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2021年2月12日发(作者：我还记得歌词)

因

式

分

解

< br>培

优

专

题

一

)

(

精品文档

初三数学因式分解培优专题（一）

一、用提公因式法把多项式进行因式分解

【

知识精读

】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公

< br>因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提 公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是

乘法分配律。多项式 的公因式的确定方法是：

（

1

）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（

2

）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数 、单项式，也可

以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【

分类解析

】

1.

把下列各式因式分解

（

1

）



a

2

x

m



2



abx

m



1



< br>acx

m



ax

m



3

（

2

）

a

(

a



b

)< /p>

3



2

a

2

(

b



< p>
a

)

2



2

ab

(

b

< br>

a

)

分析：

（

1

）若多项式的第一项系数 是负数，一般要提出“－”号，使

括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项 式的各项都要变

号。

解：

（< /p>

2

）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，

如：当

n

为自然数时，

(

a



b

)

2

n



(

b



a

)< /p>

2

n

；

(

a



b

)

< p>
2

n



1





(

b



a

)

2

n



1

，是

在 因式分解过程中常用的因式变换。

解：

2.

利用提公因式法简化计算过程

例：计 算

123



987



268



987



456



987

< p>


521



987

1368

1368

1368

1368

分析：

算式中每一项 都含有

987

1368

，可以把它看成 公因式提取出来，再算

出结果。

解：

3.

在多项式恒等变形中的应用

例 ：不解方程组





2

< br>x



y



3



5

x



3

y





2

，求代数式

(

2

x



y

)(< /p>

2

x



3

y

)



3

< p>
x

(

2

x



y

)

的值。

分析：

不要求解方程组，我们可以把

2

x



y

和

5

x



3

y

看成整体，它们的

值分别是

3

和



2

< p>
，观察代数式，发现每一项都含有

2

x

< p>


y

，利用提公因

式法把 代数式恒等变形，化为含有

2

x



y

和

5

x



3

y

的式子，即可求 出结

果。

解：

4.

在代数证明题中的应用

例：证明：对 于任意自然数

n

，

3

< br>n



2



2

n



2



3

n



2

n

一定是

10

的倍 数。

分析：

首先利用因式分解把代数 式恒等变形，接着只需证明每一项都是

10

的倍数即可。

解：

5

、中考点拨：

例

1

。因式分解

3

x

(

x



2

)



(

2



x

)

解：

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精品文档

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过

变形转换得到。< /p>

例

2

．分解因 式：

4

q

(

1



p

)

3



2

(

p



1

)

2

解：

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到 公因式，

同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

补充：欧拉公式：

a

3



b

3



c

3



3

abc



(

a



b



< br>c

)(

a

2



b

2



c

2



ab



bc



ca

)



1

(

a



b



c

)[(

a



b

)

2



(

b



< br>c

)

2



(

c



a

)

2

]

2

举一反 三：

1

、分解因式：

（

1

）



4

m

2

n

3< /p>



12

m

3

n

2



2

mn

< p>
（

2

）

a

2

x

n



2



abx

n



1



acx

n



adx

n



1

（

n

为正整数）

（

3

）

a

(

a



b

)< /p>

3



2

a

2

(

b



< p>
a

)

2



2

ab

(

b

< br>

a

)

2

2.

计算：

(



2

)

11



(



2

)

10

的结果是（）

A.

2

100

B.



2

10

C.



2

D.



1

3.

已知

x

、

y< /p>

都是正整数，且

x

(

x



y

)



y

(

y

< /p>

x

)



12

，求

x

、

y

。

4.

证明：

81

7



27

9



9

13

能被

45

整除。

二、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：

平方差公式

a

2



b

2



(

a



b

)(

< p>
a



b

)

完全平方公式

a

2



2

ab



b

2



(

a



b

)

2

立方和、立方差公式

a

3



b

3

< br>

(

a



b

)



(

a

2



ab

< /p>

b

2

)

特别地：（

1

）当

a



b



c



0

时，有

a

3



b

3



c

3



3

abc

（

2

）当

c



0

时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌

握公式 。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公 式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的

应用。因此，正确掌握 公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的

学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1.

< p>
把

a

2



2

a



b

2



2

b

分解因式的结果是（）

A.

(

a



b

) (

a



2

)(

b



2

)

B.

(

a



b

)(

a



b



2

< p>
)

C.

(< /p>

a



b

)(

a



b

)



2

D.

(

a

2



2

b

)(

b

2



2

a

)

分析：

a

2



2

a



b

2



2< /p>

b



a

2



2

a



< p>
1



b

2



2

b



1



(

a



1

)

2

< /p>

(

b



1

)

2

。

< p>
再利用平方差公式进行分解，最后得到

(

a



b

)(

a



b



2

)

，故选择

B

。

< p>

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成

符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。

2.

在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整 除等方面的

应用

例：已知多项式

2

x

3



x

2



m

有一个因式是

2

x



1

，求

m

的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式， 再用

待定系数法即可求出

m

的值。

解：

3.

在几何题中的应用。

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