因式分解分类讲解
-
因式分解一提公因式法
【
知识要点
】
1
、分解因式的概念
把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式
。
2
、分解因式与整式乘法的关系
分解因式与整式乘法是
的恒等变形。
3
．分解因式的一些注意点
（
1
）结果应该是
的形式；
（
2
）必须分解到每个因式都不能
为止；
（
3
）如果结果有相同的因式，必须写成
的形式。
4
．公因式
多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个
多项式的
.
5.
提公因式法
如果多项式的各项有公因式
,
可以把这个公因式提到括号外面
,
将多项式写
成因式乘积的形式
,
这种分解因式的
方
示叫做提公因式法
.
6.
确定公因式的方法
(1)
系数公因式
:
应取多项式中各项系数为
;
(2)
字母公因式
:
应取多项式中各项字母为
.
《重点辨析》
提取公因式时的注意点
多项式的形式
多项式的首项系数为
负数
公因式是多项式
注意点
(1)
首项为负数
,
一般要提出
“
-
”
号
;(2)
在括号内的多项式的各项都要变号
.
如
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
< br>
公
因
式
是
多
项
式
时
,
可
把
这
个
因
式
作
为
一
个
整
体
提
出
,
< br>如
3
m
(
a
b
)
2
n
(
a
b
)
(
a
b
)(
3
m
2
n
)
多项式的某一项恰是
公因式
底数需调整为同底数
幂
提公因式后
,
括号已
见分晓
有同类项
提
公
因
式
后
,
如
果
括
号
内
有
同
类
项
必
须
合
并
同
类
项
,
< br>如
提公因式后
,
括号内的项数<
/p>
,
不增不减
,
特
殊是某一项为
1,
千万不要漏掉此项
,
如
ma
mb
m
m
(
a
b
1
)
(
a
b
< br>)
2
(
b
a
)
3
可调整为
:
(
a
b
)
2<
/p>
(
a
b
)
3
或
(
b
a
)
2
(
b
a
)
3
(
a
<
/p>
b
)
2
b
(
a
b
)
(
a
b
)(
< br>a
b
b
)
(
a
b
)(
a<
/p>
2
b
)
1
【
学堂练习
】
1.
下列各式从左边到右边的变形
,<
/p>
哪些是分解因式
,
哪些不是
?
1
(1)
x
2
x
x
2
(
1
)
; (2
)
a
2
2<
/p>
b
(
a
5
)(
a
5
)
1
x
(3)
(
m
n
)(
m
n
)
m
2
< br>
n
2
(4)
x
2
4
x
4
<
/p>
(
x
2
)
2
(5)
3
x
2
2
xy
x
x
(
3
x
2
y
)
(6)
(
x
3
)(
< br>x
1
)
x
2
2
x
3
2
．把下列各式分解因式
（
1
）
9
a
2
6
ab
3
a
【
经典例题
】
例
1
、把下列各式分解因式
（
1
）
2
a
(
x
2
y
)
3<
/p>
b
(
x
2
y
)
（
3
）
2
a
(
x
2
y
)
2
< br>b
(
2
y
x
)
3
（
5
）
(
x
y
)
2
3
(
< br>y
x
)
3
2
(
y
x
)
4
（
2
）
4
x
4
y
6
x
2
y
3
< br>2
xy
4
（
2
）
2
a
(
x
2
y
)
3
b
(
< br>2
y
x
)
4
c
(
x
2
y
)
（
4
）
15
b
(
3
a
b
)
2
25
< br>(
b
3
a
)
3
（
6
）
(
a
x
)
m
1
(
b
x
)
n
< br>
1
(
a
x
)
m
(
b
x
)
n
2
例
2
．利用分解因式计算
< br>2
99
2
98
（
1
）
2
.
9
1234
.
5
11
.
7
1234
.
5
4
.
6
1234
.
5
（
2
）
100
2
2
99
例
3
．已知
a
b
例
4
、
利用因式分解说明：
36
7
6
12
能被
140
整除。
2
,
ab<
/p>
2
，求代数式
a
2
b
2<
/p>
a
2
b
2
ab
2
的值。
3
【
随堂练习<
/p>
】
1
．下列各
式从左到右的变形中是因式分解的是（
）
A
、
(
a
1
)(
a
b
)
a
2
a
2
C
、
x
y
(
x
y
)(
x
y
)
B
、
x
2
1
1
(
x<
/p>
)(
x
)
2
y
y
y
D
、
m
(
m
< br>4
)
4
(
m
2
)
2
2
．已知二次三项式
2
x
2
bx
c
分解因式
2
(
x
3
)(
x
1
)
，
则
b
,
c
的值
为（
）
A
、
b
3
,
c
1
B
、
b
< br>
6
,
c
2
C
、
b
6
,
c
4
D
、
b
< br>4
,
c
6
3
．
下列各式的公因式是
a
的是（
）
A
、
ax
ay
5
B
、
4
ma
6
ma
2
C
、
5
a
2
< br>
10
ab
< br>D
、
a
2
4
a
m
a
4
．将
3
a
(
x
y
)
b
(
x
y
)
用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（
）
A
、
3
a
b
B
、
3
(
x
y
< br>)
C
、
x
y
D
、
3
a
b
3
5
．把多项式
m
2
(
a
2
)
m
(
2
a
)
分解因式的结果为（
）
A
、
(
a
2
)(
m
2
m
)
B
、
(
a
2
)(
m
2
m
)
C
、
m
(
a
2
)(
m
1
)
D
、
m
(
a
2
)(
m
1
)
6
．多项式
2
x
2
y
xy
的
公因式是
；多项式是
6
a
2
b
3
9
ab
2
c
3
的公因式是
。
7
．分解因式：
xy
xy
2
=
。
a
(
m
n
)
3
b
(
n
m
)
3
< br>
(
m
n
)
3
（
）
。
8
．已知：
a
b<
/p>
133
,
ab
1000
。
a
2
b
ab
2
的值为
。
9
．把下列各式分解因式
<
/p>
（
1
）
2
a
2
b
6
a
2
b
2
2
ab
< br>2
（
3
）
a
(
x
y
)
b
(
x
< br>y
)
（
4
）
2
(
y
x
)
2
x
(
x
< br>
y
)
（
2
）
3
a
2
bc
2<
/p>
12
a
3
b
2
c
2
9
a
2
bc
3
【
课后强化
】
1
．
3
x
2
mx
4
分解因式为
(<
/p>
3
x
4
)(
x
1
)
，则
m
的值为
。
2
．
3
xy
6
mxy
9
nxy
3
xy
（
）
a
(
x
a
)
b
(
a
x
< br>)
c
(
x
a
)
。
3
．把下列各式分解因式
（
1
）
3
x
2
y
6
xy
2
12
xyz
（
3
）
2
(
x
y
)
3
4
< br>(
y
x
)
2
（
4
）
a
(
a
b
)(
a
b
)
a
(
a
b
)
2
（
2
）
3
x<
/p>
2
(
x
y
)
6
x
(
y
x
)
4
因式分解—公式法、分组分解法
【
知识要点
】
1
．乘法公式逆变形
（
1
）平方差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
（
2
）完全平方公式：
a
2
ab
b
< br>
(
a
b
)
,
a
2
ab
b<
/p>
(
a
b
)
2.
常见的两个二项式幂的变号规律：
①
(
a
b
)
2
n
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>
(
b
a
)
2
n
；
②
(
a
b
)
2
n
1
(
b
< br>a
)
2
n
1
．
（
n
为正整数）
3
．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
（
1
）如果多项式的各项有公因式，那
么先提公因式；
（
2
）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
（
3
）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。
【
学堂练习
】
1
、如果
9
x
kx
25
是一个完全平方式，那么
k
的值是（<
/p>
）
A
15
B
15
C
30
D
30
<
/p>
2
、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（
）
2
2
2
2
2
A
、
m
4
B
、
x
y
C
、
x
y
1
D
、
m
a
m
a
< br>
2
2
2
3
、把下列各式分解因式：
（
1
）
4
a
b
（
4
）
m
12<
/p>
m
36
（
5
）
x
xy
4
2
（
7
）
x
y
ax
ay
（
8
）
4
x
a
6
a
9
< br>2
2
2
2
2
（
2
）
1
6
9
a
（
3
）
16
x
y
1
2
2
2
2
1
2
y
（
6
）
x<
/p>
2
2
xy
y
2
4
5
【
经典例题
】
例
1
．用
公式
法
分解因式：
（
1
）
(
a
2
b
2
)<
/p>
2
4
a
2
b
2
（
3
）
a
2
b
2
4
ab
4
(5)
1
6
(
x
1<
/p>
)
2
25
(
x
2
)
2
例
2
．用<
/p>
分组分解法
分解因式
（
1
）
4
ax
4
ay
x
<
/p>
y
（<
/p>
3
）
a
2
b
2
4
a
4
b
（
2
）
(
x
2
)
2
(
y
3
)
2
（
< br>4
）
x
4
8
x
2
16
(<
/p>
x
2
x
)
2
6
(
x
2
x
)
9
（
2
）
a
2
9
8
ab
16
b
2
（
4
）
a
2
b
2
c
2
d
2
< br>2
ad
2
bc
6
(6)
例
3
．用
合适的方法
分解因式：
（
1
）
5
< br>m
a
5
m
b
2
2
（
3
）
4
a
(
m
n
)
< br>b
(
n
m
)
< br>（
4
）
4
m
9
(
m
n
)
12
m
(
m
n
)
2
2
2
4
2
4
（
2
）
12
m
n
12
m
n
3
m
2<
/p>
2
2
2
例
4
．利用
分解因式计算：
（
1
）
1
.
22
9
1
.
33
4
2
2
（
2
）
202
202
196
98
2
2
例
5
．若
a
b
3
,
ab
2
,
求
a
a
< br>b
ab
b
值。
3
2
2
3
【
随堂练习
】
1
．对于多项式
x
x
x
1
有如下四种分组方法：其中分组合理的是（
）
5
3
2
5
2
3
5
3
2
①
(
x
x
)
(
x
1)
②
(
x
x
)
(
x
1)
③
(
x
x
x
)
1
④
x
(
x
x
1)
5
3
2
5
3
2
A
．①②
B
．①③
C
．②④
D
．③④
2
.
△
ABC
的三边满足
a
4
+b
2
< br>c
2
-a
2
c
2
-b
4
=0
，则△
ABC
的形状是
__________.
3.
已知
a
b
2
，利用分解因式，求代数式
1
2
1
a
ab
b
2<
/p>
。
2
2
7