1、因式分解1(提套)
-
第
1
讲
因式分解
(1)
【
竞赛导航
】
如果多项式的各项有公因式，
根据乘法分配律的逆运算，
可以把这个公因式
提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
本讲主要涉及用
提公因式法
和
公式法
分解因式
.
一、
提公因式法是因式分解的最基本
也是最常用的方法。
它的理论依据就是
乘法分配律。多项式的公
因式的确定方法是：
（
1
）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（
2
）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是
数、单项式，也可以是
多项式。
二、
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：
平方差公式：
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a<
/p>
-
b
)
完全平方公式：
a
2
±
2
a
b+
b
2
=(
a
±
b
)
2
推广公式：
a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)
2
立方和、立方差公式
:
a
3
±
b
3
=(
a
±
b
< br>)(
a
2
< br>
a
b+
b
2
)
和（差）的立方公式：<
/p>
a
3
3
a
2
b
3
ab
2
b
3
(
< br>a
b
)
3
补充：欧拉公式：
a
3
+
b
3
+c
3
= (
a
+
b
+
c
)(
a<
/p>
2
+
b
2
+
c
2
-
ab
-
ac
-
bc
) +3
abc
1
(
a
b
c
)[(
a
b
)
2
(
< br>b
c
)
2
(
c
a
)
2
]
+3
abc
2
特别地：（
1
）当
a
+
b
+
c
=0
时，有
a
3
+
b
3
+c
3
=3
a
bc
（
2
）当<
/p>
c
0
时，欧拉
公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄
清各个公式的形式和特点，
熟练地掌握公
式。但有时需要经过适
当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代
数式的值，
解方程、
几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
【
典例解析
】
例
1.
把下列各式因式分解
（
1
）
< br>a
2
x
m
2
abx
m
1
a
cx
m
ax
m
3
；（
2
）
a
(
a
b
)
3
2
a
2
(
b
a
< br>)
2
2
ab
(
b
a
)
例
2.
<
/p>
计算：
123
987
987
987
987
268
456
521
1368
1368
1368
1368
2
x
y
3
例
3.
不解方程组
< br>
，求代数式
(
2
x
y
)(
2
x
3
y
)
3
x
(
2
x
<
/p>
y
)
的值。
<
/p>
5
x
3
y
2
1
例
4.
证明：对于任意自然数
n
，
3
n
2
2
n
2
3
n
2
n
一定是
10
的倍数。
例
5.
已知：
x
2
bx
c
（
b
、<
/p>
c
为整数）
是
x
4
6
x
2
25
及
3
x
4
4
x
2
28
x
5
< br>的
公因式，求
b
、
c
的值。
例
6.
设
x
为正整数，试判断
10
5
x
x
< br>(
x
2
)
是质数还是合数，请说明理由。
例
7.
<
/p>
分解因式
a
2
2
a
b
2
2
b
=
.
例
8.
已知多项式
< br>2
x
3
x
2
m
有
一个因式是
2
x
1
，求
m
的值。
< br>
例
9.
已知
a
、
b
、
c<
/p>
是
ABC
的三
条边，且满足
a
2
< br>b
2
c
2
ab
bc
ac
0
，
试判断
ABC
的形状。
例
10.
两个连续奇数的平方差一定是
8
的倍数
。
例
11.
已知
a
b
c
0
，
a
3
b
3
c
3
0
，
求证：
a
5
b
< br>5
c
5
0
2