2016全国卷高考数学试题及答案
-
2016
年高考题全国Ⅰ卷文数题干
+
解析
1.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
1)
< br>设集合
A={1,3,5,7},B={x|2
≤
x
≤
5},
则
A
∩
B
等于
(
B
)
(A){1,3}
(B){3,5}
(C){5,7}
(D){1,7}
解析
:
集合
A
与集合
B
公共元素有
3,5,
故
A
∩
B={3,5
},
选
B.
2.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
2)<
/p>
设
(1+2i)(a+i)
的实部与虚部
相等
,
其中
a
为实数
,
则
a
等于
(
A
)
(A)-3
(B)-2
(C)2
(D)3
解析
:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,
由已知
,
得
a-2=1+2a,
< br>解得
a=-3,
选
A.
3.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
3)
为美化环境
,
从红、黄、白、紫
4
种颜色的花中任选
2
种花种在一
个花坛中
,
余下的
2
种花种在另一个花坛中
,
则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
(
C
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
:
将
4
种颜色的花中任选两种种在一个
花坛中
,
余下
2
种种在另一个花坛
,
有
6
种种法
,
其
中红色和紫色
不在一个花坛的种数有
4
种
,
故概率为
,
选
C. <
/p>
4.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
4)
△
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c.
已知
a=
则
b
等于
(
D
)
(A)
(B)
(C)2
(D)3
,c=2,cos A=
,
解析
:
由余弦定理得
< br>5=b
2
+4-2
×
b
×
2
×
,
解得
b=3(b=-
舍去<
/p>
),
选
D.
5
.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
5)
直线
l
经过椭圆的
一个顶点和一个焦点
,
若椭圆中心到
l
的距离为
其短轴长的
,
则该椭圆的离心率为
(
B
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
:
设椭圆方程为
+
=1(a>b>0)
F
1
(-c,0),B(0,b)
点
O
到直线
l
的距离为
OM,
则
OM=
.
所以∠
OBM=30
°
,
在△
BF
1
O
中
,
=sin
30
°
,
=
,
所以
e=
.
故
选
B.
6.(2016
·全国Ⅰ卷<
/p>
,
文
6)
若将函
数
y=2sin(2x+
)
的图象向右
平移
个周期后
,
所得图象对应
的函数为
(
D
)
(A)y=2sin(2x+
)
(B)y=2sin(2x+
)
(C)y=2sin(2x-
)
(D)y=2sin(2x-
)
解析
:
因为
T=
=
π
,
=
, <
/p>
所以
y=2sin(2x+
)
y=2sin[2(x-
)+
],
所以
y=2sin(2x-
).
故选
D.
7.(2016
·全国
Ⅰ卷
,
文
7)
如图
,
某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相
互
垂直的半径
.
若该几何体的体积是<
/p>
,
则它的表面积是
(
A
)
(A)17
π
(B)18
π
(C)20
π
(D)28
π
解析
:
因为
·
π
R
3
=
π
,
所以
R=2.
< br>S=
·
4
π·
< br>R
2
+3
·
π
R
2
=17
π
,
故选
A.
< br>8.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
8)
若
<
br>+y <
br>+y
1 n
a>b>0,0
则
(
B
) <
/p>
(A)log
a
c
b
c
(B)log
c
a
c
b
(C)a
c
c
(D)c
a
>c
b
解析
:
由题意令
a=4,b=2,c=
.
A
选项
:log
a
c=-
,log
b<
/p>
c=-1,log
a
c>log
b
c,A
错误
.
B
选项
:log
c
a=-2,log
c
b=-1,log
c
a
c
b,B
正确
.
同理
C,D
选项错误
,
故选
B.
9.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
9)
函数
y=2x
-e
在
[-2,
2]
的图象大致为
(
D
)
2
|x|
解析
:
结合
图象
f(-x)=f(x),
函数为偶数
,
在
[0,2]
区间内
,f(x)=2x
2
-e
x
,f
′
(x)=4x-e
x
.
当
0
时
,f
′
(x)<0.<
/p>
当
时
,
f
′
(x)>0.
得出
f(x)
在
(0,
)
上为减函数
,
在
(
,2)
上为增函数
.
故选
D.
10.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
10)
执行如图所示的程序框图
,
如果输入的
x=0,y=1,n=1,
则输出
x,
y
的值满足
(
C
)
(A)y=2x
(B)y=3x
(C)y=4x
(D)y=5x
解析
:
当
x=0,y=1,n=1,
x=0,y=1,x
2
+y
2
=1
<36,
当
n=2
时
,
x=
,y=2,x
2
2
<36,
当
n=3
时
,
x=
+
=
,y
=2
×
3=6,x
2
2
>36,
输出
x=
,y=6,
令
y=
kx,
得
k=4,
所以
y=4x.
故选
C.
11
.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
11)
平面α过正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A,
α∥平面
CB
1
D
1
,
α∩平面
ABCD=m,
α∩平面
ABB
1
A
1
=n,
则
m,n
所成角的正弦值为
(
A
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
:
在正方体
ABCD
A
1
B
1
C
D
1
中
,
由题意
,
直线
m
∥
BD,
直线
∥
A
1
B,
则△
A
1
DB
为等边三角形
,
∠
DBA
1
=60
°
,sin 60
°
=
,
所以
m,n
所成角的正弦值为
,
故选
A.
12.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
12)
若函数
f(x)=
x-
sin 2x+asin x
在
(
-
∞
,+
∞
)
单调递增
,
则
a
的取
值范围是
(
C
)
(A)[-1,1]
(B)[-1,
]
(C)[-
,
]
(D)[-1,-
]
解析
:
排除法
:
令
a=-1,f(x)=x-
sin 2x-sin
x=x-
sin xcos x-sin x,
f
′
(x)=
-
cos
2
x-cos
x=
-
(cos
x+
)
2
,
当
cos x=1
时
< br>,f
′
(x)=
-
<0,
因为
f(x)
在<
/p>
(-
∞
,+
∞<
/p>
)
上为增函数
,
所以
f
′
(x)>0
在
(-
∞
,+
∞
)
上恒成立
,
所以
a=-1
不正确
,<
/p>
排除
A,B,D.
故选
< br>C.
13.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
13)
设向量
a=(x,x+1),b=(1,2),
且
a
⊥
b,
则
x=
.
解析
:
因为
a
⊥
b,
所
以
a
·
b=(x,x+1)
·
(1,2)=x+2x+2=0,x=-
.
答案
:-
1
4.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
14)
已知θ是第四象限角
,
且
sin(
θ
+
)=
,
则
tan(
θ
-
)=
.
<
/p>
解析
:
因为θ
+
-(
θ
-
)=
,
所以
(
θ
-
)=
.
因为θ在第四象限
,
所以
sin(
θ
-
)=-
,
tan(
θ
-
)=
=-
.
答案
:-
1
5.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
15)
设直线
y=x+2a
< br>与圆
C:x
2
+y
2
-2ay-2=0
相交于
A,B
两点
,
若
|AB|=2
,
则圆
C
的面积为
.
解析
:
因为
x
2<
/p>
+y
2
-2ay-2=0,
所以
x
2
+(y-a)<
/p>
2
=2+a
2
,
点
(0,a)
到直线
< br>y=x+2a
的距离
h=
=
.
2+a
2
-<
/p>
=3,
所以
a
2
=2,
所以
r
2
=2+a
2
=4,
圆面积
S=
π
r
2
=4
π
.
答案
:4
π
16.(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
16)
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种
新型材料
.
生
产一件产品
A
需要甲材料
1.5
kg,
乙材料
1 kg,
用
5
个工时
;
生产一件产品
B
需要甲材料
0.5
kg,
乙材料
0.3 kg,
用
3
个工时
,
生产一件产品
A
的利润为
2 100
元
,
生产一件产品
B
的利润
为
900<
/p>
元
.
该企业现有甲材料
< br>150 kg,
乙材料
90 kg,
则在不超过
600
个工时的条件下
,
生产产
品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
元
.
解析
:
设生产
A
产
品
x
件
,B
产
品
y
件
,
产品
A,B
的利润之和为
z.
则
z=2
100x+900y.
画出可行域
.
解得
所以
z=2 100
×
60+900
×
100=216 000,
所以生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
216
000
元
.
答案
:216 000
17.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
17)
已知
{a
n
}
是公差为
3<
/p>
的等差数列
,
数列
{b
n
}
满足
b
1
=1,b
2
=
,a
n
b
n+1
+b
n+1
=nb
n
.
(1)
求
{a
n
}
的通项公式<
/p>
;
(2)
求
{
b
n
}
的前
n
项和
.
解
:
(1)
由已知
a
1
b
2
+b
2
=b
1
,b
1
=1,b
2
=
,
得
a
1
=2.
< br>所以数列
{a
n
}
是首项为
2,
公差为
3
的等差数列
,
通项公式为
< br>a
n
=3n-1.
(2)
由
(1)
和
a
n
b
n+1
+b<
/p>
n+1
=nb
n
得
b
n+1
=
,
因此
{b
n
}
是首项为
1,
公比为
的等比数列
.
记
{b
n
}
的前
n
项
和为
S
n
,
则
S
< br>n
=
=
-
.
18.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·
全国Ⅰ卷
,
文
18)
< br>如图
,
在已知正三棱锥
P-AB
C
的侧面是直角三角形
,PA=6,
顶
点
P
在
平面
A
BC
内的正投影为点
E,
连接
PE
并延长交
AB
于点
G.
(1)
证明
G
是
AB
的中点
;
(2)
作出点
E
在平面
PAC
内的正投
影
F(
说明作法及理由
),
并求四面体
PDEF
的体积
.
解
:(1)
因为
P
在平面
ABC
内的正投影为
D,
所以
AB
⊥
PD.
因为
D
在平面
PAB
内的正投影为
E,<
/p>
所以
AB
⊥
DE
.
所以
AB
⊥平面
< br>PED,
故
AB
⊥
PG.
又由已知可得
PA=PB,
从而
G
是
AB
的中点
.
(2)
在平面
PAB
内
,
过点
E
作
PB
的平行线交
PA
于点
F,F
即为
E
在平面
PAC
内的正投影
.
理由如
下
:
由已知可得
PB
< br>⊥
PA,PB
⊥
PC,
又
EF
∥
PB,
所以
EF
⊥
PA,E
F
⊥
PC,
因此
EF
⊥平面
PAC,
即点
F
为
E
在平面
PAC
内的正投影
.
连
接
CG,
因为
P
在平面
ABC
内的正投
影为
D,
所以
D
是正三角形
ABC
的中心
.
由
(1)
知
,G
< br>是
AB
的中点
,
所以
D
在
CG
上
,
故
CD=
CG.
由题设可得
PC
⊥平
面
PAB,DE
⊥平面
PAB,
所以
DE
∥
PC,<
/p>
因此
PE=
PG,DE=
PC.
由已知
,
正三棱锥的
侧面是直角三角形且
PA=6,
可得
D
E=2,PE=2
在等腰直角三角形
EFP
中
,
可得
EF=PF=2.
所以四面体
PDEF
的体积
V=
×
×
2
< br>×
2
×
2=
.
19.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
19)
某公司计划购买
1
台机器
,<
/p>
该种机器使用三年后即被淘汰
,
机器有一
易损零件
,
在购进机器时
,
可以额外购买这种零件作为备件
,
每个
200
元
.
在机器使用期间
,
如
果备件
不足再购买
,
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零
件
,
为此搜
集并整理了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件
,<
/p>
得下面柱状图
:
.
记
x
表示<
/p>
1
台机器在三年使用期内需更换的易损零件数
,y
表示
1
台机器在购买易损零件
上
所需的费用
(
单位
< br>:
元
),n
表示购机的同时购买
的易损零件数
.
(1)
若
n=19,
求
y
与
x
的函数解析式
;
(2)
若要求“需更换的易损零件数不大于
n
< br>”的频率不小于
0.5,
求
n<
/p>
的最小值
;
(3)
假设这
100
台机器在购机的同时每台都购买
19
个易损零件
,
或每台都
购买
20
个易损零件
,
分别计算这
100
台机器在购买易损零件上所需费用的
平均数
,
以此作为决策依据
,
购买
1
台机
器的同时应
购买
19
个还是
20
< br>个易损零件
?
解
:(1)
当
x
≤
19
时
,y=3 800;
当
< br>x>19
时
,y=3
800+500(x-19)=500x-5 700.
所以
y
与
x
的函数解析式为
y=
(x
∈
N).
(2)
由柱状图知
,
需更换的零件数不大于
18
的频率为<
/p>
0.46,
不大于
19
< br>的频率为
0.7,
故
n
的最
小值为
19.
(
3)
若每台机器在购机同时都购买
19
个易损零件
,
则这
100
台机器中有
70
台在购买易损零件
< br>上的费用为
3 800
元
,20
台的费用为
4 300
元
,10
台的费用为
4 800
元
,
因此这
100
< br>台机器在
购买易损零件上所需费用的平均数为
(3 800
×
70+4
300
×
20+4
800
×
10)=4
000
元
.
若每台机器在购机同时都
购买
20
个易损零件
,
则这
100
台机器中有
90<
/p>
台在购买易损零件上
的费用为
4 000
元
,10
台的费用为
< br>4 500
元
,
因此这
100
台机器在购买易损零件上所需费用
的平均
数为
(4 000
×
90+4
500
×
10)=4
050
元
.
比较两个平均数可知
,
购买
1
台机器的
同时应购买
19
个易损零件
.
20.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
20)
在直角
坐标系
xOy
中
,
直线
l:y=t(t
≠
0)
交
y
轴于点
M,
交抛物线
C:y
2
=2px(p>0)
于点
P,M
关于点
P
的对称点为
N,
连接
ON
并延长交
C
于点
H.
(1)
求
;
(2)
除
H
以外
,
直线
MH
与
C
是否有其他公共点
?
说明理由
.
解
:(1)
由
已知得
M(0,t),P(
,t).
又
N
为
M
关于
点
P
的对称点
,
故
N(
,t),ON
的方程为
y=
x,
代入
y
2
=2px
整理得
px
2
-2t
2
x=0,
解
得
x
1
=0,x
2
=
< br>,
因此
H(
,2t),
所以
N
为
OH
的中心
,
即
=2.
(2)
直线
MH
与
C
除
H
以
外没有其他公共点
.
理由如下
:
直线
MH
的方程为
y-t=
x,
即
x=
< br>(y-t).
代入
y
2
=2px
得
y
2
-4ty+4t
2
=0,
< br>解得
y
1
=y
< br>2
=2t,
即直线
MH
与
C
只有一个公共点
,
所以除
H
以外直
线
MH
与
C
没有其他公共点
.
21.(
本小题满
分
12
分
)
(2016
·全国Ⅰ卷
,
文
21)
已知函数
f(x)=(x-2)e
x
+a(x-1)
2
.
(1)
讨论
f(x)
< br>的单调性
;
(2)
若
f(x)
有两个零点
,
求
a
的取值范围
.
< br>解
:(1)f
′
(x)=(x-
1)e
x
+2a(x-1)=(x-1)(e
< br>x
+2a).
①设
a
≥
0,
则当
x
∈
(-
∞
,1)
时
,f
′
(x)<0
;
当
x
∈
(1
,+
∞
)
时
,
f
′
(x)>0.
所以
f(x)
在
(-
∞
,1)
上单调递减
,
在
(1,+
∞
)
上单调递增
.
②设
a<0,
由
f
′
(x)=0
得
x=1
或
x=l
n(-2a).
③若
a>-
,
则
ln(-2a)<1,
故当
x
∈
(-
∞
< br>,ln(-2a))
∪
(1,+
∞
)
时
,f
′
(x)>0;
当
x
< br>∈
(ln(-2a),1)
时
,
f
′
(x)<0,
所以
f(x)
在
(-
∞
,ln(-2a)),(1,+
∞
)
上单调递增
,
在
(ln(
-2a),1)
上单调递减
.
④若<
/p>
a<-
,
则
ln
(-2a)>1,
故当
x
∈
(-
∞
,1)
∪
(ln(-2a),+
∞
)
时
,f
′
(x)>0;
当
x
∈
(1,ln(-2
a))
时
,f
′
(x)<0,
所以
f(x)
在
(-
∞
,1),(ln(-2a),+
∞
)
单调递增
,
在
(1,ln(-2a))
单调递增
.
(2)
①设
a>
0,
则由
(1)
知
,f(x)
在
(-
∞
,1)
上单调递减
,
在
(1,+
∞
)
上单
调递增
.
又
f(1)=-e,f(2
)=a,
取
b
满足
b<0
且
,
则
f(b)>
(b-2)+
a(b-1)
2
=a(b
2
-
b)>0,
所以
f(
x)
有两个零点
.
②设
a=0,
则
f(x)=(x-2)e
x
,
所以
f(x)
只有一个零点
.
③设
a
<0,
若
a
≥
-
,
则由
(1)
知
,f(x)
在
(1,+
∞
)
上单调递增
.
又当
x
≤
1
时
f(x)<0,
故
f
(x)
不存
在两个零点
;
若
a<-
,
则由
(1)
知
,f(x)
在<
/p>
(1,ln(-2a))
上单调递减
,<
/p>
在
(ln(-2a),+
∞
)
上单调递
增
.
又当
x
≤
1
时
f(x)<0,
故
f(x
)
不存在两个零点
.
综上
,a
的取值范围为
(0,+
∞
).
22.(
本小题满分
10
分
)
(201
6
·全国Ⅰ卷
,
文
22)(
选修
4-1:
几何证明选
讲
)
如图
,
△
OAB
是等腰三角形
,
∠
AOB=120
°
.
以☉
O
为圆心
,<
/p>
OA
为半径作圆
.
(1)
证明
:
直线
AB
与☉
O
相切
;
(2)
< br>点
C,D
在☉
O
上
,
且
A,B,C,D
四点共圆
,
证明
:A
B
∥
CD.
解
:
(1)
设
E
是
AB
的
中点
,
连接
OE.
因为
OA=OB,
< br>∠
AOB=120
°
,
所以
OE
⊥
AB,<
/p>
∠
AOE=60
°
.
在
Rt
△
AOE
中
,OE=
AO,
即
O
到直线
AB
的距离等于☉
O
半径
,
所以直线
AB
与☉
O
相切
.
(2)
因为
OA=2OD,
所以
O<
/p>
不是
A,B,C,D
四点所在圆的圆心<
/p>
.
设
O
′是<
/p>
A,B,C,D
四点所在圆的圆心
,
作直线
OO
′
.
由已知得
O
在线段
AB
的垂直平分线上
,
又
O
′在线段
AB
的垂直
平分线上
,
所以
OO
< br>′⊥
AB.
同理可证
,OO<
/p>
′⊥
CD,
所以
AB
∥
CD.
23.(
本小题满分
10
分
)
(2016
·全国Ⅰ卷
,
< br>文
23)(
选修
4
4:
坐标系与参数方程
)
在
直角坐标系
xOy
中
,
曲线
C
1
的参数
方程为
(t
为参数
,a>0
).
在以坐标原点为极点
,x
轴正半轴
为极轴的极坐标系中
,
曲线
C
2
:
=4cos
.
(1)
说明
C
1
是哪种曲线
,
< br>并将
C
1
的方程化为极坐标方程
;
(2)
直线
C
3
的极坐标方程为
=a
0
,
其中
a
0
满足
tan a
0
=2,
若曲线
C<
/p>
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上
,
求
a.
解
:(1)
消去参数
t
得到
C
1
的普通方程
x
2
+(y-1)
2<
/p>
=a
2
.C
1<
/p>
是以
(0,1)
为圆心
< br>,a
为半径的圆
.
将
x=
ρ
cos
θ
,y=
ρ
sin
θ代入
C
1
的普通方程中
,
得到
C
1
的极坐标方程为
ρ
2
-2
ρ
sin
θ<
/p>
+1-a
2
=0.
(2)
曲线
C
1
< br>,C
2
的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠
0,
< br>由方程组得
16cos
2
θ
-8sin
θ
cos
< br>θ
+1-a
2
=0,
由已知
tan
θ
=2,
可得
16cos
2
θ
-8sin
θ
cos
θ
=0,
从而
1-a
2
=0,
解得
a=1,a=1(
舍去
).
a=1<
/p>
时
,
极点也为
C
1
,C
2
的公
共点
,
在
C
2
上
,
所以
a=1.
24.(
本小题满分
10
分
)
(2016
·全国Ⅰ卷
,
< br>文
24)(
选修
4
5:
不等式选讲
)
已知函数
f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)
画出
y=f(x)
的图象
;
(2)
求不等式
|f(x)|>1
的解集
.
解
:(1)f(x)=
y=f(x)
的图象如图所示
.
(2)
由
f
(x)
的表达式及图象
,
当
f(x)=1
时
,
可得<
/p>
x=1
或
x=3;
当
f(x)=-1
时
,
可得
x=
或
x=5, <
/p>
故
f(x)>1
的解集为
所以 <
br>或 <
br>: 只有一项是符合题目 文 <
br>满足 x+ ,
由题
{x|1
的解集为
{x<
/p>
x<
或
x>5}.
|f(x)|>1
的解集为
{
x
x<
或
1
x>5}.
2016
年普通
高等学校招生全国统一考试Ⅱ
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题
本题共
12
小题
,
每小题
5
分
,
在每小题给出的四个选项中
,
要求的
.
1
.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
1)
已知集合
A={1,2,3},B={x|
x
2
<9},
则
A
∩
B
等于
(
D
)
(A){-2,-1,0,1,2,3}
(C){1,2,3}
(B){-2,-1,0,1,2}
(D){1,2}
解析
:B={x|-3
∩<
/p>
B={1,2}.
故选
D.
2.(2016
·全国Ⅱ卷
,
2)
设复数
z
z+i=3-i,
则
等于<
/p>
(
C
)
(A)-1+2i
(C)3+2i
(B)1-2i
(D)3-2i
解
析
:z=3-2i,
=3+2i.
故选
C.
3.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
3)
函数
y=Asin(
ω
)
的部分图像如图所示
,
则
(
A
)
(A)y=2sin(2x-
)
(B)y=2sin(2x-
)
(C)y=2sin(x+
)
(D)y=2sin(x+
)
解析<
/p>
:T=2(
+
)=
π
=
得ω
=2,A=2.
当
x=
时
,y=2si
n(2x+
)=2,
+
=
+2k
π
,k
∈
Z,
=-
+2k
π
,k
∈
Z.
故选
A.
4.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
4)
体积为
8
的正方体的顶点都在同一球面上
,
则该球的表
面积为
(
A
)
(A)12
π
(B)
π
(C)8
π
(D)4
π
,
半径
R=
,
则球的表面积
S=4
π
R
2
=12
π
.
故选
A.
解析
:
由题知正方体棱长为
2,
球的直径为
2
5.(2016
·全国Ⅱ卷
文
5)
设
F
为抛物线
C:y
2
=4x
的焦点
,
曲线
y=
(k>0)
与
C<
/p>
交于点
P,PF
⊥
x
轴
,
则
k
等于
(
D
)
(A)
(B)1
(C)
(D)2
解析
:
P(1,2),2=k.
故选
D.
6.(2016
·全国Ⅱ卷
,<
/p>
文
6)
圆
x
2
+y
2
-2x-
8y+13=0
的圆心到直线
ax+y-1=0
的距离为
1,
则
a
等于
(
A
)
(A)-
(B)-
(C)
(D)2
解析
:
同全国Ⅱ理
4
解析
.
7.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
7)
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图
,
则
该几何体的表
面积为
(
C
)
(A)20
π
(B)24
π
(C)28
π
(D)32
π
解析
:
几何体的表面积为
S=
π·
2
×
=8
π
+16
π
+4
π
=28
π
.
故选
C. <
/p>
8.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
8)
某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替
出现
,
红灯持续时间为
40
秒
.
若一名行人来到该路口遇到红灯
,
则至少需要等待
15
秒才
出现绿灯的概率为
(
B
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
:
由题至少等
15
秒遇绿灯的概率为<
/p>
P=
=
.
故选
B.
+2
π
·
2
×
4+
π
2
2
9.(
2016
·全国Ⅱ卷
,
文
9)
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法
,
如图是实现该算法的程序
框图
.
执行该程序框图
,
若输入的
x=2,n=2,
依次输入的
a
为
2,2,5,
则输出的
s
< br>等于
(
C
)
(A)7
(B)12 (C)17 (D)34
解析
< br>:
由输入
x=2,n=2.k=0,S=0,a=2,
则
解析
<
br>,f(x)
<
br>4
<
br>× <
br>已知向量
<
br>
S=2,k=1
再输入
a=2,
得
S=6,k=2=n,
再输入
a=5,
得
S=
17,k=3>n,
输出
S=17.
故
选
C.
10.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
10)
下
列函数中
,
其定义域和值域分别与函数
y=10
lg
x
的定义域和值域
相同的是
(
D
)
(A)y=x
(C)y=2
x
:
由
y=10
(B)y=lg x
(D)y=
lg x
定义域值域均为
(0,+
∞
),
与
D
符合
.
故选
D. <
/p>
11.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
11)
函数
f(x)
=cos
2x+6cos(
-x)
的最大值为
(
B
)
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
解析
:f(x)=1-2sin
2
x+6sin x
=-2(sin
2
x-3sin
x)+1
=-2[(sin x-
)
2
-
]+1
=-2(sin
x-
)
2
+
.
当
sin x=1
时
max
=5.
故选<
/p>
B.
12.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
12)
已知函
数
f(x)(x
∈
R)
满足
f(x)=f(2-x),
若函数
y=|x
2
-2x-3|
与<
/p>
y=f(x)
图像的交点为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
…
,(x
m
,y<
/p>
m
),
则
(A)
0
(B)m
(C)2m (D)4m
x
i
等于
(
B
)
解析
:
由题
y=f(x)
与
y=|x
2
-2x-3|
均关
于
x=1
对称
.
则两函数交点个数
m
为偶数
.
故选
B.
第Ⅱ卷
二、填空题
:
本题共
小题
,
每小题
5
分
.
=
2=m.
13.(2016
·
全国Ⅱ卷
,
文
13)
a=(m,4),b=(3,-2),
且
a
∥
b,
则
m=
.
解析
:
由题
-2m+12=0,m=6.
答案
:6
14.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
14)
若
x,y
满足约束条件
为
.
解析
:
由线性约束条件得可行域如图
则
z=x-2y
的最小值
则
z=x-2y
在
B(3,4)
处取得最小值为
3-2
×
4=-5.
答案
:-5
15.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
15)
△
ABC<
/p>
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c,
若
cos
A=
,
cos
C=
,a=1,
则
b=
.
解析
:
解析
:
由题
sin
A=
,sin C=
,
sin
B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C
=
×
+
×
=
.
则由
=
得
b=
=
=<
/p>
.
答案
:
<
/p>
16.(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
16)
有三张卡片
,
分别写有
1
和
2,1
和
3,2
和
3,
甲
,
乙
,
丙三人各取走
一张卡片
,
甲看了乙的卡片后说
:
“我与乙的卡片上相同的
数字不是
2
”乙看了丙的卡片后说
:<
/p>
“我与丙的卡片上相同的数字不是
1
”<
/p>
,
丙说
:
“我的
卡片上的数字之和不是
5
”
,
则甲的卡片
上的数字是
.
解析
:
设三
张卡片分别为
A(1,2),B(1,3),C(2,3),
由
丙得数字和不是
5,
则丙的卡片可能为
A
或
B.
若丙为
A(1,2),
则乙为
C(2,3),
甲为
B(1,3)
合题
,
若丙为
B(1,3),
则甲、乙为相同数字
2,
不合题
.
答案
:1,3
三、解答题
:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·全国Ⅱ
卷
,
文
17)
等差数列
{a
n
}
中
,a
3
+a
4
=4,a
5
+a
7
=6.
(1)
求
{a
n
}
的通项公式<
/p>
;
(2)
设
b
n
=[a
n
]
,
求数列
{b
n
}
的前
10
项和
,
其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数
,
如
[0.9]=0,[2.6]=2.
解
:
(1)
设数列
{a
n
< br>}
的公差为
d,
由题意有
2a
1
+5d=4,a
1
+5d=3.
解得
a
1
=1,d=
.
所以<
/p>
{a
n
}
的通项
公式为
a
n
=
.
(2)
由
(1)
< br>知
,b
n
=[
< br>].
当
n=1,2,3
时
,1
≤
<2,b
n
=1;
当
n=4,5
时
,2
≤
<3,b
n
=2;
当
n=6,7
,8
时
,3
≤
<4,b
n
=3;
当
n=9,10
时
,4
≤
<5,b
n
=4.
所以数列
{b
n
}
的前
10
项和为
1
×
3+2
×
2+3
×
3+4
×
2=24.
18.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·全国Ⅱ
卷
,
文
18)
某险种的基本保费为
a(
单位
:
元
),
继续购买该险种的投保人称为续
保人
,
续保人本年度的保费与其上年度出险次
数的关联如下
:
上年度出
险次数
保费
0
0.85a
1
a
2
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
≥
5
2a
随机调查了该险种的
200
名续保人在一年内的出险情况
,
得到如下统
计表
:
出险次数
频数
0
60
1
50
2
30
3
30
4
20
≥
5
10
(1)
记
A
为事件
:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”
.
求
P(A)
的估计值
;
(2)
记
B
为
事件
:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费
的
160%
”
.
求
P(B)
的估计值
;
(3)
求续保人本年度平均保费的估计值
.
解
:(1)
事件
A
发生当且仅当一年内出险次数小于
2,
由所给数据知
,
一年内出险次数小于
2
的
频率为
=0.55,
故
P(A)
的估计值为
0.5
5.
(2)
事件
B
< br>发生当且仅当一年内出险次数大于
1
且小于
4,
由所给数据知
,
一年内
出险次数大
于
1
且小于
4
的频率为
=0.3,
故
P(B)
的估计值为
0.3.
(3)
由所给数据得
保费
频率
0.85a
0.30
a
0.25
1.25a
0.15
1.5a
0.15
1.75a
0.10
2a
0.05
调查的
200
名续保人的平均保费为
0.85a
×
0.30
+a
×
0.25+1.25a
×
0.15+1.5a
×
0.15+1.75a
×
0.10+2a
×
< br>0.05=1.192 5a.
因此
,
续保人本年度平均保费的估计值为
1.192 5a.
19.(
本小题满分
12
分
)
(2016
·全国Ⅱ卷
,
文
19)
如图
< br>,
菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点<
/p>
O,
点
E,F
分
别在
AD,CD
上
,AE=CF,EF
交
BD
于点
H
.
将△
DEF
沿
EF
折到△
D
′
EF
的位置
.
(1)
证明
:AC
⊥
HD
′
;
(2)
若
AB=5,AC=6,AE=
,OD
′
=2
,
求五棱锥
D
′
-ABCFE
的体积
.
(1)
证明
:
由已知得
AC
⊥
BD,AD=CD.
又由
AE=CF
得
=
,
故
AC
∥
EF.
由此得<
/p>
EF
⊥
HD,EF
⊥
HD
′
,
所以
AC
⊥
HD
′
.
(2)
解
< br>:
由
EF
∥
AC
得
=
=
.
由
AB=5,AC=6
得
DO=BO=
所以
OH=1,D
′
H=DH=3.
于是
O
D
′
2
+OH
2
=(2
故
OD
′⊥
OH.
由
(1)
知
AC
⊥
HD
′
,
又
AC
⊥
BD,BD
∩
HD
′
=H,
=4.
)
2
+1
2
=
9=D
′
H
2
,
所以
AC
⊥平面
< br>BHD
′
,
于是
AC
⊥
OD
′
.
又由
OD
′⊥
OH,AC
∩
OH=O,
所以
OD
′⊥平面
ABC.
又由
=
得
EF=
.
五边形
ABCFE
的面积
S=
×
6
< br>×
8-
×
×
3=
.
所以五棱锥
D
′
-ABCFE
的体积
V
=
×
×
2
20
.(
本小题满分
12
分
)
=
.