因式分解的常用方法(最全版)
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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
因式分解：因式
分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公
因式法，公式法，十字相乘
法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（
1 <
/p>
）通常采用一
“
提
”
、二
“
公
”
、三
“
分
”
、四
“
变
”<
/p>
的步骤。即首先看有无公
因式可提，其次看能否直接利用乘法公式
；如前两个步骤都不能实施，可用分
组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或
可利用公式法继续分解；
（
2
）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定
系数法、试除
法、拆项（添项）等方法；
。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法
.
：
ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法
.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分
解
中常用的公式，例如：
( 1 ) (a+b)(a -
b)
=
a 2 - b 2
----------- a 2 - b 2
=(a+b)(a - b)
；
(2)
(a ± b) 2
=
a 2 ± 2ab+b 2
--------- a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2
；
(3)
(a+b)(a 2 - ab+b 2 )
= a 3 +b 3 --------- a 3 +b
3 =(a+b)(a 2 - ab+b 2 )
；
(4)
(a - b)(a 2 +ab+b 2 )
=
a 3 - b 3
-------- a 3 - b 3 =(a -
b)(a 2 +ab+b
2 )
．
下面再补充两
个常用的公式：
(5)a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2
；
(6)a 3 +b 3 +c
3 - 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ca)
；
例
.
已知
则
是
的三边，且
，
的形状是
（
）
A.
直角三角形
B
等腰三角形
C
等边三角形
D
等腰直角三角形
解：
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
分析：从
“
整体
”
看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公
式分
解，但从
“
局部
< br>”
看，这个多项式前两项都含有
a
，后两项都含有
b
，因此可
以考虑将前两项分为一组
，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联
系。
解：原式
=
=
=
每组之间还有公因式！
例
2
、分解因式：
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式
=
=
=
=
=
2
、
原式
=
练习：分解因式
1
、
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然
可以提公因式，
但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式
=
=
=
例
4
、分解因式：
解：原式
=
=
=
练习：分解因式
3
、
综合练习：（
1
）
（
3
）
（
5
）
（
7
）
（
9
）
（
11
）
练习
9
、分解因式：（
1
）
综合练习
10
、（
1
）
（
3
）
（
5
）
（
7
）
（
9
）
思考：分解因式：
五、换元法。
(1)
、换单项式
（
6
）
4
、
（
2
）
（
4
）
（
8
）
（
10
）
（
12
）
（
2
）
（
2
）
（
4
）
（
6
）
（
8
）
（
10
）
例
1
分解因式
x 6
+ 14x 3
y + 49y 2 .
分析
：注意到
x 6 =
（
x 3
）
2
，若把单项式
x 3
换元，设
x 3
= m
，则
x 6 = m 2
，原式变形为
m 2
+ 14m
y + 49y 2 = (m + 7y) 2
= ( x 3
+ 7y) 2 .
(2)
、换多项式
例
2
分解因式
(x 2 +4x+6)
+ (x 2 +6x+6) +x 2 .
分析
：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设
x 2
+6= m
，则
x 2 +4x+6=
m+4x
，
x 2 +6x+6=
m+6x
，原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x 2 = m 2
+10mx+24x 2 +x 2 = m 2
+10mx+25x 2
= (m+5x) 2 = ( x
2
+6+5x) 2
=
[(x+2)(x+3)] 2 = (x+2)
2
(x+3) 2 .
以上这种换元
法，只换了多项式的一部分，所以称为
“
局部换元法
” .
当然，我
们还
可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了
“
整体换元
法
” .
比
如，设
x
2 +4x+6=m
，则
x 2
+6x+6=m+2x
，原式变形为
m(m+2x)+ x 2
= m
2 +2mx+x 2 = (m+x) 2 = ( x 2 +4x+6+x) 2 = ( x 2
+5x+6) 2
= [(x+2)(x+3)] 2 = (x+2)
2
(x+3) 2 .
另外，还可以取前两个多项式的平均数进
行换元，这种换元的方法被称为
“
均值
换元法
”
，可以借用平方差公式简化运算
.
对于本例，设
m=
[(x
2 +4x+6)
+ (x 2 +6x+6)]= x 2 +5x+6
，则
x 2 +4x+6=m-x
，
x 2 +6x+6=m+x
，
(m+x)(m-x)+x 2 = m 2 -x 2 +x 2
= m 2 = (x 2 +5x+6) 2 =
[(x+2)(x+3)] 2
= (x+2)
2
(x+3) 2 .
例
3
分解因式
(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
分析
：这道题的前面是四个多项式的
乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转
化成为两个多项式的乘积
.
无论如何分组，最高项都是
x 2
，常数项不相
等，所以只能设法使一次项相同
< br>
.
因此，把
(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)
分组为
[(x-
1) (x+2)][(x-3)(x+4)] =
(x 2 +x-2) (x 2 +x-12)
，从而转化成例
2
形式加以解决
.
我们采用
“
均值换元法
”
，设
m=
[ (x 2 +x-2)+ (x 2 +x-12)]=x 2 +x-7
，则
x 2
+x-2=m+5
，
x 2 +x-2= m-5
，原式变形为
(m+5)(m-5)+24= m 2 -25+24= m 2
-1=(m+1)(m-1)= ( x 2 +x-7+1)( x 2 +x-7-1)
= ( x 2 +x-6)( x 2 +x-8)= (x-2)(x+3)( x
2 +x-8).
(3)
、换常数
例
1
分解因式
x 2 (x+1)-2003 × 2004x.
分析
：此题若按照一般思路解答，很难奏效
.
注意到
2003
、
2004
两个数
字之间的关系，把其
中一个常数换元
.
比如，设
m=2003
，则
2004=m+1.
于是，原式变形为
x 2 (x+1)
–
m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)] = x(x 2 +x-m 2 -m)
= x[(x 2
-m 2 )
+(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]
=
x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)=
x(x-2003)(x+2004).
例
13
、分解因式（
1
）
（
2
）
解：（
1
）设
2005=
=
=
（
2
）
型如
乘。
原式
=
设
∴
原式
=
=
=
，则
=
，则原式
=
的多项式
，分解因式时可以把四个因式两两分组相
练习
13
、分解因式（
1
）
（
2
）
（
3
）
例
14
、分解因式（
1
）
观察：此多项式的特点
——
是关于
的降幂排列，每一项的次数依次少
1
，并且系数成
“
轴对称
”
。这种多项式属于
“
等距离
多项式
”
。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式
=
=
设
∴
原式
=
，则
=
=
=
=
=
=
（
2
）
解：原式
=
=
设
∴
原式
=
=
，则
=
=
练习
14
、（
1
）
（
2
）
六、添项、拆项、配方法。
例
15
、分解因式（
1
）
解法
1
——
拆项。
解法
2
——
添项。
原式
=
=
=
=
（
2
）
解：原式
=
=
=
=
练习
15
、分解因式
（
1
）
（
2
）
=
原式
=
=
=
=
=
（
3
）
（
5
）
七、待定系数法。
例
16
、分解因式
（
4
）
（
6
）
可以分为
=
=
=
，则原多项式必
分析：原式的前
3
项
定可分为
解：设
∵
∴
对比左右两边相同项的系数可得
∴
原式
=
例
17
、（
1
）当
分解此多项式。
（
2
）如果
为何值时，多项式
，解得
能分解因式，并
有两个因式为
和
，求
的值。
（
1
）分析：前两项可以分解为
解：设
则
=
=
，故此多项式分解的形式必为
比较对应的系数可得：
∴
当
当
当
，解得：
或
时，原多项式可以分解；
时，原式
=
时，原式
=
；
（
2
）分析：
是一个三次式，所以它应该
分成三个一次式相
乘，因此第三个因式必为形如
的一次二项式。
解：设
则
=
=
∴
∴
= 21
解得
，
练习
17
、（
1
）分解因式
（
2
）分解因式
（
3
）
已知：
求常数
并且分解因式。
（
4
）
为何值时，
积，并分解此多项式。
能分解成两个一次因式之积，
能分解成两个一次因式的乘
第二部分：习题大全
经典一：
一、填空题
1 .
把一个多项式化成几个整式的
_______
的形式，叫做把这个多项式分解
因式。
2
分解因式：
m 3 -4m =
.
3.
分解因式：
x 2 -4y 2 = __
_____.
4
、分解因式：
=___________
______
。
5 .
将
x n -y n
分解因式的结果为
(x 2 +y 2 )(x+y)(x-y)
，则
n
的值为
.
6
、若
二、选择题
7
、多项式
的公因式是
( )
，则
=_________
，
=__________
。
A
、
B
、
C
、
D
、
8
、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是
( )
A
、
B
、
C
、
D
、
10
.
下列多项式能分解因式的是（
）
(A)x 2 -y (B)x 2 +1 (C)x 2 +y+y 2
(D)x 2 -4x+4
11
．把（
x
－
y
）
2
－（
y
－
x
）分解因式为（
）
A
．（
x
－
y
）（
x
－
y
－
1
）
B
．（
y
－
x
）（
x
－
y
－
1
）
C
．（
y
－
x
）（
y
－
x
－
1
）
D
．（
y
－
x
）（
y
－
x
＋
1
）
12
．下列各个分解因式中正确的是（
）
A
．
10ab 2 c
＋
6ac 2
＋
2ac
＝
2ac
（
5b 2
＋
3c
）
B
．（
a
－
b
）
2
－（
b
－
a
）
2
＝（
a
－
b
）
2
（
a
－
b
＋
1
）
C
．
x
（
b
＋
c
－
a
）－
y
（
a
－
b
－
c
）－
a
＋
b
－
c
＝（
b
＋
c
－
a
）（
x
＋
y
－
1
）
D
．（
a
－
2b
）（
3a
＋
b
）－
5
（
2b
－
a
）
2
＝（
a
－
2b
）
（
11b
－
2a
）
13.
若
k-12xy+9x 2
是一个完全平方式，那么
k
应为（
）
A.2 B .4 C .2y
2
D.4y 2
三、把下列各式分解因式：
14
、
16
、
18
、
五、解答题
15
、
17
、
19
、
；
边长
20
、如图，在一块边长
= 6.67cm
的正方形纸片中，挖去一个
= 3.33cm
的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21
、如图，某环保工程需要一种空
心混凝土管道，它的规格是内径
，外径
长
分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？
(
结果保留
2
位有效数字
)
22
、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第
(5)
个等式。
。利用
取
3.14
，
经典二：
1.
通过基本思路达到分解多项式的目的
例
1 .
分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式
后，再进一步分
解；也可把
，
，
分别看成一组，此时的六
项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式
解二：原式
=
2.
通过变形达到分解的目的
例
1 .
分解因式
解一：将
拆成
，则有
解二：将常数
拆成
，则有
3.
在证明题中的应用
例
：求证：多项式
的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝
对值。本题要
证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
设
，则
4.
因式分解中的转化思想
例
：分解因式：