－
a
）
（
x
＋
y
－
1
）
2
D
．
（
a
－
2b
）
（
3a
＋
b
）－
5
（
2b
－
a
< br>）
＝（
a
－
2b
）
（
11b
< br>－
2a
）
2
13.
若
k-12xy+9x
是一个完全平方式，那么
< br>k
应为（
）
2
2
A.2
B.4
C.2y
D.4y
三、把下列各式分解因式：
2
2
14<
/p>
、
nx
ny<
/p>
15
、<
/p>
4
m
9
n
2
16
、
.
m<
/p>
m
n
n
n
m
17
、
a<
/p>
2
a
b
ab
3
2
2
资料
18
、
x
2
4
< br>
16
x
2
2
2
2
9
(
m
n<
/p>
)
16
(
m
n
)
19
、
；
五、解答题
20
、如图，在一块边长
a
=6.6
7cm
的正方形纸片中，挖去一个边长
b
=3.33cm
的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21
、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
d
45
cm
，外径
D
7
5
cm
，
长
l
3
m
。利用
分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土？
(
取
3.14
，结果保留
2
位有效数字
)
l
22
、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第
(5)
个等式。
.
d
D
资料
(1)
x
2
1
x
1
x
1
(2)
x
4
1
x
2
1
x
< br>1
x
1
(3)
x
< br>8
1
x
4
1
x
2
<
/p>
1
x
1
x
1
(4)
x
16
1
x
8
1
x
4
1
< br>x
2
1
x
1
x
1<
/p>
(5)
________________________
_________________________
经典二：
1.
通过基本思路达到分解多项式的目的
例
1
. <
/p>
分解因式
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
分
析
：
这
是
一
个
六
项
式
，
很
显
然
要
< br>先
进
行
分
组
，
此
题
可
把
x
5
x
4
x
3
和
x
2
x
< br>1
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取
公因式后
，
再进一步分解；
也可把
x
5
x
4
，
x
3
x
2
，
x
1
分别看成一组，
此时的六项式变成
三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式
(
x
5
x
4
x
3
)
(
x
2
x
1
)
< br>
.
资料
< br>
x
3
(
x
2
x
1
)
(
x
2
x
1
)
(
x
3
1
)(
x
2
x
1
)
(
x
1
)(
x
2
x
1
)(
x
2
x
<
/p>
1
)
解二：
原式
=
(
x
5
x
4
)
(
x
3
x
2
)
(
x
< br>1
)
x
4
(
x
1
)
x
2
(
x
1
)
(
x
1
)
< br>
(
x
1
)(
x
4
x
1
)
(
x
1
)[(
x
2
x
1
)
x
]
<
/p>
(
x
1
)(
x
2
x
1
)(
x
2
x
1
)
4
2
2
2.
通过变形达到分解的目的
例
1
.
分解
因式
x
3
3
x
2
4
解一：将
3
x
2
拆成
2
x
2
x
2
，则有
原式
<
/p>
x
3
2
x
2
(
x
2
4
)
x
2
(
x
2
)
(
x
2
)(
x
2
)
(
x
2
)(
x
x
2
)
(
x
1
)(
x
2
)
2
2
解二：
将常数
4
拆成
1
3
，
则有
原式
x
3
1<
/p>
(
3
x
2
3
)
(
x
1
)(
x
2
x
1
)
(
x
1
)(
3
x
3
)
(
x
1
)(
x
4
< br>x
4
)
(
x
1
)(
x
2<
/p>
)
2
2
3.
在证明题中的应用
例
：求证：多项式
(
x
2
4
)(
x
2
10
x
21
)
<
/p>
100
的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
(
x
2
4
)(
x
2
10
x
21
)
100
.
资料
(
x
2
)(
x
2
)(
x
3
)(
x
< br>7
)
100
< br>
(
x
2
)(
x
7
)(
x
2
)(
x
3
)
100
(
x
2
5
x
14
)(
x
2
5
x
<
/p>
6
)
100<
/p>
设
y
x
2
5
x
，则
原式
(
y
14
< br>)(
y
6
)
100
y
2
8
y
16
(
y
4
)
2
无论
y<
/p>
取何值都有
(
y
4
)
2
<
/p>
0
(
x
2
4
)(
x
2
10
x
21
)
100
的值一定是非负数
4.
因式分解中的转化思想
例
：分解因式：
(
a
2
b
c<
/p>
)
3
(
a
b
)
3
(
b
c
)
3
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察
a+b
，
b+c
与
a+2b+c
的关系，努力寻找一种代换的方法。
< br>
解：设
a+b=A
< br>，
b+c=B
，
a+2b+c=
A+B
原式
(
A
B
)
3
A
3<
/p>
B
3
A
3
3
A
2
B
3
AB
2
< br>B
3
A
3
B
3
3
A
2
B
3
AB
2
3
AB
(
A
B
)
< br>
3
(
a
b
)(
b
c
)(
a
2
b
c
)
说明：在分解因式时，灵活运用公
式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
例
1.
在
<
/p>
ABC
中，三边
a,b,c
满足
a
2
16
b
2
< br>c
2
6
ab
10
bc
0
求证：
a
c
2
b
证明：
a
2
16<
/p>
b
2
c
2
6
ab
10
bc
0
.
资料
a<
/p>
2
6
ab
9
b
2
c
2
10
bc
25
b
2
0
即
(
a
3
b
)
2
(
c
5<
/p>
b
)
2
0
(
a
8
b
c
)(
a
2
< br>b
c
)
0
a
b
c
a
8
b
c
，即
a
8
b
c
0
于是有
a
2
b
c
0
即<
/p>
a
c
2
b
说明：
此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不
能丢分。
< br>
1
1
2
，则
x
3
3
__________
x
x
1
1
1
解：
x
3<
/p>
3
(
x
)(
x
2
1
)
x
x
< br>x
1
1
(
x
)[(
x
)
2
2
1
]
x
x
2
1
例
2.
已知：
x
2
说明：
利用
x
2
1
2
(
x
)
2
等式化繁为易。
2
x
x
1
题型展示
1.
若
x
为任意整数，求证：
(
7
x
)(
3
x
)(
< br>4
x
2
)
的值不大于
100
。
解：
(<
/p>
7
x
)(
3
x
)(
4
x
)
100
(
x
7
)(
x
< br>2
)(
x
3
)(
x
2
)
100
(
x
2
5
x
14
)(
x
2
5
x
6
)
100
2
[(<
/p>
x
2
5
x
)
8
(
x
2
5
x
)
16
]
(
x
2
5
x
4
)
2
0
(
7
x
)(
3
x
)(
4
x
< br>2
)
100
< br>
说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的
值不大
于
100
，即要求它们的差小于
零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形
.
资料
成完全平方是一种常用的方法。
2.
a
2
(
a
1
)
2
(
a
2
a
)
2
分解因式，并用分解
结果计算
6
2
7
2
42
2
。
将
解：<
/p>
a
2
(
a
1
)
2
(
a
2
a
)
2
a
2
a
2
<
/p>
2
a
1
(
a
2
a
)
2
2
(
a
2
a
)
1
(
a
2
< br>
a
)
2
(
a
2
a
1
)
2
6
2
7
2
42
2
(
36
6
1
)
2
< br>
43
2
1849
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
实战模拟
1.
分解因式：
（
1
）
3
x
5
10
x
4
8
x
3
3
x
2
10
x
8
（
2
）
(
a
3
a
3
)(
a
3
a
1
)
5
2
2
（
3
）
x
2
2
xy
3
y
2
3
x
5
y
2
（
4
）
x
<
/p>
7
x
6
3
2.
已知：<
/p>
x
y
6
，
xy
1
，求：
x
3
y
3
的值。
.
资料
3.
矩形的周长是
28cm
，两边
x,y
使
x
3
x
2
y
xy
2
y
3
0
，求矩形的面
积。
4.
求证：
n
3
5
n
是
6
的倍数。
（其中
n
为整数）
5.
已
知
：
a
、
b
、
c
是
非
零
实
数
，
且
1
1
1
< br>1
1
1
a
2
b
2
c
2
1
，
a
(
)
b
(
)
c
< br>(
)
3
，求
a+b+c
的值。
b
c
c
a
a
b
6.
已知：
a
、
b
、
c
为
三角形的三边，比较
a
2
b
2
c
2
和
4
a
2
b
2
的大小。
< br>
.
资料
经典三：
因式分解练习题精选
一、填空：
（
30
分
）
1
、若
x
2
(
m
3
)
x
16
是完全平方式，则
m
的值等于
_____
。
2
、
x
x
m
(
x
n
)
则
m
=_
___
n
=____
3
、
2
x
y
< br>与
12
x
y
的公因式是＿
4
、若
x
y
=
(
x
y
)(
x
y
)(
x
y
)
，则
m=_______
，
n=_________
。
< br>m
n
2
2
2
4
3
2
6
2
2
2
.