(完整)初中因式分解的常用方法—特色专题详解
-
初中因式分解的常用方法
—
< br>特色专题详解
一、提公因式法
.
如多项式
am
bm<
/p>
cm
m
(
a
b
c
),
其中
m
叫做这个多项式各项的公因式，
m
既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法
.
运用公式法，即用
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
),
a
2
2
a
b
b
2
<
/p>
(
a
b
)
2
,
a
3
b
3
(
a
b
)(
a
2
ab
b
2
)
写出结果．
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
例
2
、分解因式：
2
ax
10
ay
5
by
bx
1
/
30
<
/p>
对应练习：分解因式
1
、
a
2
ab
< br>
ac
bc
< br> 2
、
xy
x
y
< br>
1
（二）分组后能直接运用公式
例
3
、分解因式：
x
2
y
2
ax
a
y
例
4
、分解因式：
a
2
2
ab
b
2
c
2
2
/
30
对应练习：分解因式
3
、
x
2
< br>x
9
y
2
3
y
4
、
x
2
<
/p>
y
2
z
2
2
yz
综合练习：（
1
）
x
3
x
2<
/p>
y
xy
2
y
3
（
2
）
ax
2
bx
2
bx
ax
a
b
（
3
）
x
2
6
xy
9
y
2
16
a
2
8
< br>a
1
< br>（
4
）
a
2
6
ab
12
b
9
b
2
4
a
（
5
）
a
4
2
a
3
a
2
9
（
6
）
4
a
2
x
4
a
2
y
b
2
x
< br>
b
2
y
3
/
30
（
7
）
x
2
2
xy
xz
yz
y
2
（
8
）
a
2
2<
/p>
a
b
2
2
b
2
ab
1
（
9
）
y
(
y
2
)
(
m
< br>1
)(
m
1
)
（
10
）
(
a
c
)(
a
c
)
b
(
b
2
a
)
（
11
）
a
2
(
b
c
)
b
2
(
a
c
)
c
2
(
a
b<
/p>
)
2
abc<
/p>
（
12
）<
/p>
a
3
b
3
c
3
3
abc
四、十字相乘法
.
（一）二次项系数
为
1
的二次三项式
< br>直接利用公式——
x
2
(
p
q
)
x
pq
(
x
< br>p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数项是两个数的乘积；
<
/p>
（
3
）一次项系数是常数项的两因数的和
。
例
5<
/p>
、分解因式：
x
2
5
x
6
4
/
30
例
6
、分解因式：
x
2
7
x
6<
/p>
对应练
习
5
、分解因式
(1)
x
2
14
< br>x
24
(2)<
/p>
a
2
15
a
36
对应练习
6
、分解因式
(1)
x
2
x
2
(2)
y
2
2
y
15<
/p>
(3)
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
2
bx
c
条件：
（
1
）
a
<
/p>
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
< br>
a
1
c
2
a
2
c
1
分解结果：
ax
2
bx
c
=
(
a
1
x
c
1
)(
a
2
x
c
2
)
例
7
、分解因式：
3
x
2
11
x
10
5
/
30
x
2
4
x
5
x
2
10
x
24
(3)
对应练习
7
、分解因式：（
1
）
5
x
2
7
x
6
（
2
）
3
x
2
7
x
<
/p>
2
（
3
）
10
x
2
17
x
3
（
4
）
6
y
2
11
< br>y
10
（三）二次项系数为
1
的齐次多项式
例
8
、分解因式：
a
2
8
ab
128
b
< br>2
对应练
习
8
、分解因式
(1)
x
2
3
xy
2
y
2
(2)
m
2
6
mn
8
n
2
(3)
a
2
ab
6
b
2
（四）二次项系数不为
1
的齐次多项式
例
9
、
2
x
2
7
xy
6
y
2
例
10
、
x
2
y
< br>2
3
xy
2
6
/
30
对应练
习
9
、分解因式：（
1
）
15
x
2
< br>
7
xy
4
y
2
（
2
）
a
2
x
2
6
ax
8
综合练习
10
、（
1
）
8
x
6
7
x<
/p>
3
1
（
3
）
(
x
y
)
2
3
(
x
y
< br>)
10
（
5
）
x
2
y
2
5
x
2
y
6
x
< br>2
（
7
）
x
2
4
xy
4
y
2
2
x
4
y
3
7
/
30
（<
/p>
2
）
12
x
2
11
xy
15
y
2
（
4
）
(
a
b
)
2
4
a
4
b
3
6
）<
/p>
m
2
4
mn
4
n
2
3
m
6
n
< br>2
（
8
）
5
(
a
b
)
2
23
(
a
2
b
2
)
10
(
a
b
)
2
< br>（
（
9
）
4
x
2
4
xy
6
x
3
y
y
2
10
（
10
）
12
(
x
y
)
2
11
(
x
2
y
2
)
2
(
x
y
)
2<
/p>
思考：分解因式：
abcx
2
(
a
2
b
2
< br>c
2
)
x
abc
五、主元法
.
例
11
、分解因式：
x
2
3
xy
10
y
2
x
9
y
2
对应练习
11
、分解因式
< br>(1)
x
2
< br>y
2
4
x
6
y
5
(2)
8
/
30
x
2
xy
2
y
2
x
7
y
6
(3)
x
2
xy
6
y
2
x
13
y
6
(4)
a
2
ab
< br>6
b
2
5
a
35
b
36
六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对
Ax
2
< br>
Bxy
Cy
2
Dx
< br>Ey
F
型多项式的分解因式。
条件：（
1
）
A
a
1<
/p>
a
2
，
C
c
1
c
2
，
F
f
1
f
2
（
2
）
a
1
c
2
<
/p>
a
2
c
1
B
，
c
1
f
2
c
2
f
1
E
，
a
1
f
2
a<
/p>
2
f
1
D
即：
a
1
c
1
f
1
a
2
c
2
f
2
a
1
c
2
a
2
c
1
B
，
c
< br>1
f
2
c
2
f
1
E
，
a
1
f
2
a
2
f
1
D
则
Ax
2
Bxy
Cy
2
Dx
Ey
F
< br>
(
a
1
x
c
1
y
f
1
)(<
/p>
a
2
x
c
2
f
2
)
例
12
、分解因式（
1
）
x
2
3
xy
10
y
2
x
9
y
2
（
2
）
x
2
xy
6
y
2
x
13
y
6
9
/
30
对应练
习
12
、分解因式（
1
）
x
2
xy
2
y
2
x
7
y
6
（
2
）
6
x
2
7
xy
3
y
2
xz
7
yz
2
z
2
七、换元法。
例
13
、分解因式（
1
）
2005
x
2
(
2005
2
1
)
x
2005
（
2
）
(
x
1
)(
x
2
)(
x
3
)(
< br>x
6
)
x
2
对应练习
13
、分解因式（
1
）
(
x
2
xy
y
2
)
2
4
x
y
(
x
2
<
/p>
y
2
)
10
/
30
（
2
）
(
x
2
3
x
2
)(
4
x
2
8
x
3
)
90
（
3
）<
/p>
(
a
2
1
)
2
(
a
2
5
)
2
4
(
a
2
3
)
2
例
14
、分
解因式（
1
）
2
x
4
x
3
6
x
2
x
2
观察：此多项式的特点——是关于
x
的降幂排列，每一项的次数依次少
1
，并且系数
成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
对应练习
14
、（
1
）
6
x
4
7<
/p>
x
3
36
x
2
7
x
6
（
2
）
x
4
< br>
2
x
3
x
2
1
2
(
x
x
2
)
11
/
30
八、添项、拆项、配方法。
例
15
、分解因式（
1
）
x
3
3
x
2
4
对应练习
15
、分解因式（
1
）
x
3
9
x
8
（
2
）
(
x
1
)
4
(
x
2
<
/p>
1
)
2
(
x
1
)
4
（
3
）
x
4
7
x
2
1
（
4
）
x
4
x
2
2
ax
1
a
2
12
/
30
（
5
）
x
4
y
4
(
x
y
)
4
< br>
（
6
）
2
a
2
b
2
2
a
2
c
2
2
b
2
c
2<
/p>
a
4
b
4
c
4
九、待定系数法。
例
16
、分解因式
x
2
xy
6
y
2
x
13
y
< br>6
例
17
、（
1
）当
m
为何值时，多项式
< br>x
2
y
2
mx
5
y
6
能分
解因式，并分解此多
项式。
（
2
）如果
x
3
ax
2<
/p>
bx
8
有两个因式为
x
1
和
x
2<
/p>
，求
a
b
的值。
13
/
30
对应
练习
17
、（
1
）分解因式
x
2
< br>3
xy
10
< br>y
2
x
9
y
2
（
2
）分解因式
x
2
3
xy<
/p>
2
y
2
5
x
7
y
6
（
3
）已知：
x
2<
/p>
2
xy
3
y
2
6
x
14
y
p
能分解成两个一次
因式之积，求常数
p
并且分
解因式。<
/p>
（
4
）
k
为何值时，
x
2
2
xy
ky
2
3
x
5
y
2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此
多项式。
14
/
30
初中阶段因式分解的常用方法（例题再详解）
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法
.
如多项式
am
bm
cm
m
(
a
b
c
),
其中
m
叫做这个多项式各项的公因式，
m
既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法
.
运用公式法，即用
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
),
a
2
2
a
b
b
2
<
/p>
(
a
b
)
2
,
a
3
b
3
(
a
b
)(
a
2
ab
b
2
)
写出结果．
三、分组分解法
.
（一）分组后能直接提公因式
例
1
、分解因式：
am
an
bm
bn
分析：从“整体”看，这个
多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，
但从“局部”看，这个多项式前
两项都含有
a
，后两项都含有
b
，因此可以考虑将前两
项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
虑两组之间的联系。
解：原式
=
(
am
an
)
(
bm
bn
)
=
a
(
m
n
)
< br>
b
(
m
n
)
每组之间还有公因式！
=
(
m
n<
/p>
)(
a
b
)
思考：此题还可以怎样分组？
此类型
分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有
公因式可以
提。
例
2
、
分解因式：
2
ax
< br>10
ay
5
< br>by
bx
解法一：第一、二项为一组；
解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
15
/
30