初中数学相似三角形例题解析
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相似三角形例题解析
编辑：启慧
为了帮助同学们复习，<
/p>
天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这
套相似三
角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。
相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，
是
中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三
角形
的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、
性质来
解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似
例
1
、如图：点
G
在平行
四边形
ABCD
的边
DC
的延长线上
,AG
交
BC<
/p>
、
BD
于点
E<
/p>
、
F
，则△
AG
D
∽△
EGC
∽△
EAB
。
分析：关键在找“角相等”
，除已知条件中已
A
明确给出的以外，还应结
合具体的图形，利用公共
角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本
例除公共角∠
G
外
,
由
BC
∥
AD
可得∠
1=
∠
2
，所以
B
4
2
D
F
3
E
1
G
C
△
AGD
∽△
EGC
。再∠<
/p>
1=
∠
2
（对顶
角）
，由
AB
∥
DG
可得∠
4=
∠
< br>G
，所以△
EGC
∽△
EAB
。
评注：
（
1
）证明三角形相似的首选方法是“两个
角对应相等的两个三角形相似”
。
（
2
）
找到两个三角形中有两对角对应相等，
便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相
似三角形记下来。
例
2
、已知△
ABC
中，
AB=AC
，∠
A=36
°，
BD
是角平
分线，
求证：△
ABC
∽△
BCD
分析：证明相似三角形应先找相等
的角，显然∠
C
是公
共角，而另一组相
等的角则可以通过计算来求得。借助于计
D
A
< br>京翰教育
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B
C
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算也是一种常用的方法。
证明：∵∠
A=36
°，△
ABC
是等腰三角形，∴∠
ABC=
∠
C=72
°
又
BD
平分∠
ABC
，则∠
DBC=36
°
<
/p>
在△
ABC
和△
BCD
中，∠
C
为公共角，∠
A=
∠
DBC=36
°
∴△
ABC
∽△
BCD
例
3
：
已知，
如图，
< br>D
为△
ABC
内一点连结
ED
、
AD
，
以
BC
为边在△
AB
C
外作∠
CBE=
∠
< br>ABD
，
∠
BCE=
∠
BAD
求证：△
DB
E
∽△
ABC
分析：
由已知条件∠
ABD=
∠
CBE
，
∠
DBC
公用。
所以∠
DBE=
∠
ABC
，
要证的△
DBE
和△
ABC
，
有一对角相等，要证两个三角形相似，或
者再找一对角相等，或者找夹这个角的
两边对应成比例。从已知条件中可看到△
CBE
∽△
ABD
，这
样既有相等的角，又有
成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：
在△
CBE
和△
ABD
中，
∠
CBE=
∠
ABD,
∠
BCE=
∠
BA
D
∴△
CBE
∽△
< br>ABD
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∴
BC
BE
=
AB
BD
BC
AB
=
BE
BD
即：
在△
DBE
和△
ABC
中
∠
CBE=
∠
ABD,
∠
DBC
公用
∴∠
CBE+
∠
DBC=
∠
ABD+
∠
DBC
∴∠
DBE=
∠<
/p>
ABC
且
BC
AB
=
BE
BD
∴△
DBE
∽△
< br>ABC
例
4
、矩形
ABCD
中，
BC=3AB
，
E
、
F
，
是
BC
边的三等分点，连结
AE
、
AF
、
AC
，
问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明
A
D
你的结论。
< br>分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找
B
相似三角
形呢？下面我们来看一看
相似三角形
的几种基本图形：
（
1
）
如图：称为“平行线型”的相似三角形
E
F
C
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A
E
A
D
A
D
E
B
B
C
B
C
D
C
E
< br>
(2)
如图：其中∠
1=
∠
2
，则△
ADE
∽△
ABC
称为“相交线型”的相似三
角形。
A
E
1
2
B
D<
/p>
C
2
B
A
4
D
1
E
1
D
C
2
A
B
C
E
(3)
如图：∠
1=
∠
2
，∠
B=
∠
D
，则△
ADE
∽△
ABC
，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，
如果存在相似三角
形只可能是
“相交线型”
的相似三角形，
及△
EAF
与△
ECA
解：设
AB=a
，则
BE
=EF=FC=3a
，
由勾股定理可
求得
AE=
2
a
，
在△
EAF
与△
ECA
中，
∠
AEF
为公共角，
且
AE
EC
2
EF
AE
A
D
2
E
B
C
1
所以△
EAF
∽△
ECA
（两边
对应成比例且夹角相等的两个三
角形相似）
< br>注：
以上两例中都用了相似三角形的判定定理
2
，该定理的灵活应用是教学上的难点所
在，应注重加强训练。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
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例
1
、△<
/p>
ABC
中，在
AC
上截取
AD
，在
CB
延长线上截取
BE
，使
AD=
BE
，求证：
DF
< br>AC=BC
FE
分析：
证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及
DF
：
FE=BC
：
AC
，再利用
相似三
角形或平行线的性质进行证明：
证明：过
D
点作
DK
∥
AB
，交
BC
于
K
，
< br>∵
DK
∥
AB
< br>，∴
DF
：
FE=BK
：
BE
又∵
AD=B
E
，∴
DF
：
FE=BK
：
AD
，而
BK
：
AD=BC
：
AC
即
DF
：
FE= BC
：
AC
，∴
DF
AC=BC
FE
例
2
：
已知：如图，在△
ABC
中，∠
BAC=90
，
M
是
BC
的中点，
DM
⊥
BC
于点
E
，交
BA
的
延长线于点
D
。
0
A
D
F
E
B
K
C
AE
2
ME
求证：（
1
）
MA
=MD
ME
；（
2
）
2
MD
AD
2
证明：（<
/p>
1
）∵∠
BAC=90
< br>，
M
是
BC
的中点，
∴
MA=MC
，∠
1=
∠
C
，
D
0
∵
DM
⊥
BC
，
∴∠
C=
∠
D=90
-
∠
B
，
∴∠
1=
∠
D
，
∵∠
2=
∠
2
，
∴△
< br>MAE
∽△
MDA
，
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0
A
1
2
B
M
C
E
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/p>
∴
MA
ME
，
MD
MA
2
∴
MA
=MD
ME
，
（
2
）∵△
MAE
∽△
MDA
，
∴
AE
MA
AE
ME
，
AD
MD
AD
MA
AE
2
MA
ME
ME
∴
AD
2
MD
MA
MD
评注
：（
1
）通过一对相似三角形来
证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。
本例第（
1
）小题证明
MA
=MD
ME
，经常可以把其中的
MA<
/p>
看作一对相似三角形的公共边，
2
再去寻
觅与确定需证相似的三角形。
（
2<
/p>
）本例的关键是证明△
MAE
∽△
MDA
，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条
公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：
命题
1
如图，如果∠
1=
∠
2
，那么△
ABD
∽△
ACB
，<
/p>
AB
=AD
A
C
。
2
命题
2
如图，如果
AB
=AD
AC
，那么△
ABD
∽△
AC
B
，∠
1=
∠
2
。
C
1<
/p>
A
B
2
D
例
3
：
如图△
ABC
中，
AD
为中线，
C
F
为任一直线，
CF
交
AD
于
E
，交
AB
于
F
，求证：
AE
：
ED=2AF
：<
/p>
FB
。
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