因式分解培优题型归纳总结完美
-
因式分解题型归纳总结
知识梳理
一、
因式分解得定义：
把一个多项式化成
几个既约整式的乘积的形式，
叫做把这个多项式因式分解，
也可
称为将这
个多项式分解因式．
二、
因式分解常见形式：
标准形式
符合定义，结果一定是乘积的形式
既约整式，不能含有中括号
最后的因式的不能再次分解
单项式因式写在多项式因式的前面
相同的因式写成幂的形式
每个因式第一项系数一般不为负数
每个因式第一项系数一般不为分数
因式中不能含有分式
因式中不能含有无理数
三、
因式分解基本方法：
不规范形式
(
x
)(
x
)(
x
)
<
/p>
(
x
)
(
x
)
(
x
)(
x
)
< br>(
x
)
x
(
x
)
x
(
x
)(
x
)(
x
)
x
(
<
/p>
x
)(
x<
/p>
)
x
x
x
x
x
x
(
x
)(
x
)(
x
)
“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，
“提”指的是提取公
因式法，
“代”指
的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立
方差和立方和公式，三项完全平方公式）
，
“分
解”指的是分组分解的方法．
①提取公因式法
几个整式都含有的因式称为它们的公因式．
< br>例如：
ma
mb
< br>mc
m
(
a
b
c
)<
/p>
把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个
式子看成一个整体．
②公式法
因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉．
< br>
平方差公式：
(
a
b
)(
a
b
)
< br>
a
b
完全平方公式：
(
a
b
< br>)
a
ab
b
；
(<
/p>
a
b
)
a
ab
b
立方差公式：
(
a
b
)(
a
ab
b
)
a
b
立方和公式：
(
a
< br>b
)(
a
ab
b
)
a
b
三项完全平方公式：
(
a
< br>
b
c
)
a
b
c
ab
ac
bc
完全立方公式：
(
a
<
/p>
b
)
a
a
b
ab
< br>b
；
(
a
b
)
a
a
b
ab
b
大立方公式：
a
b
c
< br>abc
(
a
< br>
b
c
)(
a
b
c
<
/p>
ab
ac<
/p>
bc
)
n
次方差公式：
a
b
(
a<
/p>
b
)(
a
n
n
n
n
n
1
a
n
2
< br>b
a
n
2
b
ab
n
<
/p>
2
b
n
1
)
（
n
为正整数）
ab
n
2
b
n
1
)
（
n
< br>为正奇数）
n
次方差差公式：
a
b
(
a
b
)(
a
③分组分解法
一般地，分组分解大致分为三步：
n
1
i
．将原
式的项适当分组；
ii
．对每一组进行处理（
< br>“提”或“代”
）
；
iii
．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解
．
四、
十字相乘法
例：因式分解：
x
x
< br>x
x
x
或
已
知
(
x
a
)(
x
b
)
x
2
(
a
b
)
x
ab
，
那
么
将
x
2
(
a
b
)
x
ab
因式分解，则结果为
(
x
a
)(
x
b
)
．
问题：二次三项式
ax
< br>
bx
c
如何因式分解？
十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘，
实验筛选，求和凑中．
十字相乘法适
用类型：二次三项式
ax
bx
c
二次三项齐次式
ax
bxy
cy
< br>
∴原式
< br>(
x
)(
x
)
例：因式分解：
x
xy
< br>
y
x
x
x
y
y
<
/p>
y
或
特殊地，如果
a
b
c
<
/p>
，则必有因式
x
；
如果
a
<
/p>
b
c
，则必有因式
x
．
五、
双十字相乘法
∴原式
x
y
x
y
双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，
它一般适用于二元
二次六项式或可视为于二元
二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：
对于形如
Ax
2
＋
Bxy
＋
Cy
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F<
/p>
的多项式的因式分解，基本步骤是：
（
1
）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；
（
2
）在这个十字相乘
图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字
的右端，使这两个因
数与含
y
的项的交叉之积的和等于原多项式中含
y
的一次项
Ey
，同时
这两个因数与含
x
的项的交叉之积的和等于原
多项式中含
x
的一次项
Dx
．
六、
换元法
如果在多项式中某个数或式子
多次出现，
那么可将这个数或式子用一个字母代替，
这样
做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式．
（
1
）整体换元（
2
）和积换元
七、
主元法
在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，
可以选其中的某
一个未知数为主元，
把其他
未知数看成是字母系数进行因式分解
．
八、
拆项和添项法
1
、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．
2
、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项．
九、
待定系数法
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，
这样就得到一个恒等式．
然后根据恒
等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方
程或方程组便可求出待定的系
数，
或找出某些系数所满足的关系
式，
这种解决问题的方法叫做待定系数法，
其实质就是对
于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法．
如
果
两
个
多
项
式
< br>恒
等
，
则
左
右
两
边
同
类
项
的
系
数
相
等
．
即
，
如
果
a
n
x
n
< br>
a
n
x
n
a
n
x
n
a
x
a
b
n
x
n
b
n
x
n
b
< br>n
x
n
b
x
b
恒
成
立
，
那
么
a
n
b
n
，
a
n
b
n
< br>，
…
，
a
b
，
a
b
．
待定系数法
的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，
根据代数式的形式把不确定的部分
设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解．
十、
余数定理与因式定理法
1
、余数定理：
多项式
f
（
x
）除以
x
－
c
，所得的余数为
f
< br>（
c
）
．
2
、因式定理：
若多项式
f
（
x
）
有一个因式
x
－
c
，则
f
（
c
）
＝
0
；反之，若
f
（
c
）
＝
0
，则
x
－
a
必为多项式
f
（
x
）
的一个因式．<
/p>
3
、整数系
数多项式
f
（
x
）＝
a
n
x
n
＋
a
n
－<
/p>
1
x
n
1
＋
…
＋
a
1
x
＋
a
0
的两个性质：
性质
1
：
设整数系数多项式
f
（
x
）的首项系数
a
n
＝
1
，且它有因式
x
－
p
（
p
为整数）
，那么
p
一定是常数项
a
0
的约数．
例如
x
2
－
2
x
－
8
的首项系数是
1
，它有因式
x
＋
2
和
x
－
1
，－
2
和
4
都是常数项－
8
的约数．
性质
2
：
设整数系数多项式
f
（
x
）的首项系数
a
n
≠1
，且它有因式
x
q
一定是首项系数
a
n<
/p>
的约数，
p
一定是常数项
a
0
的约数．
例如，
6
x
3
＋
x
2
－
< br>1
的首项系数
a
n
＝
6
不为
1
，
它有因式
x
－
p
p
（
< br>为整数）
，那么
q
q
1
，
不难看出分母
2
是
a
n
＝
6
的约
2
数，分子
1
是常数项－
1
的
约数．
例如：分解因式：
x
x
．
观察可知，当
x
时，
x
x
，则
x
< br>
x
(
x
)
A
，其中
A
为整式，即
(
x
< br>)
是
多项式
x
< br>
x
的一个因式．若要确定整式
A<
/p>
，则可用大除法．
< br>x
x
x
x
<
/p>
x
x
x
x
x
x
x
x
x
<
/p>
x
∴
x
x
(
< br>x
)(
x
< br>
x
)
(
x
)(
x
)(
x
)
(
x
)
(
x
)
．
题型一
因式分解的定义
例题
1
：
下列因式分解正确的是（
）
A
．
a
b
(
a
< br>b
)
(
a
b
)(
a
b
)
B
．
m
m
m
(
m
)
C
．
< br>
x
y
x
y
x
y
(
x
y
)
D
．
< br>
m
(
m
)(
<
/p>
m
)
解析：
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项
式因式分解。故选
巩固
1
：
<
/p>
（
1
）下列各式从左边到右边的变形中，
是因式分解的是（
）
A
．
ab
(
a
b
)
a
b
ab
< br>
C<
/p>
．
a
b
(
a
b
)(
a
< br>
b
)
B
．
x
x
x
< br>
x
D
．
x<
/p>
xy
x
x
(
x
y
)
< br>
（
2
）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说
明
理由．
①
x
y
(<
/p>
x
y
)
；
②
m
(
m
)
；
③
(
a<
/p>
b
)(
a
b
)
；
④
(
y
)
[(
x
)
]
；
⑤
x
<
/p>
x
；
x
⑥
x
(
x
< br>)
x
；
⑦
y
(
x
)(
x
)
；
⑧
(
x
y
)(
x
y
)(
x
<
/p>
y
)(
x
y
)
．
解析：
（
1
）
C
；
（
2
）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．
总结：
这道题主要讲解因式分解的概念：
（
1
）因式分解是一种恒等变形．
（
2
）因式分解的结果必
须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．
题型二
提公因式法
如多项式
am
bm
cm
m
(
< br>a
b
c
),
其中
m
叫做这个多项式各项的公因式，
m
既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
例题
2
：
<
/p>
因式分解：
（
1
）
a
x
abx
y
a
cx
（
2
）
a
b
(
x
y
)
(
b
c
)
< br>
a
b
(
x
y
)(
b
<
/p>
c
)
（
3
）
(
x
y
)
(
x
y
)
(
<
/p>
x
y
)
（
4
）
abx
acx
ax
（
5
）
(
x
y
)(
< br>x
y
)
(
y
x
)(<
/p>
x
y
)
（
6
）
a
b
a
b
ab
解析：
这
6
道小题反映了提取公因式法的
6
大原则
：
（
1
）一
次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出
来，使
留下的式子没有公因式可以提取．
原式
ax
(
ax
by
c<
/p>
)
（
2
）视“多”为一：把多项式（如
x
y
，
b
c
等）分别整个看成是一个字母．
原式
2<
/p>
a
2
b
(
x
y
)(
b
c
)(
x
y
3
ab
3
< br>3
ab
2
c
)
（
3
）切勿漏“
1
”
：当多项式的某一项恰
好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“
1
”
，
千万不要忽略掉．
原
式
(2
x
y
)[(2
x
y
)
2
<
/p>
(2
x
y
)
1]
(2
x
y
)(4
x
2
4
xy
y
2
2
x
y
1)
< br>
（
4
）提负数：原式
ax
(3
bx
3
cx
2
1)
（
5
）提相
反数：原式
(3
x
< br>
2
y
)[(2
x
3
y
)
(2
x
3
y
)]
6
y
(3
x
2
y
）
（
6
）化“分”
为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可
以使各项系数
都化为整数（这个过程实质上就是通分）
．并且，还可以假定第一项系数是正
整数，否则可用前面说过的方法，把
1
作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．
1
3
3
2
2<
/p>
3
2
2
原式
(12
a
b
24
a
b
27
ab
)
ab
(4
a
b
8
ab
9)
4
4
巩固
2
：
因式分解：
（
1
）
abc
a
b
a
b
（
2
）
a
a
a
（
3
）
x
(
a
x
)
a
<
/p>
x
（
4
）
(
p
)
q
< br>(
p
)
（
5
）
(
a
<
/p>
b
)(
m
p
)
(
a
b
)(
m
p
）
（
6
）
(
x<
/p>
y
)
(
x
y
)
(
x
y
)
解析：
（
1
）
原式
ab
(
a
<
/p>
c
ab
)
；
（
2
）
原式
=
a
(
a
a
)
；
<
/p>
（
3
）
原式
(
a
x
)(
x
)
；
（
4
）
< br>原式
(
p
)(
p
q
)
；
（
5
）
原式
=
(<
/p>
m
p
)(
a
b
)
；
（
6
< br>）
原式
(
x
y
)[
(
x
y
)
<
/p>
(
x
y
)
]
(
x
y
)(
x
y
x
y
<
/p>
xy
)
．
巩固
3
：
已知
b
< br>c
a
，求
a
(
a
b
c
)
b
c
a
b
c
(
b
< br>
c
a
)
的值．
解析：
原式
(<
/p>
a
b
c
)(
a
b
c
)
(
a
< br>b
c
)
．
∵
b
c
a
，∴
a
b
c
，则原式
．
题型三
公式法
例题
3
：
因式分解：
（
1
）
(
x
)
<
/p>
（
2
）
(
m
n
)
(
m
< br>
n
)
（
3
）
(
a
b<
/p>
)
(<
/p>
a
b
)
（
4
）
(
a
b
)
< br>
(
a
b
)
（
5
）
x
xy
y
（
6
）
a
a
（
< br>7
）
(
c
a
b
)
a
b
解析：
（
1
）
(
x
)(
x
)
；
（
2
）
原式
[
(
m
n
)
(
m
n
)][
(
m
n
)
< br>(
m
n
)]
(
m
n<
/p>
m
n
)(
m
n
m
< br>
n
)
(
m
n
)(
m
<
/p>
n
)
；
（
3
）原式
=
(
a
b
)(
a
b
< br>)
；
（
4
）
原式
(
a
<
/p>
b
a
b
)(
a
< br>
b
a
b
)
(
a
b
)(
a
b
)
(
a
b
)(
a
b
)
(
a
b<
/p>
)
；
（
5
）
原式
(
x
y
)
< br>
；
（
6
）
原式
(
a
a
)<
/p>
(
a
)
；
（
7
）原式
=
(
c
a
b
)(
c
a
< br>b
)(
c
a
b
)(
c
a
b
)
．
总结：
该题主要考查平方差公式和完全平方公式．
例题
4
：
因式分解：
（
1
）
x
（
2
）
y
（
3
）
x
x
< br>
y
（
4
）
a
b
（
5
）
a
< br>
b
解析：
（
1
）
原式<
/p>
(
x
)(
x
x
)
< br>；
（
2
）
原式
(
y
)(
y
y
)
；
（
3
）
原式
x
(
x
y
)
x
(
x
y<
/p>
)(
x
xy
y
)
；
（
4
）
原式
(
a
< br>
)
(
b
)
(
a
b
)(
a
a
b
b
)
；
（
5
）
原式
(
a
)
(
b
)
(
a
b
)(
a
b
)
(
a
b
)(
a
b
)(<
/p>
a
ab
b
)(
a
ab
b
)
另解：
原式
(
a
)
(
b
)
(
a
<
/p>
b
)(
a
a
b
b
)
< br>
(
a
b
)(
a
b
)(
a
a
b
b
a
b
)
< br>(
a
b
)(
a
b
)(
a
a
b
b
)(
a
ab<
/p>
b
)
；
总结：
这道题主
要考查立方差和立方和公式．
例题
5
：
因式分解：
（
1
）
a
b
c
bc
ca
ab
（
2
）
x<
/p>
x
y
xy
y
解析：
（
1
）
原式
(<
/p>
a
b
c
)
；
（
2
）
原式
< br>
(
x
y
)
．
总结：
该
题主要考查三项完全平方和完全立方公式．
例题
6
：
<
/p>
分解因式：
x
15
＋
x
14
＋
x
13
＋
…
＋
x
＋
1
解析
：
：
原式
＝
x
1
x
15
x
14
x
1
x
1
8
< br>4
2
x
16
1
x
1
x
1
x
<
/p>
1
x
1
x
1
x
< br>1
x
1
＝
x
1
x
1
x
1
x
1
8
4
2
总结：
该题主要考查立
方和差公式拓展。
例题
7
：
<
/p>
分解因式：
x
12
＋
x
9
＋
x
6
＋
x
3
＋
1
解析：
y<
/p>
＝
x
，
则
4
3
2
3
原式＝
y
＋
y
＋
y
＋
y
＋
1
＝
y
1
y
4
<
/p>
y
y
y
1
3
2
y
1
y
1
x
1
x
<
/p>
1
3
3
y
1
x
1
x
1
5
3
5
5
3
x
＝
10
5
x
1
x
2
x
1
5
10
9
1
< br>x
10
x
5
1
9
8
7
7
6
5
6
5
4
5
4
3
3
2
2
∵
< br>x
＋
x
＋
1
＝
x
＋
x
＋
x
－
x
－
x
－
x
＋
x
＋
x
＋
x
－
x
< br>－
x
－
x
＋
x
＋
x
＋
x
－
x
－
x
－
x
＋
x
＋
x
＋
1
8
＝
x
（
x
＋
x
＋
1
）－
x
（
x
＋
x
＋
1
）＋
x
（<
/p>
x
＋
x
＋
1
）－
x
（
x
＋
x
＋
1
）＋
x
（
x
＋
x
＋
1
）－
x
（
x
＋
x
＋
1
）＋（
x
＋
x
＋
1
）
＝（
x
＋
x
＋
1
）
（
x
－
x
＋
x
－
x
＋
x
－
x
＋
1
）
2
8<
/p>
7
5
4
3
2
8
2
7
2
5
2
4
2
3
2
2
x
10
x
5
1
8
7
x
x
x
5
x
4
x
3
x
< br>1
∴
2
x
x
1
x
5
1
x
4
x
3
x
2
x
< br>
1
∵
x
1
原式
＝（
x
＋
x
＋
x
＋
x
＋
1
）
（
x
－
x
＋
x
－
x
＋
x
< br>－
x
＋
1
）
法二：
（
x
＋
x
＋
1
）÷（
x
＋
x
＋
1
）
也可以
直接用长除法
.
10
5
2
4
< br>3
2
8
7
5
4
3
巩固
4
：
因式分解：
（
1
）
(
a
b
)
（
3
）
a
b
c
（
2
）
x
y
x
y
（
4
）
(
a
b
)
(<
/p>
a
b
)
（
5
）
(
x
y
)
z
(
x
y<
/p>
)
z
（
6
）
(
x
y
)
x
< br>y
（
7
）
m
m
解析
：
（
1
）
原式
(
a
b
)(
a
b
)
；
（
2
）
原式
x
y
(
x
<
/p>
y
)
x
y
(
x
y
)(
x
y
)
；
（
3
）
原式
(
c
a
b
)(
< br>
c
a
b
)
(
c
ab
)(
c
ab
)(
c
a
b
< br>)
；
（
4
）
原式
(
a
<
/p>
b
a
b
)(
a
b
< br>
a
b
)
(
a
b
)(
a
b
)
(
a
b
)(
a
b
)
(
a
b<
/p>
)
；
（
5
）原式
=
(
x
y
z
)
；
（
6
）原式
(
x
y
)
(
x
y<
/p>
)
；
（
7
）
原式
(
m
)
< br>
(
m
)
(
m
)
(
m
< br>
)
(
m
)
．
总结：
主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．
巩固
5
：
<
/p>
因式分解：
（
1
）
y
<
/p>
(
z
x
)
（
3
）
x
y
（
2
）
m
(
x
y
）
< br>mn
（
4
）
x
x
（
6
）
(
x
)
x
(
x
< br>
)
x
< br>
（
5
）
(
x
x
)
(
x
x
< br>
)
（
7
）
a
n
a
n
a
n
解析：
（
1
）
原式
=
(
y
z
x
)(
< br>y
z
x
)
；
（
2
）原式
=
m
(
x
y
n
)(
x
y
n
)
；
（
3
）
原式
=
(
x
y
)(
x
<
/p>
y
)
(
x
y
)(
x
y
< br>
)(
x
y
)
(
x
y
)(
x
y
)(
x
y
)(
x
y
)
；
（
4
）
原式
x
(
x
)
x
(
x
)(
x
)
x
(
x
)(
x
)(
x
)
；
（
5
< br>）
原式
(
x
)(
x
x
)
(
x
)(
x
)
x
(
x
)
x
(
x
)(
x
)
；
（
6
）
原式
(
x
x
)
(
x
)
；
（
7
）
原式
a
n
< br>(
a
a
)
a
n
(
a
<
/p>
)
巩固
6
：
因式分解：
（
1
）
a
b
c
解析：
（
1
）
原式
(<
/p>
abc
)
(
a
b<
/p>
c
abc
)
；
（
2
）
原式
b
(
a
b
)
b
(
a<
/p>
b
)(
a
ab
b
)
；
（
3
）
原式
y
(
x
y
)
y
(
x
y
)(
x
x
y
< br>y
)
．
（
2
）
a
b<
/p>
b
（
3
）
x
y
< br>y
题型四
分组分解法
例题
8
：
因式分解：
（
1
）
ax
by
bx
ay
（
2
）
a
b
a
b
（
3
）
x
x
x
（
4
）
a
m
am
abm
bm
（
5
）
x
x
< br>
x
x
x
（
6
）
x
x
x
x
< br>
解析：
（
1
< br>）
原式
(
ax
bx
)
(
ay
by
)
x
(
a
b
)<
/p>
y
(
a
b
)
(
a
b
)(
x
y
< br>)
；
（
2
）原式
a
(
b
)
(
b<
/p>
)
(
a
)(
b
)
(
a
)(
a
)(
b
)(
b
)
；
（
3
）原式
x
(
x
< br>)
(
x
)
(
x
<
/p>
)(
x
)
或原式
x
(
x
)
(
x
)
< br>(
x
)(
x
)
；
（
4
）原式
m
(
a
a
ab
b
)
m
a
(
a
)
b
(
a
)
<
/p>
m
(
a
)(
a
b
)
；
（
5
< br>）原式
(
x
< br>
x
)
(
x
x
)
(
x
)
x
< br>(
x
)
x
(
x
)
(
x
)
(
x
)(
x
x
)
；
（
6
）原式
x
(
x
)<
/p>
x
(
x
)
x
(
x
)(
x
)
．
总结：
该题主要考查
分组分解的第一个原则：平均分配
①有公因式的分为一组；②
按照系数配比分组；③次数相近的分成一组
例题
9
：
因式分解：
（
1
）
x
x
y
（
2
）
x
x
x
< br>x
（
3
）
a
a
ab
a
b
（
5
）
x
x
y
y
（
7
）
(
a
b
)
(
b
c
< br>)
(
c
a
)
a
b
c
（
4
）
x
xy
< br>
y
（
6
）
x
y
x
xy
y
解析：
（
1
）原式
(
x
)
y
< br>
(
y
x
)(
y
x
)
；
（
2
）原
式
(
x
<
/p>
x
)
(
x
x
)
(
x
< br>
)
x
(
x
)
(
x
)(
x
x
)
（
3
）原式
a
(
a
b
ab
)
a
(
a
b
< br>
)(
a
< br>b
)
；
（
4
）原式
=
[
(
<
/p>
x
4
xy
+
y
)]
[
(
x
y
)
]
(
x
y
<
/p>
)(
y
x
)
；
（
5
）
< br>原式
(
x
y
)(
x
xy
y
)
(<
/p>
x
y
)(
x
y
)
(
x
y
)(
x
xy
y
< br>
x
y
)
；
（
6
）
原式
<
/p>
(
x
y
)(
x
xy
y
)
(
x
y
)
(
x
y
)(
x
xy
y
<
/p>
x
y
)
；
（
7
）原式
[(
a
b
)
c
< br>]
[(
b
c
)
a
]
<
/p>
[(
c
a
)
b
]
(
a
b
< br>
c
)(
a
b
c
)
．<
/p>
总结：该
题主要考查分组分解的第二个
原则：按公式分组．
例题
10
：
因式分解：
（
1
）
2(
x
2
3
ab
)
x
(4
a
<
/p>
3
b
)
（
2
）
x
(
x
1)
y
(
y
1)
（
4
）
1
(
b
a
2
)
x
2
abx
3
（
3
< br>）
x
(
x
1)
y
(
y
1)
2
xy
解析：
（
1
）
原式<
/p>
x
ab
ax
bx
x
(
x
< br>a
)
b
(
a
x
)
(
x
a
)(
x
b
)
；
（
2
）
原式
x
x
y
y
(
x
y
)
(
x
y
)
< br>
(
x
y
)(
x
y
)
(<
/p>
x
y
)
(
x
y
)(
x
y
)
；
（
3
）原式
x
x
y
y
xy
(
x
y
)
(
x
y
)
(
x
< br>
y
)(
x
y
)
；
（
4
）
原式
(
a
x
)<
/p>
(
bx
abx
)
(
ax
)(
ax
<
/p>
bx
)
．
总结：
该题主要考查拆开再重新组合，再
组合时按照上面两个原则．
巩固
7
：
因式分解：
（
1
）
x
xy
<
/p>
y
（
2
）
x
y
y
< br>
（
3
）
x
x
y
y
（
4
）
(
a
b
)
(
a
c
< br>)
(
c
d
)
(
b
d
)
（
5
）
x
n
x
< br>n
解析：
< br>（
1
）
原式
(
x
y
)
(
x
y
)(
x
y
)
；
（
2
）原式
(
x
y
)(
< br>
x
y
)
；
（
3
）原式
(
x
y
)
(
x
y
)
< br>(
x
y
)(
x
y
)
(<
/p>
x
y
)
(
x
y
)(
x
y
< br>
)
；
（
4
）原式
(
a
d
)(
a
b
d
)
(
a
d
)(
a
c
d
)
(
a
d
)(
a
b
c
d
)
；
m
y
< br>
（
5
）
原式
x
n
y
m
x
n
y
< br>
m
x
n
y
m
<
/p>
(
< br>x
n
y
m
)(
x
n
y
<
/p>
m
)
．
巩固
8
：
因式分解：
（<
/p>
1
）
ax
(
y
b
)
by
(
bx
a
y
)
< br>
（
2
）
x
(
x
z
)
y
(
y
z
)
（
3
）
x
(
x
< br>
)(
x
< br>
)
解析：
（
1
）
原式
=
axy
axb
b
x
y
a<
/p>
by
ay
(
xy
ab
)
b
x
(
xy
ab
)
(
xy
ab
)(
ay
b
x
)
；
（
2
）
原式
x
x
z
y
<
/p>
yz
(
x
y
)(
x
y
)
z
(
x
y
)
(
x
y
)(
x
y
z
)
；
（
3
）
原式
x
x
x
x
(
x
)
<
/p>
(
x
)
(
x
)(
x
< br>)
．
题型五
十字相乘法
（一）
< br>二次项系数为
1
的二次三项式
直接利用公式
——
x
< br>2
(
p
q
)
x
pq
(
x<
/p>
p
)(
x
q
)
进行分解。
特点：（
1
）二次项系数是
1
；
（
2
）常数
项是两个数的乘积；
（
3
）一次项系数是常数项的两因数的和。
例题
11
：
2
分解因式：
x
5
x
6
分析：
将
6
分成两个数相乘，且这两个数的和要等于
5
。
由于
6
=2
×
3=(-2)
×
(-3)=1
×
6=(-1)
×
(-6)
，从中可以发现只有
2<
/p>
×
3
的分解适合，
即
2+3=5
。
< br>
解析：
x
< br>5
x
6
=
x
(
2
3
)
x
2
3
=
(
x
2
)(
x
3
)
2
2
用此方法进行分解的关键：
将
常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等
于一次项的系数。
巩固
9
：
<
/p>
因式分解：
（
1
）
x
<
/p>
x
（
3
）
x
x
（
2
）
x
x
（
4
）
x
< br>
x
（
6
）
x
x
（
2
）原式
(
x
)(
x
)
；
（
5
）
x
x
解析：
（
1
）原式
(
x
)(
x<
/p>
)
；
（
3
）原式
(
x
)(
x
)
；
（
4
）原式
(
x
)(
x
)
；
（
6
）原式
(
x
)(
x
)
；
（
5
）原式
(
x
)(
x
)
；
总结：
该题主要讲解十字相乘法适用的类型，注意二次项系数为负数
，先提负号．
，方法都
是一样的．
（<
/p>
1
）二次三项式
ax
bx
c
；
（
2
）
二次齐次式
ax
< br>bxy
cy
．
（二）二次项系数不为
1
的二次三项式——
ax
+
bx
+
c
条件：
（
1
）
a
a
1
a
2
a
1
c
1
（
2
）
c
c
1
c
2
a
2
c
2
（
3
）
b
a
1
c
2
a
2
c
< br>1
b
a
1
c
2
a
2
c
1
分解结果：
ax
bx
c
=
(
a
1
x
c
< br>1
)(
a
2
x
c
2
)
例题
12
：
因式分解：
（
2
）
x
x
（
4
）
x
x
2
2
（
1
< br>）
a
a
（
3
）<
/p>
x
x
解析：
（
1
）
a
a
(
a
)(
a
)
；
（
2
）
x<
/p>
x
<
/p>
(
x
)(
x
)
；
（
3
< br>）
x
x
(
x
x
)
<
/p>
(
x
)(
x
)
；
（
4
）
x
x
(
x
< br>
x
)
(
x
)(
x
)
．
总结：
该题主要讲解十字相乘法适用的类型，注意二次项系数为负数，先提负号．
，方法都
是一样的．
（
1<
/p>
）二次三项式
ax
bx
c
；
（
2
）二次齐次式
ax
bxy
cy
．
（三）二次项系数为
1
的齐
次多项式
例题
13
：
2
2
分解因式：
a
8
ab
128
b
分析：将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8
b
1
-16
b
8
b
+(-
16
b
)=
-8
b