初二数学因式分解超级经典专题讲解
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因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因
式法、
公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，
待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。
注意三原则
1
分解要彻底
2
最后结果只有小括号
3
最后结果中多项式首项系数为正（例如：
-3x
2
+x=-x(3x-1)
）
1
基本方法
1.1
提公因式法☆☆☆
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，
可以把这个公因式提出来，从而将
多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法
叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最
大公约数
；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；
取相同的多项式，多项式
的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“
-
”号，
使括号内的第一项
的系数成为正数。提出“
-
< br>”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留
1
把家守；提负要
变号，变形看奇偶。
例如：
-am+bm+cm=-m(a-b-c)
；
a(x-y)+b(y-x)=a
(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)
。
注意：把
2a
2
+1/2
变成
< br>2(a
2
+1/4)
不叫提公因
式
1.2
公式法☆☆☆
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种
方法叫
公式法。
平方差公式：
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
；
完全平方公式：
a
2
±2ab＋
b
2
＝(a±b)
2
；
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注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，
其中有
两项能写成两个数
(
或式
)
的平方和的形式，另一项是这两个数
(
或式
)
的积的
2<
/p>
倍。
补充公式
:
立方和公式：
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
；
立方差公式：
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2<
/p>
)
；
完全立方公式：
a
< br>3
±3a
2
b
< br>＋
3ab
2
±b
3
=(a±b)
3
．
<
/p>
公式：
a
3
+b
3
+c
3
+3
abc=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca)
例如：
a
2
+4ab+4b
2
=(a+2b)
2
。
<
/p>
(
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和
因式
两个方面考虑。
)
3.
提公因式法基本步骤：
（
1
）找出公因式；
（
2
）提公
因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因
式，注意要确定另一个因式，可用
原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的
一个因式，也可用
公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
1
、把
ax
2
a
分解因
式的结果是
.
2
、在
实数范围内分解因式：
2
a
3
16
a
=
．
3
、把多
项式
a
2
2
ab
b
2<
/p>
1
分解因式，结果是
< br>
4
、分解因式：
4
a
3
a
=___________
．
5
、因式分解：
x
2
2
x
<
/p>
1
y
2
=
．
6
、已知
a
b
2
，求代数式
a
2
b
2
4
b
的值；
7
、分解因式
x(x
－
1
)
－
3x+4=
．
8
、求证
：两个奇数的平方差一定能被
8
整除。
9
、已知：
| x + y + 1|
+| xy - 3 | = 0
求代数式
xy
3
+
x
3
y
的值。
10
、下列因式分解：①
x
3
4
x
x
(
x
2
4)
；②
a
2
3
a
2
(
a
<
/p>
2)(
a
1)
；③
1
1
a<
/p>
2
2
a
2
a
(
a
2)
2
；④
x
2
x
(
x
)
2
.
4
2
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其中正确的是
_______.(
只填序号
)
2
竞赛用到的方法
2.2
分组分解法☆☆
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
我们看多项式
am+ an+ bm+ bn
< br>，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式
法，再看它又不能用公式法分解因
式．
如果我们把它分成两组
(am+
an)
和
(bm+ bn)
，这两组能
分别用提取公因式的方法
分别分解因式．
原式
=(am +an)+(bm+
bn)
＝
a(m+ n)+b(m
+n)
做到这一步不叫把多项式分解因式，
因为它不符合因式分解的意义．
但不难看出
这两项还有
公因式
(m+n)
，因此还能继续分解，所以
< br>
原式
=(am
+an)+(bm+ bn)
＝
a(m+ n)+b(m+ n)
＝(m +n)•(a +b)．
这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
从上面的例子
可以看出，
如果
把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另
一个因式正好相同，
那么这个多
项式就可以用分组分解法来分解
因式．
又如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把
ax
和
ay<
/p>
分一组，
bx
和
by
分一组，利用乘法分配律，两两相配，
立即解除了困难。<
/p>
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
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几道例题：
1.
5ax+5bx+3ay+3by
解法：
=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组
分解，和上面一样，把
5ax
和
5bx
看
成整体，把
3ay
< br>和
3by
看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2. x<
/p>
3
-x
2
+x-
1
解法：
=(x
3
-x
2
)+(x-1)
=x
2
(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x
2
+1)
利用二二分法，提公因式法提出<
/p>
x
2
，然后相合轻松解决。
3. x
2
-x-y
2
-y
解法：
=
(x
2
-y
2
)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法
a
2
-b
2
=(a+
b)(a-b)
，然后相合解决。
题目
1
、
4xy-3xz+8y-6z
2
、
x
3
+3x
2
+3x+9
3
、
3xy-2x-12y+18
4
、
ab-5bc-2a
< br>2
+10ac
5
、
x
4
+64
6 <
/p>
、
x
4
-7x<
/p>
2
+1
2.2
十字相乘法☆☆
①
x
2
+(p+q)x+pq
型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是
< br>1
；常数项是两个数的积；
一次项系数是常数项的两个因
数的和。因此，可以直接将某些二次项的系
数是
1
的二次三项式因式分解：
x
2
+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
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2.3
待定系数法☆☆
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，
求出字
母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解
x
4
-x
3
-5x
2
-6x-4
时，由分析可知：
这个多项式没有一次因式，
因而只能分解为两个二次因式。
于是设
x
4
-x
4
-5
x
2
-6x-4=(x
2
+ax+b)(x
2
+cx+d)
=x<
/p>
4
+(a+c)x
3
+(ac+b+d)x
2
+(ad+bc)x+bd
由此可
得
a+c=-1
，
ac+b+d=-5
，
ad+bc=-6
，
bd=-4
．
解得
a=
1
，
b=1
，
c=-2
，
d=-4
．
则
x
4
-x
3
-5x
2
< br>-6x-4=(x
2
+x+1)(x
2
-2x-4)
．
题目
1
、
已知多项式
，请把多项式分解因式。
分解因式后，有一因式是
2
、
已知
x
2
+3x+6
是多项式
x
4
-6x
3
+mx
2
+nx+36
的一个因式，试确定
m,n
的值，并求出它的其它因式。
2.4
配方法☆☆
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平
方式，
然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆
项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进
行变形。
例如：
< br>1
、
x
4
+x
2
y
2
+y
4
配方和拆项、添项法有些相同之处，下面重点看看拆项、添项法
2.5
拆项、添项法☆☆
问题：因式分解<
/p>
x
2
+4
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这种方法指把多项式
的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几
项），使原式适合于提公因式法、运用公
式法或分组分解法进行分解。要
注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
因式分解是多项式乘法的逆运算．
在多项式乘法运算时，
整理、
化简常
将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为
零．
在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，
即把多项式中的某一
项拆成两项或多项，
或者在多项式中添上两个仅符合
相反的项，
前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式
能用分组分解法进行因式分
解．现举一例：
例
分解因式：
x
3
-9x+8
．
< br>
分析
本题解法很多，
这里只介绍运用拆项、
添项法分解的几种解法，
注意一
下拆项、添项的目的与技巧．
解法
1
将常数项
8
拆成
-1+9
．
原式
< br>=x
3
-9x-1+9
=(x
3
-1)-9x+9
=(x-1)(x
2
+x+1)-9(x-
1)
=(x-1)(x
2
+x-8)
．
解法
2
将
一次项
-9x
拆成
-x-8x
．
原式
=x
3
-x-8x+8
=(x
3
-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x
-1)(x
2
+x-8)
．
解法
3
将三次项
x
3
拆成
9x
3
-8x
3
．
原式
=9x
3
-8x
3
< br>-9x+8
=(9x
3
-9x)+(-8x
3
+8)
=9x
(x+1)(x-1)-8(x-1)(x
2
+x+1)
=(x-1)(x
2
+x-8)
．
解法
4
添加两项
-x
2
+x
2
．
原式
=x
3
-9x+8
=x
3
-x
2
+x
2
-9x+8
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