因式分解一
-
知识目标
模块一
因式分解的概念
例
2
模块二
提公因式法
模块三
公式法
模块四
分组分解法
例
2
、例
3
因式分解
(
一
)
难度
✩
难度
✩✩
例
4
、例
5
、例
6
难度
✩✩
例
7
、例
8<
/p>
、例
9
难度
✩✩✩
模块一
因式分解的概念
知识导航
一、定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，又叫做把这个多
项式分解因式．
二、实质
因式分解是一种恒等变形，是一种化和为积的变形，因式分解与整式乘法是相反方向的变
形
因式分解
整式乘法
多项式
整式乘积
三、结果形式
①每个因式都必须是整式；
②分解到不能再分为止；
③单项式要写在多项式的前面；
④相同因式要写成幂的形式；
⑤没有大括号和中括号；
⑥每个因式第一项系数一般不为负数．
四、因式分解的常用方法
提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法
五、因式分解的一般步骤
如果多项式
的各项式有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再考虑能否应用公式法，十字相乘
法；如还不能则考虑分组分解法或其他方法．
例
1
(1)
下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是
(
)
A
．<
/p>
3
ab
(
a
＋
b
)
＝
3
a
2
b
＋
3
ab
2
2
B
．
2
x
2
＋
4
x
＝<
/p>
2
x
2
(1
)
x
C
．
a
2
－
4
b
2
< br>＝
(
a
＋
2
b
)(
a
－
2
b
)
D
．
3
x
2
－
6
xy
＋
3
x
＝
3
x
(
x
－
2
y
)
(2)
一个多项式分解因式的结果是
< br>(
b
3
＋
2)(2
－
b
3
)
，那么这个多项式是
(
)
A
．<
/p>
b
4
－
4
B
．
4
－
b
4
C
．
b
6
＋
4
D
．－
b
6
< br>－
4
练习
(1)
下列从左到右的变形，属因式
分解的是
(
)
A
．<
/p>
(
x
＋
a
)(
x
－
a
)
＝
x
2
－
a
2
< br>B
．
x
2
－
4
x
＋
3
＝
x
(
x
－
4)
＋
3
C
．
x
3
－
8
x
2
＝
x
2
(
< br>x
－
8)
< br>D
．
x
＋
y
＝
x
(
1
y
)
x<
/p>
(2)
下列分解因式错误的是
(
)
A
．
x
2
－
y
2
＝
(
x
＋
y
)(
x
－
y
)
B
．
x
2
＋
2
x
＋
1
＝
(
x
＋
1)
2
C
．
x
2
＋
y
2
＝
(
x
＋
y
)<
/p>
2
D
．
x
2
＋
xy
＝
x
(
x
＋
y
< br>)
(3)
若
x
2
－
ax
－
< br>1
可以分解为
(
x
－
2)(
x
＋
b
)
，则
a
＋
b
的值为
(
)
A
．－
1
B
．
1
C
．－
2
D
．
2
模块二
提公因式法
知识导航
1
．公因式：多项式各项公共的因式．
2
．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提
取出来，将多项式写成公因式与另一因式
的乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式
法．
3
．用提公因式法进行因式分解
要注意下面几点：
(1)
公因式要提尽
(2)
将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正．
(3)
提公因式后项数不变，勿漏掉常数项．
例
2
把下列各式分解因式
(1) 8
x
3
y
2
＋
12
xy
3
；
(2) 2
a
(
b
＋
c
)
－
3(
b
＋<
/p>
c
)
；
(3)
12
abc
－
9
a
2
b
2
；
(4) (
x
＋
3)
2
－
(
x
＋
3)
；
练习
因式分解
(1)
< br>－
3
abx
4
< br>＋
acx
3
－
< br>ax
；
(2)
12
a
2
x
3
＋
6
abx
2
y
－
15
ac
x
2
；
(3) (
x
＋
y
)
2
－
3(
x
＋
y<
/p>
)
；
例
3
因式分解
(1) 2
a
2
b
(
x
＋
y
)
2
(
b
＋
c<
/p>
)
－
6
a
3
b
3
(
x
＋
y
)(
b
＋
c
)
< br>2
；
(2) (2
x
＋
y
)
3
－
(2
x
＋
y
)
2
＋
(2<
/p>
x
＋
y
)
；
(3) (2
x
－
3
y
)(3
x
－
2
y
)
＋
(2
y
－
3
x
)(2
x
＋
3
y
)
；
练习
因式分解
(1)
< br>x
(
a
b
)
2
n
y
(
b
a
)
2
n
1
；
(2)
x
(
m
－
x
)(
m
－
y
)
－
m
(
m
－
x
)(
m
－
y
)
；
(3)
m
(
x
＋
y
)
＋<
/p>
n
(
x
＋
y
)
－
x
－
y
；
拓展
分解因式：
1
＋
x
＋
x
(
x
＋
1)
＋
x
(
x
＋
1)
2
＋
·
·
·
＋
x
(
x
＋
1)
n
＝＿＿＿＿＿＿＿
(<
/p>
n
为正整数
)
．
模块三
公式法
知识导航
一、公式法
把乘法公式反过来，就可
以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解．
二、常见公式
平方差公式：
a
2
－
b
2
＝
(
a
< br>＋
b
)(
a
－
b
)
；
完全平方公式：
a
2
< br>±
2
ab
＋
b
2
＝
(
a
±
b
)
2<
/p>
；
立方和公式：
a
3
＋
b
3
＝
(
a
＋
b
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
；
立方和公式：
a
3
－
b
3
＝
(
a
－
b
)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
；
完全立方公式：
a
3
＋
3
a
2
b
＋
3
ab
2
＋
b
3
＝
(
a
＋
b
)
3
；
a
3
－
3
a
2
b
＋
3
ab
2
－
b
3
＝
(
a
－
b
)
3
．
例
4
因式分解
(1) 4
a
2
－
9
；
(2) (
x
＋
m
)
2
－
(
x
＋
n
)
2
；
(3)
4
x
＋
12
x
＋
9
；
练习
因式分解
(1) 9(
m
－
n
)
< br>－
4(
m
＋
n
)
；
2
2
2
1
1
(4)
3
a
b
3
a
b
；
2
2
2<
/p>
2
(2) 9
x
－
24
xy
＋
16
y
；
2
2
2
a
b
c
2
a
< br>b
c
(3)
2
2
<
/p>
2
2
例
5
因式分解
(1)
x
3
－
2
x
2
y
＋
xy
2
；
(3)
27
x
2
＋
1
8
x
＋
3
练习
因式分解
(1)
< br>ax
2
－
4
ax
＋
4
a
；
(3)
－
x
3
－
2
x
2<
/p>
－
x
；
例
6
分解因式
(1) 4
b
2
c
2
－
(
b
2
＋
c
2
)
2<
/p>
；
(3)
－
(
a
＋
1)
2
－
2(
a
2<
/p>
－
1)
－
(
a
－
1)
2
；
练习
因式分解
(1) (
a
2
＋
b
2
－
1)
2
－
4
a
2
b
2
；
(2)
x
3
－
xy
2
；
(4)
(
x
2
＋
4)
2
＋
8
x
(
x
2
＋
4)
＋
16
x
2
；
(2)
a
2
(
a
2
－
1)
－
a
2
＋
1
；
(4) 4
m
3
n
－
16
mn
3
；
(2) 16
m
4
－
72
m
2
＋
81
；
(3) 9(
a
－
b
)
2
＋
12(
a
2
－
b
2
)
＋
4(
a
＋
b
)
2
；
(2) (
x
2
＋
4)
2<
/p>
－
16
x
2
；