2016年高考理科数学全国1卷-含答案
-
2016
年普通高等学校招生全统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
（
1
）
设集合
A
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x x
2
4 x
3
0
，
B
x 2x
3
0
，则
A B
3
）
2
（
A
）（
3
，
3
）
（
B
）（
3
，
（
C
）（，
1
3
）
（
D
）（
2
2
3
2
，
3
）
（
2
）
设
(1 i) x
1
yi
，其中
x
,
y
是实数，则
x
yi
（
C
）
3
（
A
）
1
（
B
）
2
（
D
）
2
（
3
）
已知等差数列
a
n
前
9
项的和为
27
，
a
10
8
，则
a
100
（
A
）
100
（
B
）
99<
/p>
（
C
）
98
（
D
）
97
（
4
）
某公司的班车在
7:30,8:00,8:30
发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，
且到达发车站
的时刻是随机的，则他等车时间不超过
（
A
）
10
分钟的概率是
（
C
）
1
（
B
）
1
2
（
D
）
3
3
2
y
2
3
4
（
5
）
已知方程
x
2
m
2
n
3m
2
n
1
表示双曲线，
且该双曲线两焦点间的距离为
4
，则
m
的取值范围是
（
A
）（
1
，
3
）
（
B
）（
1
，
3
）
（
C
）（
<
/p>
0
，
3
）
（
D
）（
0
，
3
）
（
6
）
如图，某几何体的三视图是三个
半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半
径．若该几何体的体积是
x
28
，则它的表面积是
3
（
A
）
17
π
（
B
）
18
π
（
C
）
20
π
（
D
）
28
π
（
7
）
函数
y
2x
2
e
在
y
1
2
，
2
的图象大致为
y
1
y
1
y
1
-2
O
2
x
-2
O
2
x
-2
O
2
x
-2
O
2
x
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
理科数学试卷
A
型
第
1
页（共
5
页）
（
8
）
若
a
b
开始
1
，
0
b
c
c 1
，则
（
B
）
ab
c
（
A
）
a
c
ba
c
输入
x, y, n
（
C
）
a log
b
c
b log
a
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
1
,
n
1
，则输
n
n
1
x
x
n
1
2
, y
ny
（
9
）
执行右图的程序框图，如果输入的
x 0
,
y
出
x, y
的值满足
否
（
D
）
y 5x
x
2
y
2
36
（
A
）
y
2x
（
B
）
y
3x
（
C
）
y
4x
是
（
10
）
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
,
B
两点，交
C
的准线于
D
,
E
两
输出
x, y
点．已知
AB
4
2
，
DE
2
5
，则
C
的焦点到准线的距离为
结束
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
6
（
D
）<
/p>
8
（
11
）
平面
过正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
∥平面
CB
1
D
1
，
∩平面
ABCD
m
，
∩平
面
ABB
1
A
1
n
，则
m,
n
所成角的正弦值为
（
A
）
3
（
B
）
2
2
2
)
(
（
C
）
3
3
（
D
）
1
3
（
12
）
已知函数
f (
x)
sin( x
0,
)
，
x
2
的最大值为
为
f ( x)
的零点，
x
为
y
f ( x)
图象
4
4
的对称轴，且
f (x)
在
(
,
)
单调，则
18
36
（
B
）
9
5
（
A
）
11
（
C
）
7
（
D
）<
/p>
5
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第
选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共
(13)
～
(21)
题为必考题，每个试题都必须作答。第
2
2
(22)
～
(24)
题为
4
小题，每小题
5
分。
2
（
13
）
设向量
a
（
14
）
(2x
(m,1)
，
b (1,2)
，且
a b
x)
5
的展开式中，
x
3
的系数是
a
b
，则
m
．（用数字填写答案）
．
（
15
）
设等比数列
a
n
满足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
4
5
，则
a
1
a
2
a
n
的最大值为
．
（
16
）
某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、
乙两种新型材料
.
生产一件
A
需要甲材料
1.5kg,
乙材
料
1kg
，用
5
个工时；
生产一件
B
需要甲材料
0.5kg,
乙材料
0.3kg
，用
3
个工时
.
生产一件
A
产品的利
理科数学试卷
A
型
第
2
页（共
5
页）
润为
2100
元，生产一件
B
产品的利润为
900
元
.
该企业现有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超
过
600
工时的条件下，生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（
17
）
（本小题满分
12
分）
△
ABC
的内角
A, B, C
的对边分别为
a, b, c
，已知
2 cosC (a cos B
b cos A)
c
.
（Ⅰ）求
C
；
（Ⅱ）若
c
7
，
△
ABC
的面积为
3
3
2
.
求
△
ABC
的周长
.
（
18
）
（本小题满分
12
分）
如图，在以
A, B, C , D , E, F
为顶点的五面体中，
面
ABEF
为正方形，
AF
2FD
，
AFD
C
90
，
且二面角
D
AF
E
与二面角
C
BE
F
都是
60
°
.
（Ⅰ）证明：平面
ABEF
⊥平面
EFDC
；
D
E
A
（Ⅱ）求二面角
E
BC
A
的余弦值
.
F
B
（
19
）
（本小题满分
12
分）
某公司计划购买
2
台机器，该种机器使用三年后被淘汰
以额外购买这种零件为备件，
.
机器有一易损零件，在购买机器时，可
每个
200
元
.
在机器使用期间，
如果备件不足再购买，
则每个
500
元
.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜
集并整理了
100
台这种三年使用期内更换的易损零件，得
下面柱状图：
频数
40
20
O
以这
100
台机器更换的易损零件数的频率代替
更换的易损零件数发生的频率，
共需更换的易损零件数，
（Ⅰ）求
X
的分布列；
（Ⅱ）若要求
P
（
X
1
台机器
记
X
表示
2
台机器三年内
8
910
11
更换的易损零件数
n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件数
.
n
）
0.5
，确定
n
的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在
个？
n
19
与
n
20
之中选其一，应选用哪
理科数学试卷
A
型
第
3
页（共
5
页）
（
20
）
（本小题满分
12
分）
设圆
x
2
y
2
2x
15
0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B(1,0)
且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C, D
两
点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
（Ⅰ）证明
EA
EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M ,
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P,Q
（Ⅱ）设点
E
的轨迹为曲线
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
（
21
）
（本小题满分
12
分）
已知函数
f ( x)
( x
2)e
x
a( x
1)
2
有两个零点
.
（Ⅰ）求
a
的取值范围；
（Ⅱ）设
x
1
,
x
2
是
f ( x)
的两个零点，证明：
x
1
x
2
2
.
请考生在第（
22
）、（
23
）、（
24
）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
（
22
）
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证明选讲
如图，
△
OAB
是等腰三角形，
AOB
120
.
以
O
为圆心，
1
2
OA
为半径作圆
.
（Ⅰ）证明：直线
AB
与⊙
O
相切；
D
C
O
（Ⅱ）点
C, D
在⊙
O
上，且
A, B, C , D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.
A
B
（
23
）
（本小题满分
10
分）选修
4-4
：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
x
a
cost,
(
t
为参数，
a
0
).
在以坐标原点
y
1
a sin t ,
C
2
：
4cos
.
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
理科数学试卷
A
型
第
4
页（共
5
页）
（Ⅰ）说明
C
1
是哪一种曲线，并将
C
1
的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线
C
3
的极坐标方程为
0
，其中
0
满足
tan
0
2
，若曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
.
（
24
）
（本小题满分
10
分）选修
4-5
：不等式选讲
已知函数
f ( x)
x
1
2x
3
.
f ( x)
的图像；
（Ⅰ）在答题卡第（
24
）题图中画出
y
（Ⅱ）求不等式
f
(x)
1
的解集
.
y
1
o
1
x
理科数学试卷
A
型
第
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5
页）
2016
年全国卷Ⅰ高考数学（理科）答案与解析
一、选择题
【答案】
（
1
）
D
（
2
）
B
（
3
）
C
（
4
）
B
（
5
）
A
（
6
）
A
（
7
）
D
（
8
）
C
（
9
）
C
< br>
（
10
）
B
（
11
）
A
（
12
）
B
【解析】
（
1
）
A x x
2
4x
3 0
x1
x
3
，
B
x 2x 3 0
x x
3
，∴
2
A
B
x
3
x
3
．
2
（
）∵
(1 i ) x 1 yi
2
即
∴
x
xi 1 yi
x
x
1
y
，解得：
x
1
，∴
y
1
x yi
x
2
y
2
2
．
9(a
1
a
9
)
2
9
2a
5
a
10
a
5
（
3
）∵
S
9
2
9a
5
27
∴
a
5
3
，∵
a
10
8
∴
d
10
5
1
，∴
a
100
a
10
90d
98
．
（
4
）如图所示，画出时间轴：
7:30
7:40
7:50
A
8:00
C
8:10
8:20
8:30
D
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段
能保证他等车的时间不超过
根据几何概型，所求概率
AB
中，而当他的到达时间落在线段
AC
或
DB
时，才
10
分钟，
p
10
10
1
40
2
．
（
5
）
x
2
m
2
n
y
2
3m
2
n
1
表示双曲线，则
(
2
m
)(3
2
n m
)
0
2
2
n
3m
，
n
，∴
m
∵
2c
4
c
2
(
m
2
n)
(3m
2
1
，∴
1
n
n)
4m
2
3
．
解得
m
2
（
6
）原立体图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
1/8
后的三视图，表面积是
7/8
的球面面积和三个扇形面积之和，
理科数学试卷
A
型
第
6
页（共
5
页）
∴
S
7
8
4
2
2
3
1
2
2
17
4
（
7
）
f
(2)
8
e
2
8
2.8
2
0
，排除
A
；
f
(2)
8
e
2
8
2.7
2
1
，排除
B
；
x
0
时，
f (
x)
2x
2
e
x
，
f ( x) 4x
e
x
，当
x
f ( x)
在
(0,
)
单调递减，排除
C
；
4
故选
D
1
(0,
)
时，
f ( x)
1
4
e
0
4
4
1
0
∴
（
8
）对
A
：由于
对
B
：由于
∴
a b 1 a
0
c
1
，∴函数
y x
在
R
上单调递增，因此
c
a
b
1 a
c
b
c
，
A
错误；
1
c
1
c
1
0
，∴函数
y
x
c 1
在
1,
ba
c
ab
c
，
B
错误
上单调递减，
b
c 1
对
C
：要比较
a
log
b
c
和
blog
a
c
，只需比较
a ln c
b ln c
和
ln b
，只需比较
ln a
ln c
和
ln c
，只需
bln b
bln b
aln
a
和
a ln a
构造函数
f
x
xln x x
1
，则
f '
x
ln x
1
1
0
，
f
x
在
1,
上单调递增，因此
f a
f b 0 a ln a b ln b 0
1
1
又由
0
c
1
得
ln c
a
0
，∴
b
ln c
a ln
a
bln b
对
D
：要比较
log
c
log
c
和
a ln
a
，只需比较
ln
c
ln c
ln
c
b ln b
blog
a
c
a
log
b
c
，
C
正确
和
ln a
ln b
ln x
而函数
在
上单调递增，故
a
b
1
1
1
y
ln b
1,
ln
a ln b
0
又由
0
c
1
得
ln c
0
，∴
ln c
ln a
ln a
ln c
ln
b
log
a
c
log
b
c
，
D
错误
1
故选
C
．
1
【
2
°用特殊值法，令
a
3,b
2,c
1
1
得
3
2
2
2
，排除
A
；
3
2
2
1
2
3
2
，排除
B
；
3 log
2
1
2log
3
2
，
C
正确；
log
3
2
2
1
2
log
2
1
，排除
D
；∴选
C
】
2
（
9
）如下表：
循环节运
x x
x
n
1
2
判断
是否
输出
n n
n
1
y
y
ny
x
2
行次数
运行前
第一次
第二次
y
2
36
/
否
1
0
0
1
/
否
否
2
3
1
2
否
1
2
3
2
是
第三次
6
是
理科数学试卷
A
型
第
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5
页）
输出
x
3
2
，
y
6
，满足
y 4 x
，
故选
C
．
（
10
）以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为
y
2
2
px
p 0
，设圆的方程为
x
2
y
2
r
2
，题目条件翻译如图：
F
设
A
x
0
,2 2
，
D
p
2
,
5
，
点
2
2 px
0
⋯⋯①
x
0
,2
2
在抛物线
y
2 px
上，∴
8
2
p
p
2
D
5
r
, 5
2
2
点
在圆
x
2
y
2
r
2
上，∴
⋯⋯②
A
点
2
2
2
2
x
0
,2
2
在圆
x
y
2
r
上，∴
x
0
8
r
⋯⋯③
4
联立①②③解得：
p
，焦点到准线的距离为
p 4
．
A
2
°【如图，设抛物线方程为
y
2
2
px
，圆的半径为
r
,
AB, DE
交
x
轴于
C, F
点，则
AC
4
p
2
2
，即
A
点纵坐
，即
标为
2
2
，则
A
点横坐标为
OC
4
，由勾股定
p
理知
DF
2
即
(
5)
OF
2
DO
2
r
2
，
AC
2
OC
2
AO
2
2
(
p
)
2
2
(2
2)
2
(
)
2
，解得
p
4
，即
C
的
p
4
r
2
，
焦点到准线的距离为
（
11
）如图所示：
4
】
∵
∥平面
CB
1
D
1
，∴若设平面
CB
1
D
1
又∵平面
1
1
1
平面
ABCD
m
1
，则
m
1
∥
m
ABCD
∥平面
A
1
BC D
，结合平面
B D C
1
1
平面
ABCD
1
1
1
1
B D
1
1
∴
B
D
∥
m
1
1
1
，故
B<
/p>
D
∥
m
1
1
D
C
1
α
同理可得：
故
CD
∥
n
A
B
m
、
的所成角的大小与
B
1
D
1
、
CD
1
所成角的大小
n
D
1
相等，即
C
1
CD<
/p>
1
B
1
的大小．
A
1
B
1