初二数学因式分解分组分解法
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初二数学因式分解分组分解法
一、分组分解法分解因式的意义
我们把被分解的多项式分成若干组，
分别按
“基本方法”
即提取公因式法和运用公式法
进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结
果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：
如果一个多项式适当分组，
使分组后各组之间有公因式或可应用公式，
那么这个多项式
就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字
相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分
组，
把多项
式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，
使之具有公因式，
或者符合公式的特点等，
从
而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项
组成一组，
从局部考虑，
使每组能够分解，
从而达到整个多
项式因式分解的目的，
至于如何恰当地分组
，
需要具体问题具体分析，
但分组时要有预见性，
要统筹思考，
减少盲目性，
分组的好坏直接影响到因
式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，
不断总结规律，便能掌
握分组的技巧。
三、例题分析
例
1
、分解
因式：
（
1
）
2x
2
+2xy-3x-3y
（
2
）
a
2
-b
2
+4a-4b
（
3
）
4x
2
-9y
2<
/p>
-24yz-16z
2
（
4
）
x
3
-x
2
-x+1
分析（
1
）
：解①，首先注意到前两项的公因式（
2x
）和后两项的公因式（
-3
）
< br>，分别把
它们提出来，剩下的是相同因式（
x+y
）
，可以继续用提公因式法分解。解②，此题也可以
< br>考虑含有
y
的项分在一组。如下面解
2
的解法。
2
解①：
2x
+2xy-3x-3y
2
=(2x
+2xy)-(3x+3y)
=2x(x+y)-3(x+y)
=(x+y)(2x-3)
2
解②：
2x
+2xy-3x-3y
2
=(
2x
-3x)+(2xy-3y)
=x(2x-3)+y(2x-3)
=(2x-3)(x+y)
说明：
解
①和解②虽然是不同的分组方式，
但却有着相同的内在联系，
即
两组中的对应
项系数成比例，分别为
1:1
和
2:
（
-3
）
。这也是分组中必须遵循的规律之一。
分析（
2
）
：若将此题按上题中解②的方法分组将含有
a
< br>的项分在一组即
a
2
+4a=a
(a+4)
，
含有
b
< br>的项一组即
-b
2
-4b=-b
(b+4)
，那
a(a+4)
与
-b(b+4)
再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将
a
2
-b
2
一组应用平方差公式，再提出因式。
2
2
解：
a
-b
+4a-4b
2
2
=(a
-b
)+(4a-4b)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b)(a+b+4)
分析（
3
）
：若应用解②的方法分
组将
4x
2
-9y
2
一组应用平方差公式，或者将
4x
2
-16z
2
一
组应用平方差公式后再没有公因式可提，则分组失败。
2
2
2
观察（
3
）题中的特点，后三项符合完全平方公式，将此题
4x
和
-9y
-24yz-16z
< br>分组，
先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：
<
/p>
4x
2
-9y
2
-24yz-16z
2
=4x
2
-(9y
2
+24yz+16z
2
)
=(2x)
2
-(3y+4z)
2
=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)
分析（
4
）
：
（
4
）题按照系数比可以分为
1
或者为
-1
，可以有不同的分组方法。
解③：
x
3
-x
2
-x+1
=(x
3
-x
2
)-(x-1)
=x
2
(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x
2
-1)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)
2
解④：原式
=(x
< br>3
-x)-(x
2
-1)
=x(x
2
-1)-(x
2
-1)
=(x
2
-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)
2
说明：
分组时，
不仅要注意各项的系数，
还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示
我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
总结：
一般对于四项式的多项式的分解，
若分组
后可直接提取公因式，
一般将四项式两
项两项分成两组，
并在各组提公因式后，
它们的另一个因式恰好相同，
< br>在组与组之间仍有公
因式可提，如（
1
< br>）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间
的公因式
，如（
2
）题、
（
4
）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组
< br>先用完全平方公式再应用平方差公式，如（
3
）题。
例
2
、分解因式：
m
2<
/p>
+n
2
-2mn+n-m
分析：此题是一个五项式，其中
m<
/p>
2
-2mn+n
2
是完全平方公式，且与
-m+n=-(m-n)
之间有
公因式可提取，因而可采用前三项、后二项分组。
解：
<
/p>
m
2
+n
2
-2mn+n-m
=(m
2
-2mn+n
2
)-(m
-n)
=(m-n)
2
-(m-n)
=(m-n)(m-n-1)
<
/p>
例
3
．分解因式
（
1
）
x
2
-y
2
-z
2
-2yz+1-2x
（
2
）
x
2
-6xy+9y
2
-10x+30y+25
（
3
）
a
2
-a
2
b+ab
2
-a+b-b
2
分析
（
1
）
：
此
题是一个六项式，
经过分析可采用三项、
三项分组，
x
2
-2x+1
一组，<
/p>
-y
2
-2yz-z
2
一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。
解：
x<
/p>
2
-y
2
-z<
/p>
2
-2yz+1-2x
=(x
2
-2x+1)-(y
2
+2yz+z
2
)