九年级上册数学《二次根式》知识点整理
-
二次根式
一、本节学习指导
学习二次根式时，
我们把平方根的知识顺带巩固一下。
这就是系统性学习，
这样学习的
好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根
式有意义的条件要掌握。
二、知识要点
1
、二次根式的概念
：形如
a
（
a
≥
0
）的式子叫
做二次根式。
注意：
在二次根式中，
被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必
须注意：
因为负数没有平方根，
所以
a
≥
0
是
a
为二次根式的前提条件，
如
5
，
x
1
，
2
等是二次根式，而
5
，
x
等都不
是二次根式。
2
2
< br>、取值范围
（
1
）
、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当
a
≧
0
时，
a
有意义，是二次
根式，所以要使二次根式有意义，只要使被
开方数大于或等于零即可。
（
2
）
、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当
a
﹤
0
时，
a
没有意义。
3
、二次根式
a
（
a
≥
0
）
的非负
性
a
（
a<
/p>
≥
0
）表示
a<
/p>
的算术平方根，也就是说，
a
（
a
≥
0
）是一个非负数
，即
a
0
（
a
≥
0
）
。
注意：
因为二次根式
a
（
a
≥
0
）表示
a
的算术平方根，而正数的算
术平方根是正数，
0
的
2
算术平方根是
0
，所以非负数（
a
≥
0
）的算术平方根是非负数，
即
(
a
)
（<
/p>
a
≥
0
）
，这个性
质也就是非负数的算术平方根的性质，
和绝对值、
偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用
较多，如若
a
a=0
,b=0
。
2
2
4
、二次根式
(
< br>a
)
的性质
：
< br>(
a
)
a
（
a
≥
0
）
b
0
，则
a=0,b=0
；若
a
b
0
，则
a=0,b=0
；若
a
b
0
，则
2
2
描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
< br>
2
注意：
二次根式的性质公式
(
a
)
a
（
a
≥
0
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公
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式也可以反过来应用：若
a
≥
0
，则
a
(
a
)
2
，如：
2
(
2
)
2
，
5
、二次根式的性质
a
2
1
2
(
1
< br>2
)
。
2
a
(
a
0)
<
/p>
a
a
(
a
0)
描述为：一个数的平方的算术平方根等于这
个数的绝对值。
注意：
（
1
）
、
化简
a
时，
一定要弄明白被开
方数的底数
a
是正数还是负数，
若是正
数或
0
，
则等
于
a
本
身
，<
/p>
即
a
a
a
(
a
0
)
；
若
a
是
负
数
，
则
等
于
a
的
相
反<
/p>
数
-a,
即
2<
/p>
2
2
1.41
4
；
3
<
/p>
1.732
；
5
2.236
；
7
2.646
；
2
、
a
中的
a
的取值范围可以是任意实数，即不论
a
取何值，
a
一定有意义；
3
、化简
a
时，先将
它化成
a
，再根据绝对值的意义来进行化简。
< br>
6
、
(
a
)
2
与
a
的异同点
1
、不同点：
(
a
)
2
与
a
表示的意义是不同的，
(
a
)
2
表示一个正数
a
的算术平方根的平
方，而
a
表示一个实数
a<
/p>
的平方的算术平方根；在
(
a
)
2
中
2
2
2
2
2
2
2
，而
a
中
a
可以是
2
2
正实数，
0
，负实数。但
(
a
)
2
与
a
都是非负数，即
(
a
)
2
0
，
a
0
。因而它的运
2
算的结果
是有差别的，
(
a
)
< br>
a
（
a
≥
0
）
，
而
a
a
<
/p>
2
a
(
a
0)
a
(
a
0)
2
2
2
2
、相同点：当被开方数都是非负数，即
a
≥
0
时，
(
a
< br>)
=
a
；
a
＜
0
时，
(
a
)
无意义，
而
a
a
。
7
、二次根式的运算
（
1
）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能
够开得尽方，那么，就可以用它的算
术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的
形式，那么先解因式，
•
变形为积的形
式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（
2
）二次根式的加减法：先把二次根式化
成最简二次根式再合并同类二次根式．
（
3
）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）
，将被开方数
相乘（除）
，所得的积（商）仍
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< br>
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2
作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab
a
b
（a≥0，b≥0）
；
b
a
b
a
（b≥0，
a>0
）
．
（
< br>4
）
有理数的加法交换律、
结合
律，
乘法交换律及结合律，
•
乘法对加
法的分配律以及多项
式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
三、经验之谈：
特别要注意这个式子
：
a
a
<
/p>
2
a
(
a
0)
a
(
a
0)
，
这个运算过程是区别于
(
a
)
2
的依据。
本节中还要注意根式的运算，有很多同学错误的以为：
a
法，
如果不是同类项的话是不能合并的，
比
如：
2
目前我们只能估算，或是就保
持最简因式。
8
< br>b
ab
，根式的加减
5
2
2
2
3
2
< br>，
而
2
本
节
中
还
要
记
住
一
些
常
见
根
式
的
约
等
数
，
常
见
的
< br>有
2
1.414
；
3
< br>1.732
；
5
2.236
；
7
2.646
一元二次方程解法
一、本节学习指导
一元二次方程的概
念比较少，
但遇到题目的时候还挺考验经验积累的。
所以本节我
们要
多做练习，
多思考，
多积累。
在中考中这部分知识会和函数等结合，
到时候涉及综合知识就
比较多，希望同学们能掌握好本节的解题方法。
二、知识要点
1
、
降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）
例
:
(2
x
1)
5
2
解
：
2
x
1=
x
x
1
5
1
2
5
1
2
5
,
x
2
< br>5
1
2
2
、
配方法
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步骤：
（
1
）二次项系数化为
1
（
2
）在方程左边同时加上并减去一次项系
数一半的平方
（
3
< br>）化简整理，再用直接开平方法解方程
例
:
x
6
< br>x
16
0
2
2
2
2
解
:
x
<
/p>
6
x
3
3
16
0
(
x
3)
25
x
3
< br>
5
x
5
3
x
1
2,
x<
/p>
2
8
2
3
、公式法
x
1,2
b
2
a
2<
/p>
(
b
4
ac
)
2
例
:
2
x
< br>x
1
0
解
:
a
2,
b
<
/p>
1,
c
1
b
4
ac
1
8
9
x
b
2
a
1
2
1<
/p>
4
9
1
3
4
2
x
1
1,
x
2
< br>
4
、
因式分解法
方法：将式子左边进行因式分解，右边为
0
< br>例
:
2
x
10
x
x
10
2
解
:
2
x
(
x
10)
(
x
10)
0
(
x
10)(2
x
1)
0
x
10
0
或
2
x
1
0
x
< br>1
10,
x
< br>2
1
2
5
、十字相乘法（特殊的因式分解）
方法：形如
x
(
m
n
)
x
m
n
0
的式子，可化为
(
x
m
)
(
x
n
)<
/p>
0
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2
例
:
x
5
x
6
0
2
解
:
(
< br>x
1)(
x
< br>
6)
0
x
1
0
或
x
<
/p>
6
0
x
1
1,
x
2
6
三、经验之谈：
有一点
我要提醒一下大家，
解数学题时很多同学总是想着找简单的方法，
浪费了很多时
间在“想”上面，就像本节的求根公式很多同学都不愿意实用，因为计算
起来实在太麻烦。
其实很多“老式”解题步骤的确很繁琐眞就管用。有句话说：
“笨鸟先飞嘛”
！
图形的旋转
一、本节学习指导
本节我们重点了解
旋转、
平移性质，
除外还有一个重点是点的对称变换。
本节有配套免
费学习视频。
二、知识要点
1
、旋转：
将一个图形绕着某点
O
转
动一个角度的变换叫做旋转。其中，
O
叫做旋转中心，
转动的角度叫做旋转角。
2
、旋转性质
①
旋转后的图形与原图形全等
②
对应线段与
O
形成的角叫做旋转角
③
各旋转角都相等
3
< br>、平移：
将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该
直线的
方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4
、平移性质
①
平移后的图形与原图形全等
②
两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）
③
各组对应线段平行且相等
5
、中心对称与中心对称图形
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