2016年数学全国高考1卷试题及答案
-
2016
年数学全国高考
1
卷试题及答案
注意事项：
1.
本试卷分第Ⅰ卷
(
选择题
)
和第Ⅱ卷
(
非选择题
)
两部分
.
第Ⅰ卷
1
至
3
页，第Ⅱ卷
3
至
5<
/p>
页
.
2.
答题
前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置
.
3.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效
().
4.
考试结束后，将本试题和答题卡
一并交回
.
第Ⅰ卷
选择题：本大题共
12
小题，每小题
< br>5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要求的
.
【答案】
D
【答案】
B
【解析】
【答案】
C
【解析】
【答案】
B
【解析】
试题分析：由题意，这是几
何概型问题，班车每
30
分钟发出一辆，小明到达时间总长度为
40
，
等车不超过
10
分钟，
符合题意的是是
7:5
0-8:00
，
和
8:20-8:30
，
故所求概率为
，选
< br>B.
x2
y2
（
5
）已知方程
–
=1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4
，则
n
的取值
m2+n
3m2
–
n
范围是
（
A
）
(
–
1,3)
（
B
）
(
–
1,
3)
（
C
）
(0,3)
（
D
）
(0,
3)
【答案】
A
（
6
）
如图，
某几何体的三视图是三个半径
()
相等的圆及每个圆中两条相
互垂直的
28π
半径
.
若该几何体的体积是
，则它的表面积是
3
（
A
）
< br>17
π
（
B
）
18
π
（
C
）
20
π
（
D
）
28
π
【答案】
A
（
7
）函数
y=2x2
–
e|x|
在
[
–
2,2]
的图像大致为
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
【答案】
C
【解析】
12.
已知函数
f
(
x
)
si
n(
x+
)(
0
，
2
),
x<
/p>
4
为
f
(
x
)
的零点学
.
科网，
x
4
为
5
y
< br>f
(
x
)
图像的对称轴，且
f
(
x
)
在
，
单调，则
的最大值为
18
36
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
第
II
卷
<
/p>
本卷包括必考题和选考题两部分
.
第
(
13
)
题
~
第
(
21
)
题为必考题，每个试题考生都必须作答
.
第
(
22
)
题
~
第
(
24
)
题为选考题，考生根据要求作答
.
二、填空题：本大题共
3
小题，每小题
5
分
(13)
设向量
a
=(
m
，
1)
，
b
=(1
，
2)
，且
|
a
+
b
|
2
=|
a
|
2
+|
b
|
2
，则
m
=.
(14)
(2
x
x
)
5
的展开式中，
x
3<
/p>
的系数是
.
（用数字填写答案）
（
15
）设等比数列
满足
a
1
+
a
3
=10
，
a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
…
a
n
的最大值为。
（<
/p>
16
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料。生产一件产
品
A
需要
甲材料
1.5kg
，
乙材料
1kg
，
用
5
个工时；
生产一件产品
B
需要甲材料
< br>0.5kg
，
乙材料
0.3kg
，
用
3
个工时
，生产一件产品
A
的利润为
2100<
/p>
元，生产一件产品
B
的利润为
900
元。学
.
科
网该企业现有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过
600
个工时的条件下，生产产品
A
、
产品
B
的利润之和的最大值为元。
三
.
解答题
：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
.
（
17
）
（本题满分为
12
分）
AB
C
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别别为
a
，
b
，
c
，已知
2cos
C
(
a
cos
B+b
cos
A
)
c
.
（
I
）求
C
；
（
II
）若
c
7,
< br>ABC
的面积为
（
18
）
（本题满分为
12
分
）
3
3
，求
ABC
的周长．
2
如图，
在已
< br>A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，
面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，
AFD
90
，
且二面角
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
60
．
（
I
）证明平面
ABEF
EFDC
；
（
II
）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值
．
（
19
）
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，
该种机器使用三年后
即被淘汰
.
机器有
一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个
200
元
.
在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个
500
元
.
现
需决策在购买机器时应同时购
买几个易损零件，
为此搜集并整理
了
100
台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得
下面柱状图：
以这
100
台机器更换的易损零件数的
频率代替
1
台机器更换的易损零件数发生的概率，
记
X
表示
2
台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数
.
（
I
）求
X
的分布列；
（
II
）若要求
P
(
X
n
)
<
/p>
0.5
，确定
n
的最小值；
（
III
）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n
19
与
n
20
之中选其一，应
选用哪个？
20.
（本小题满分
12
分）
设圆
< br>x
y
2
x
15
0
的圆心为
A
，
直线
l
过点
B
（
1,0
）
且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
< br>，
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
（
I
）证明
EA
EB
为定值，并写出点
E
< br>的轨迹方程；
（
II
）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M<
/p>
,
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交
2
2
于
P
,
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
（
21
）
（本小题满分
12
分）
已知函数有两个零点
.
(I)
求
a
的取值范围；
(II)
设
x
1
，
x
2
是的
两个零点，证明：
+
x
2
<2.
请考生在
22<
/p>
、
23
、
24<
/p>
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
,
做答时请写清题
号
（
22
）
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图，△
OAB<
/p>
是等腰三角形，
∠
AOB
=120
°
.
以
⊙
O
为圆心，
OA
为半径作圆
.
(I)
证明：直线
AB
与
O
< br>相切；
(II)
点
C
,
D
在
⊙
O
上，且
A
,
B
,
C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
（
23
）
（本小题满
分
10
分）选修
4
—
4
：坐标系与参数方程
在直线坐标系
xoy
中，曲线
C
1
的参数方程为（
t
为参数，
a
＞
0
）
。在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
ρ
=cos
θ
.
（
I
）说明
C
1
是哪种曲线，
并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（
II
）直线<
/p>
C
3
的极坐标方程为，学
.
科网其中满足
tan=2
，
若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
< br>3
上，求
a
。
< br>
（
24
）
（本小题满分
10
分）
，选修
4
—
5
：不等式选
讲
已知函数
f
(
x
)=
∣
x
+1
∣
-
∣
2
x
-3
∣
.
（
I
）在
答题卡第（
24
）题图中画出
y=
f
(
x
)
的图像；
（
II<
/p>
）求不等式∣
f
(
x
)
∣﹥
1
的解集。
2016
数学高考卷
1
解析
单选题
1.
试题分析：因为
，所以
，故选
D
。
2.
因为<
/p>
所以
故选
B.
3.
试题分析：由已知
,
选
C.
4.
所以
故
试题
分析：如图所示，画出时间轴：
小
明到达的时间会随机落在途中线段
中，而当他的到达时间线段
或
时，才能
，故选
B.
办证他等车的时间不超过
10
分钟，根据几何概型，所
求概率
5.
试题分析：
表示双曲线，则
∴
，由双曲线性质知：
，其中
< br>是半焦距
∴焦距
,
解得
，∴
，故选
A.
6.
试题分析：该几何体直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
,
设球的半径为
,
则
,<
/p>
解得
,
所以
故选
A
．
它的表
面积是
的球面面积和三个扇形面积之和
7.
试题分析：函数
在
< br>，
所以排除
设为
，当
时，
上是偶函数，其图像关于
选项；
当
时，
时，
轴对称，因为<
/p>
有一零点，
为增函数
.
< br>故选
D.
为减函数，当
8.
试题分析：
用特殊值法，
令
选项
B
错误，
，
，
得
，
选项
A
错误，
，
，选项
C
正确，
，选项<
/p>
D
错误，故选
C
．
9.
试题分析：当
时，
，不满足
，满足<
/p>
的值满足
，故选
C.
< br>，不满足
；
；输出
，则输出的<
/p>
；
10.
试题解析：
如图，
设抛物线方程为
，<
/p>
交
轴于
点，
则<
/p>
，
即
点纵坐标为
，则
点横坐标为
，即
，由勾股定理知<
/p>
，
,
即
，
解得
，即
的焦点到准线的距离为
4
，故选
B.
11.
试题分析：如图，设平面
为
过
平面
作<
/p>
，
所以
，连接
，
则
平面
，
则
，
则
为
=
，平面
所成的角等于
，同理
为
平面
=
，因
，
所成的角，
延长
，而
，故
所成
的角即为
所成的角，即为
所成
角的正弦
值为
，选
A.
12.
试题分析：因为
为
，即
的零点，
为
图像的对称轴，所以
，所以
，又因为
在
9.
故选
B.
填空题
13.
试题分析：由
单调，所以
，即
，由此
的
最大值为
，得
，所以
，解得
.
14.
试题分
析：
得
的展开式通项为
，所以
的系数是
.
，
令
15.
试题分析：设等比数列的公比为
，由
得
，解得
.
所
以
，于是当
或
时，
取
得最大值
.
16.
试题分析：设生产产品<
/p>
、产品
分别为
、
件
,
利润之和为
元
,
那么
①
目标函数
.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二
元一次不等式组②表示的平面区域（如图）
,
即可行域
.