因式分解讲义精讲
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教育教学讲义
学员姓名：
上课时间：
课
题
年
级：
辅导科目：数学
因式分解
学科教师：
课时数：
2
教学目标
讲解因式分解的三种方法
1
提取公因式法
2
用乘法公式因式分解
3
特殊的因式分解
教学内容
课前检测
知识梳理
6.1
因式分解
谁能以最快速度求：当
a=101
，
b=99
时，
a
2
－
b
2
的值
?
概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．
①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
1
．填空
(
整式乘法，因式分解
)
2
．这两种运算是什么关系
?(
< br>互逆
)
图示表示：
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因式分解．
3
．解决问题．
现在你能利用所学的知识解决上课初的那道题吗
(
合作完成
)?
：
101
2
－
99
2
=-(101
＋
99)(101
－
99)
=200×
2
=400
．
那
87
2
＋
8
7×
13
又该怎么算呢
?
思维拓展
2
2
1.
若
x
+mx-n
能分解成
(x-2)(x-5),
< br>则
m=
,n=
2
．
x
-8x+m=(x-4)(
),
且
m=
6.2
提取公因式法
计算（
1
）
25
×
< br>17+25
×
83
（
2
）
15.67
×
91+15.67
×
9
1
）应用分配律，使计算简便
（
2
）分配律的一般式
a
（
b+c
）
= ab+ac
在此应用的是
ab+ac=
a
（
b+c
）
（
*
）
从因式分解的角度观察式
（
1
）可以看作是因式分解
（
2
）做法是把每一项中都含有
的相同的因式，提取出来
提取公因式法分解因式的步骤
确定提取的公因式
例：
3a
x
y+6x
3
yz
< br>归纳：公因式是各项系数的最大公因数（当系数是整数的）与各项都含有的相同字母
的最低次幂的积
⑴公因式的系数
应取各项系数的
最大公约数
（当系数是整数时）
⑵字母取各项的相同字母，且各字
母的指数取
最低次幂
（
3
）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项
式。
2
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根据分
配律，可得
m
（
a+b
）
=ma+mb
逆变形，
使得
到
ma+mb
的因式分解形式：
ma+
mb=m
（
a+b
）
< br>
这说明多项式
m
各项都含有的
公因式可提到括号外面，将多项式
ma+mb
写成
m
（
a+b
）的形式，这种
分解因式的方法叫做
提取公因式法
用提取公因式法分解因式：<
/p>
3ax
y+6x
3
yz=3x
y
（
a+2xz
）
归纳：
a
、提取公因式后，多项式余下的各项不再含有公因式
b
、提取
的实质是将多项式中的每一项分别除以公因式
3x
y
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴
ax+ay-a
⑵
5x
2<
/p>
y
3
-10x
2
y
⑶
24abc-9a
2
b
2
⑷
m
2
n+mn<
/p>
2
⑸
x(x-y)
2
-y(x-y)
例
1
把下列各式分解因式：
（
1
）
2
x
3
+6 x
（
2
）
3pq
3
+15p
3
q
（
3
）－
4x
+8a
x+2x
（
4
）－
< br>3ab+6abx
－
9aby
（
6
）
-3ab+6abx-9aby
（
7
）
3
x
(
x
2
)
(
2
x
< br>)
1.
把下列各式因式分解
（
1
）
a
x
2
2
m
2
2
2
< br>2
2
2
abx
m
1
acx
m
ax
m
3
（
2
）
a
(
a
b
)
3
2
a
2
< br>(
b
a
)
2
2
a
b
(
b
a<
/p>
)
3
2
（
3
）
4
m
n
12
m
n
2
mn
（
4
）
a
(
a
b
)
3
2
a
2
< br>(
b
a
)
2
2
a
b
(
b
a<
/p>
)
2
分解因式
：
4
q
(
1<
/p>
p
)
3
2
(
p
1
)
2
分析：
（
1
）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，
在提出“－”
号后，多项式的各项都要变号。
（
2
）
有
时
将
因
式
经
过
符
号
变
换
< br>或
将
字
母
重
新
排
列
后
可
化
为
公
因
式
，
如
：
当
n
为
自
然
数
时
< br>，
3
(
a
b
)
2
n
(
b
a
)
2
n
；
(
a
b
)
2
n
< br>
1
(
b
a
)
2
n
1
，是在因式分解过程中常用的因式变换。
探索
：
1.
2
（
a-b
）
2
-a+b
能分解因式吗？
2.
分解因式
x
a
-x
a-1
+x
a-2
拔高应用
1
已知
x
、
y
都是正整数，且
< br>x
(
x
y
)
y
(
y
x
)
12
，求
x
、
y
。
2
化简：
1
x
x
(
1
x
)
x
(
1
x
)
< br>2
„
x
(
1
x
)
1995
，且当
x
0
时，求原式的值。
3
设
x
为整数，试判断
10
5
x
x
(
x
2<
/p>
)
是质数还是合数，请说明理由。
注意要找到恰当的公因式。
说明：
在大于
1
的正数中，除了
1
和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被
1
和本身整除的数
叫质数。
用乘法公式分解因式
思维导航：运用
公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：
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