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2021年2月12日发(作者：我的神奇)

一元多项式因式分解方法归纳

摘要< /p>

：

给出了一元多项式因式分解的几种常用方法，如提公因式法，运 用公式法，分组分解法，十

字相乘法，配方法，拆项补项法等等。解释了这些方法的理论 来源，给出具体实例，并指出每种方

法的具体做法

.

< p>

关键词

：

一元多项式< /p>

因式分解

提公因式法

运用公式法

分组分解法

因式分 解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决

许 多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技术性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式

< br>分解内容所必须的，

而且对于培养学生的解题技能，

发展 学生的思维能力，

都有着十分独特的作用．

学

< br>习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，即可以培养学生的观察

,

思维

发展性，运算能力，又可以提高学生综合分析 和解决问题的能力

.

一

提公因式法

1

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提到括号外面，将多项式写成因

式分解的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公 因式法

.

2

具体做法：

⑴确定公因式的方法

①定系数：当各 项系数都是整数时，公因式的系数应该取各项系数的最大公约数；

②定字母：字母取各项的相同的字母；

③定指数：各字母的指数取次数最低的

.

< br>⑵如果多项式的第一项是负的，一般要提出“—”号，使括号内的第一项的系数成为正数

< br>.

提出

“—”号时，多项式的各项都要变号

.

3

提公因式法基本步骤：

⑴找出公因式；

⑵提公因式并确定另一个因式：

①第 一步找公因式，可按照确定公因式的方法，先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同

.

4

注意：

①提公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致；

②提公因式后，另一个因式不能再含有公因式

.

二

运用公式法

1

定义：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做运

用公式法

.

2

因式分解常用公式：

⑴代数中常用的乘法公式有：

平方差 公式：



a



b



a



b





a



b

2

2

完全平方公式：



a



b





a



2

ab



b

< p>

2

2

2

将上述乘法公式反过来就得到用公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：





b



b

2



4

ac







< p>
b



b

2



4

ac



< br>两根法：

ax



bx



c



a



x







x





2

a

2< /p>

a















< p>


2

平方差公式：

a



b





a



b



< p>
a



b



2

2

完全平方公式：

⑵其他公式

立方和公式：

a



b





a



b



a< /p>



ab



b

3

3

2



2



立方差公式：< /p>

a



b





a



b

< p>


a



ab



b

3

3

< br>2



2



3

3

2

2

3

完全立方公式：

a

< br>

3

a

b



3

ab



b





a

< /p>

b



例

1

因式 分解

64

x



1

分析

64

x

可变形为

8

x

3

先用平方差公式分解

.

解

方法一

6

6





，或变形为



4

x



， 而

1

既可看作

1

，也可看作

1

，这样，本题可

2

2

3

2

3

64

x

6



< p>
1



8

x

3





2



1

（把

64

x

6

变形为



8

x

3



）

2



8

x

3



1

8

x

3



1

< br>

（利用平方差公式）











8

x

3



1







2

x



1< /p>



4

x

2



2

x



< p>
1



2

x



1



4

x

2



2

x



1

方法二

64

x



1

< br>



4

< p>
x

2

6













3



1

（把

64

x

6

变形为

4

x

2

）





3

（运用立方差公式）

< /p>





2

x



1



2

x



1



16

x



8

x



1



4

x

4

2



2



（把

4

x

2

拆为

8

x



4

x

）

2

2





2

x



1



2

x



1



4

x

2



1





2

x



（利用完全平方公式）

2

< p>








2







2

x



1



2

x



1



4

x



2

x



1

4

x

< /p>

2

x



1

（运用平方差公式）

2

2





点评

:

在分解因式时

,

尽管采用的方法 不同

,

但结果应是相同的

,

< p>
本题的两种解法

,

显然第一种方

< br>法比较简单

.

例

2

已知





x



2



x



3



x



4



x



< p>
5





49

(

x

为整数

),

< p>
求证

:

A

为一个完全平 方数

.

证明：因为

< br>



x



2



x



3



x



4



x



5< /p>





49



x



x



6

x



x



< br>20



49

< br>

2



2





< /p>

x

2



x





26



x

2



x





169

2





x



< br>x



13



2

2

所以

A

是一个完全平方数

.

三

分组分解法

1

定义：把各项适当分组，先把因式分组，再使分解因式在各 组之间进行

.

2

< br>注意：在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是

< p>
分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以

再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：

“分组 的目的是为了提取，提取的

目的是为了再提取”

，若多项式带有 括号，且括号内的式子相同时，可用换元后进行分组分解，

若括号内式子不相同，又不便 直接分组时，要将括号去掉，重新整理后再分组分解

.

3

分组分解法的实质是分组后能直接提公因式或运用公式法

< p>
.

4

具体方法：

方法

分组分解法

分类

四项

分组方法

二项和二项

特点

①

按字母分组

②

按系数分组

③

符合公式的两项

分组

分组分解法

分组分解法

分组分解法

分组分解法

分组分解法

5

总结

利用分组的手段为提公因式法创 造条件，因此分组分解法是转化的数学思想在因式分解中的集

中体现，分组的目的是经过 适当的分组以后，将原来不显现的条件通过分组显现出来，将其转化为

用已学过的提公因 式法或运用公式法来进行因式分解。通过分组分解法的学习，我们可以体会到数

学思想方 法对数学学习的重要意义

.

四项

五项

六项

六项

六项

三项和一项

三项和两项

三项和三项

分成三个二项

先

完

全

平

方

公

式

后

平方差公式

各组之间有公因式

各组之间有公因式

各组之间有公因式

三项，二项和一项

可化为二次三项式

例

1

分解 因式

x



7

x



6

分析： 因式分解一般思路是：

“一提

,

二代< /p>

,

三分组

,

其次 考虑规律式

(

十字相乘法

)

< p>
”

,

即

:

首先考

虑是否有公因式可提

,

若有公因式

,

先提取公因式

;

其次考虑可否套用公式

,

用公式法分解

;

再考虑是

否可以分组分解

;

对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用”规律式”

(

或十字相乘法

)

分解

,

按

照这样的思路

,

本题首应考虑用分组分解法来尝试

.

解

:

x



7

x



6

3

3



x

3



7

x



1



< br>7







x



1





x





x



1





x





x



1





x



x

< br>3



1





7

x



7



2

2

2





x



1



7



x



1



< br>

x



1



7





x



6





x



1



x



2



x



3



3

3





< br>

说明

:

当

x



1

时

,

多项式

x



7

x



6

值为

0,

因而



x



1



是

x



7

x



6

的一个因式

,

因此

,

可从”凑因

子”



x



1



的角度考虑

,

把

6

拆成



1



7

,

使 分组可行

,

分解成功

.

四

十字相乘法

1

定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式 的方法叫做十字相乘法

.

2

具体做法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系

数，其实就是运用乘法公式



x



a



x



b



=

x

+



a

< br>

b



x



ab

的逆运算来进行因式分解，一般地，

< br>2

对于二次三项式，如果二次项系数

a

< br>可以分解成两个因数之积，即

a



a

1

a

2

， 常数项

c

可以分解

成两个因数之积，即

c



c

1

c

2

，把

a

1

,

a

2

< p>
,

c

1

,

c

2

，排列如下：

a

1

c

1

a

2

c

2

< /p>

按斜线交叉相乘，再相加，得到

a

1

c

2



a

2

c

1

，若它正好等于 二次三项式的一

次项系数

b< /p>

，即

a

1

c

2



a

2

c

1



b

，那么二次三项式就可以分解为两个因式

a

1

x



c

1

< p>
与

a

2

x



c

2

之积，即

.

3

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

4

基本式子：

x





p



q



x



pq





x



p



x



q



2

5

规律：

⑴二次三项式的常数项为正，所分解成的两个一次因式的常数项必定同号

.

⑵二次三项式的常数项为负，所分解成的两个一次 因式的常数项必定异号

.

例

分解因式

2

x



7

x



3

分析< /p>

:

先分解二次项系数

,

< br>分别写在十字交叉线的左上角和左下角

,

再分解常数项< /p>

,

分别写在十字

交叉线的右上角和右下角

,

然后交叉相乘

,

求代数和

,

使其等于一次项系数

.

分解二次项系数

(

只

< br>取正因数

,

因为取负因数的结果与正因数的结果相同

)

2



1



2



2



1

;

< br>

分解常数项

:

用画十字交叉方法表示下列四种情况

:

1 1

2 3

2

1



3



2



1



5





7

1 3

2 1

1



1



2

< br>

3



7





7

1 -1

2 -3

1







3





2







1







5





7

< br>

1 -3

2 -1

1







1





2







3



< /p>



7

经过观察 ，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数

.

解

:

2

x



7

x



3





x



3



2

x

< p>


1



五

配方法

1

定义：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法，这种解一元二次方程 的方法

为配方法，配方的依据是完全平方公式

.

2

配方法准备方法：完全平方公式的逆运用

.

2

a

< p>
2



b

2



a

2



2

ab



b

2



2

ab





a



b< /p>





2

ab

2

配方法能 继续进行的前提是：

2

ab

是一个完全 平方式

.

3

配方法的步骤：

< br>⑴若二次项系数不是

1

，把二次项系数化为

1

（方程两边都除以二次项系数）

；

⑵把常数项移到方程右边；

⑶在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；

⑷如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方解之，如果右边是个负数，则指出原方程无

实根

.

例

1

用配方法解方程

2

x



x



6



0

解：化二次项系数为

1

，得：

2

x

2



移项，得：

1

x



3



0

2

1

< br>x



3

2

2

2

x

2



配方，得：

1



1





1



x

2



x









3







2

< br>

4





4



即

1



49



< /p>



x







4

16





开平方，得：

2< /p>

x



所以原方程的解为：

1

7





4

4

3

2

x

1





2

,

x

2



例

2

用配方法解下列方程

x



6

x



< br>7



0

解：移项，得

< br>2

x

2



6

x



7

两边同时加上“一次项系数一半的平方”

，得

< br>

x

2



6

x



9



7



9

即



x



3



2

利用开平方，得



16

x< /p>



3





4

所以，原方程的根是：

< br>x

1



1

,

x

2





7

．

例

3

用配 方法解下列方程

2

x



8

x



5



0

解：移项并且两边同除以< /p>

2

，得

2

x

2



4

x



两边同时加上“一次项系数一半的平方”< /p>

，得

5

2



x



2



2



13

2

利用开平方法，得

x



2





所以，原方程的根是

26

2

x< /p>

1



六

拆项补项法

26

26



2

,

x

2







2

．

2

2

1

定义 ：因式分解是多项式乘法的逆运算，在多项式乘法运算时，整理，化简常将几个同类项合并

为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那

些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅

符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项

.

2

拆项添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解< /p>

.

例

1

分解因式：

x



9

x



8

解法

1

将常数项

8

拆成

-1+9

原式



< br>x



9

x



1



9

（将常数项

8

拆成

-1+9

）

< p>


x



1



9

x



9



< br>

x



1



x



x



1



9



x



1



（运用立方差公式）

2

3

3



3

< br>









x



1



x



x



8

（提取公因式）

2

< br>



解法

2

< br>将一次项



9

x

拆成



x



< br>8

x

原式＝

< br>x



x



8

x



8

（将一次项



9

x

拆成



x



8

x

）

＝

x



x





< /p>

8

x



8



3

3

< p>




＝

＝



x



1< /p>



x



x



8

（提取公因式）

2

< br>



解法

3

将一次项

x

拆成

9

< p>
x



8

x

原式＝

9

x



8

x



9

x



8

（将一次项

x

拆成

9

x



8

x

）

＝

9

x



9

x





8

x



8

＝

9

x



x



1< /p>



x



1





8



x



1



x



x



< br>1

2

3

3

3

3

3

3

3

3



3





3







＝



x



1

< p>


x



x



8

（提取公因式）

2

< br>



解法

4

< br>添加两项



x



x

原式＝

x



9

x



8

＝

< br>x



x



x



9

x



8

3

2

2

3

2

2

（添加两项



x



x

）

2

2

-

-

-

-

-

-

-

-