因式分解专项训练
-
因式分解方法技巧
专题一
分解因式的常用方法：一提二用三查
，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公
式来分解；最后检查每个因式是否还
可以继续分解，以及分解的结果是否正确。
常见错误：
1
、漏项，特别是漏掉
2
、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化
3
、分解不彻底
首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏
1<
/p>
，括号里面分到“底”
［例题］
把下列各式因式分解：
2
5
2
2
1.
x(y-x)+y(y-x)-(x-y)
2.a
-a 3.
3(x
-4x)
-48
1
、
3
x
12
x
4
、
56x
yz+14x
y
z
－
21xy
z
5
、－
4a
＋
1
6a
b
－
26ab
3
2
2
2
2
3
2
2
3
2
、
2
a
(
x
1
)
2
ax
3
、
3
a
6
a
2
2
2
2
6
、
m
16
n
4
4
专题二
二项式的因式分解
:
二项式若能分解，
就一定要用到两种方法：
1
提公因式法
2
平方差公式
法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构
造平方差公式，运用平方差公式
2
2
a
-b
=(a+b)(a-b)
时，关键
是正确确定公式中
a,b
所代表的整式，将一个数或者一个整式
化
成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。
平方差公式运用时注意点：
根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：
A
、
多项式为二项式或可以转化成二项式；
B
、
两项的符号相反；
C
、
每一项
的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；
D
、
首项系
数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；
E
、
对于分
解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式
2
[
例题
]
< br>分解因式：
3(x+y)
-27
1
1)x
－
x
5
3
2
）
m
4
16
n
4
3)25
－
16
x
2
4)9
a
－
2
1
2
1<
/p>
b
. 5
）
25
－
16
x
2
; 6
）
9
a
2
－
b
2
.
4
4
专题三
三项式的分解因式
:
如果一个能分解因
式，一般用到下面
2
种方法：
1
提公因式法
2
完全平
2
2
方公式法。
先观察三项式中是否
含有公因式，
然后再看三项式是否是完全平方式，
即
a
+2ab+b
2
2
或者
a
-2ab+b
的形式
完全平方公式运用时注意点：
A.
多项式为三项多项式式；
B.
其中有两项符号相同，且这两项
的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；
C.
第三项为
B
中这两个数（或代数式）的积的
2
倍，或积的
2
倍的相反数。
【例题】
将下列各式因式分解：
2
2
4
2
1
）
ax
-2axy+
ay
2)x
-6x
+9
1)2
5x
＋
20xy
＋
4y
2
）
x
＋
4x
＋
4x 3)
8
a
b
12
ab
4
ab
4)
<
/p>
3
x
12
x
9
x
5)
x
2
3
2<
/p>
2
2
3
2
3
2
4
3
n
1
y
n
1
2
x
2
n
1
y
2
n<
/p>
1
x
n
1
y
3
n
1
专题四
多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
分组分解法
要把多项式
am+an+bm+bn
分解因式，可以先把它
前两项分成一组，并提出公因式
a
，把它后
两项分成一组，并提出公因式
b
，从而得到
a(m+n)+b(m+n),
又可以提出公因式
m+
n
，从而得
到
(a+b)(m+n)
[
例题
]
分解
因式
1. m
+5n-mn-5m
2.
x
1
、
a<
/p>
b
4
a
4
b
2
、
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
（
1
）
(
a
2
)
(
3
a
< br>1
)
（
2
）
x
(
x
2
y
)
x
(
2
y
x
< br>)
（
3
）
a
(
x
y
)
2
a
(
x
< br>
y
)
(
x
y
)
2.
已知：
x
3
2<
/p>
2
3
4
2
2
5
2
2
3
n
1
y
n
1
2
x
2
n
1
y
2<
/p>
n
1
x
n
1
y
3
n
1
2
2
< br>1
1
3
，求
x
4
4
的值。
x
x
3.
若
a
，
b
，
c
是三角形的三条边，求证：
a
2
b
2
c
2
2
bc
0
专题五
完
全平方公式
(
a
b
)
a
2
ab
b
,(
a
b<
/p>
)
a
2
ab
b
在使用时常作如下变形：
(1)
a
b
(
a
b
)
2
ab
,
a
b
(
a
b
)
2
ab
(2)
(
a
b
)
(
a
b
)
4
ab
,(
a
b
< br>)
(
a
b
)
4
ab
(3
)
(
a
b
)
(
a
b
)
2(
a
b
)
(4)
a
b
(5)
ab
2
2
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
[(
a
b
)
2
(
a
b
)
2
]
2
1
[(
a
b
)
2
(
a
b
)
2
]
2
2
2
(6)
a
b
c
ab
bc
ca
1
[(
a
b
)
2
(
b
c
< br>)
2
(
c
a
)
2
]
2
例
1
已
知长方形的周长为
40
，面积为
75<
/p>
，
求分别以
长方形的长和宽为边长的正方
形面积
之和是多少？
例
2
已知
长方形两边之差
为
4
，
面积为
12
，求以长方形的
长
与宽之和为边长的正方形面
积
.
例
3
若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的
2
倍也可以表示为两个
整数的平方和
.
例
5
已知两数的和为
10
，
平方和为
52
，求这两数的积
.
4