2016新课标全国卷2高考理科数学试题和答案解析
-
WoRD
格式整理
一、选择题
（
本大题共
12
小题，共
60.0
分
）
1.
已知
Z=
（
m+3 +
（
m-1
）
i
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m
的取值范围是（
）
A.
（
-3
，
1
）
B.
（
-1
，
3
）
C.
（
1
，
+
∞）
D.
（
-
∞,
-3
）
2.
已知集合
A={1
,
2
,
3}
,
B={x
∣
(
x+1
)
(
x-2
)v
0
,
X
∈
Z}
,
贝
U
A
∪
B=
(
A.{1}
B.{1
D.{-1
)
,
2}
C.{0
,
1
,
2
,
3}
3.
,
0
,
1
,
2
,
3}
已知向量
Tf
=
(
1
，<
/p>
m
，
)
B.-6
2 2
< br>T
=
(
3
，
-2
),
且
(
Tr
+
F
)
丄
Tr
,
贝
U m=(
A.-8
C.6
D.8
4.
圆心到直线
ax+y
-
仁
O
的距离为
1
,
贝
U
a=
（
A.-
圆
X+y-2x-8y+13=0
的
）
B.-
5.
如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与
小红会合
,
再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者
）
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
A.24
B.18
C.12
D.9
6.
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
C.28
π
D.32
π
专业知识分享
—
7.
若将函数
y=2sin2x
的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（
A.x=.
hr ^
-
J
■ —
j
L
^r
l
(k
∈
Z
B∙X= .
+
)
(
k
∈
Z
)
C∙x
=
.
二
(
k<
/p>
∈
Z
)
D.X= • J
(
k
∈
Z
)
高中数学试卷第
2
页，共
15
页
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8.
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
x=2
,
n
=2
,
依次输入的
a
< br>为
2
,
2
，
5
,
则输
图
.
执
行该程序框图，若输入的
)
出的
S=
(
A.7
B.12
C.17
D.34
—
JI
:
9.
若
cos
(
,
贝
U
sin2
一
-
α)=
5
4
—
—
1
C
I
f
i
A.
B.
C.- D.
⅛
-0,
5
—
0
'
热
S-S-X-a
k=k+
∖
x
2
,∙∙∙,
x
n
,
y
ι
,
y<
/p>
2
,∙∙∙,
y
∏
构成
n
个
y
n
),<
/p>
其中两数
10.
从区间
< br>［
0
,
1
］
随机抽取
2n
个数
χ
ι
,
数对
(
χ
ι
,
y
ι
),
(
X
2
,
y
2
)∙∙∙(
χ
n
,
的平方和小于
1
的数对共有
A.' B.
∏
=
C.
In
U
D.
H
/
输学
√
U
已知
F1
,
F2
是双曲线
E
-
=
1
的左、右焦点，点
M
在
E
上，
MF
与
X
12.
已
知函数
f
(
x
) (
X
∈
R
)
满足
f
(
-X
)
=2-f
Tlf
+
1
(X
),
若函数
y=
与
y=f
(
x
)
图象的交点为
(
x
1
,
j
,
J
ii
i
1
2
2
m
则.∖
(
χ
i
+y
)
y
),
(
X
,
y
),…,
(X
m
y
),
轴垂
Sin
∠
MF
2
F
1
=
,
贝
U
E
的离心率为
(
3
直，
3
厂
A.
一
.
B.
C.
D.2
A.0 B.m C.2m D.4m
)
二、填空题
(
本大题共
4
小题，共
20.0
分
)
4
U
5
L
4.1
13.
△
ABC
的内角
A
,
B,
C
的对边分别为
a
,
b
,
C
,
若
<
/p>
CoSA=
「
，
cosC=
.
,
a=1
,
贝
U b=
_
____
14.
α, β
是两个平面，
m n
是两条直线
,
有下列四个命题：
①
如果
m
⊥
n
,
m
⊥
α
,
n
/∕β,
那么
α
⊥
β.
②
如果
m
⊥
α
,
n
/α,
那么
m
⊥
n
.
③
如果
α∕∕β ,
m?
α,
那么
m∕∕β.
④
如果
m∕/ n
,
α∕∕β,
那么
m
< br>与
α
所成的角和
n
与
β
所成的角相等
.
其中正确的命题是
_
_______
(
填序号
)
15.
有三张卡片，分别写有
1
和
2
,
1
和
3
,
2
和
3
.<
/p>
甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的
卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
2
”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同
的数字不是
1
”，丙说：“我的卡片上
的数字之和不是
5
”，则甲的卡片上的数字是
_____________
16.
若直线
y=kx+b
是曲线
y=l
nx+2
的切线，也是曲线
y=ln
(
x+1
)
的
切线，贝
U
b= ___________
.
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三、解答题
(
本大题共
8
小题，共
94.0
分
)
17.S
n
为等差数列
｛
a
n
｝
的前
n<
/p>
项和，且
a
ι
=
1
,
S
7
=
28
,
记
b
n
=[lga
n
]
,
其中
[x]
表示不超过
X
的最大整
数，如
[0.9]=0
，
[Ig99]=1
.
(I)
求
b
1
,
b
11
,
b
101
;
(
∏
)
求数列
｛
b
n
｝
的
前
1000
项和
.
18.
某保险的基本保费为
上年度出险
次数
保费
0.85a
a
(
< br>单位：元
)
，继续购买该保险的投保人成为续保人，续保
人本年度的保
费与其上年度出险次数的关联如下
:
2
a
1.25a
3
1.5a
4
1.75a
≥
5
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下
:
一年内出险
次数
概率
4
0.20
0.10
≥
5
0.05
0.20
0.30
0.15
(I)
求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(
川
)
求续保人本年度的平均保费与
基本保费的比值
.
(
∏
)
若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%
勺概率
;
19.
如
图，菱形
< br>ABCD
勺对角线
AC
与
BD
交于点
Q
AB=5 AC=6
点
E
,
F
分别在
AD,
CD
上，
AE=CF=
,
EF
交于
BD
于点
M
将
△
DEF
沿
EF
折到
△
D' EF
的位置，
OD
=
“山
.
(I)
证明：
D'
H
丄平面
ABCD
(
∏
)
求二面角
B-D'
A
-C
的正弦值
.
高中数学试卷第
4
< br>页，共
15
页
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20.
< br>已知椭圆
E
:
二
+
二
=1
的焦点在
X
轴上，
A
是
E
的左顶点，斜率为
k
(
k
>
0
)
的直线交
E
于
A,
t
3
M<
/p>
两点，点
N
在
E
上，
MAL NA
(I)
当
t=4
,
IAMFlANl
时，求△
AMN
的面积；
(
∏
)
当
2
∣
AM
∣
=
∣
AN
∣
时，
求
k
的取值范围
.
21.
(I)
讨论函数
f
(
x
)
=
J
Γ
+
2
e
x
的单调性，并证明当
< br>
X
>
0
时，
(
x-2
)
e
x
+x+2
>
0
;
(
< br>∏
)
证明：当
a
∈
[0
,
1
)
时，函数
g
(
X
)=
----------
-
--
-
(
x
>
0
)
有最小值
.
设<
/p>
g
(
x
)
的最小值
Z-
为
h
(
a
),
求函
数
h
(
a
)
的值域
.
22.
如
图，在正方形
ABCD
K
E
,
G
分别在边
DA DC
上
(
不与端点重合
)
DE=DG
过
D
点作
DF
L
CE
垂足为
F.
(I)
证明：
B, C, G
F
四点共圆；
(
∏
)
若
AB=1
,
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积
.
23.
在
直角坐标系
XOy
中，圆
C
的方程为
(
x+6
)
2<
/p>
+y
2
=25
.
(I)
以坐标原点为极点，
(
∏
)
直线
l
的参数方程是
I
X
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
I
∣
l<
l
f
∣
FJJΓ
∣
l
∣
j
d
∕k
C
的极坐标方程；
< br>(
t
为参数
)
< br>，
I
与
C
交与
A, B
两点，
IABI= <
/p>
,
求
I
的
!/
=
fSH∕∕⅛
斜率
.
1
I
24.
已
知函数
f
(
X
)
=IX- _
∣
+
∣
x+
_ |
,
M
为不等式
f
(
X
)<
2
的解集
(I)
求
M
(
∏
)
证明：
当
a
,
b
∈
M
时，<
/p>
∣
a+b
∣
<
|1+ab|
.
2016
年全国统一高考数学试卷
(
新课标
∏
)
(
理科
)
专业知识分享
答案和解析
【答案】
1.
21
13.
14.
②③④
15.1
和
3
16.1- In2
17.
解：
(
I)
S
n
为等差数列
｛
a
n
｝
的前
n
项和，且
a
1
=1
,
S=28
,
7a
4
=28
.
可得
a
4
=4
,
则公差
d=1
.
a
n
=n
,
b
n
=[lg
n]
,
则
b
1
=[lg1]=0
,
bn=[lg11]=1
,
b
101
=[lg101]=2
.
(
∏
)
由
(
I)
可知
:
b
1
=b
2
=b
3
=∙∙.=b
9
=0
< br>,
b
10
=b
11
=b
12
=∙∙∙=b<
/p>
99
=1
.
A 2.C
3.D 4.A 5.B
6.C
7.B
8.C
9.D 10.C
11.A
12.B
b
100
< br>=b
101
=b
102
= b
103
= ∙ ∙ ∙
=b
999
=2
,
b
10, 00
=
3
.
数列
｛
b
n
｝
的前<
/p>
1000
项和为：
9
×
0+90
×
1+900
×
2+3=1893.
18.
解：
(
I)
：
某保险的基本保费为
a
(
单位：元
)
，
上年度出险次数大于等于
2
时，续保人本年度的保费高于基本保费，
•••由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p
1
=1-0.30-0.15=0.55
(
∏
)
设事件
A
表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，
费比基本保费高出
60%
,
由题意
P
(
A
)
=0.55
,
P
(
AB
)
=0.10+0.05=0.15
,
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出
60%
勺概率：
事件
B
表示“一续保人本年度的保
p
2
=P
(
B|A
)
=
=
IlC'
=
I .
(
川
)
由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
：
■
<
-
j
∣
'
■
H
：
J
：
|
- H.I3 -
I
2.υ; <
11.-
1.3
∣
.∙ IIjll
-
L2-
M
.∙
>
ILlIl
■ '2ti
X
｛
J.(F5
H
•续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
1.23
.
=1.23
,
高中数学试卷第
6
页，共
15
页
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19.
(I)
证明：
I
ABCD
是菱形，
5
∙
AD=DC
又
AE=CF=
,
DE
=
DF
∙ ■
,
贝
U
EF// AC
又由
ABCD
是菱形，得
AC
⊥
BD
贝
U
EF
⊥
BD
∙
EF
⊥
DH
贝
U
EF
⊥
D'
H
∙∙∙
AC=6
∙
AO=3
又
AB=5 AOL OB
∙
0B=4
Λp
4=
OD=
1
,
贝
U
DH=D H=3
O
O
•
OH=
∙∙∙
< br>∣
0D'
∣
=IOHl
+
∣
D
'
又
Ol
∩
EF=H
H|
,
贝
U
D' H
丄
OH
2
•
D'
H
丄平面
ABCD
(
∏
)
解：以
H
为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
,
∙∙∙
AB=5 AC=6
∙∙∙
B
(
5
,
0
,
0
)
,
C ( 1
,
3
,
0
),
D'
(
0
,
0
,
3
)
,
A
(
1
,
-3
,
0
),
T=
汽二口匚
U:
=
Yjl
远
Jlf
r
=
(ΠJ>, U)
?
设平面
A
BD
的一个法向量为
所一
W
“
,
4τ
+
:
切
=
O
Jr
十：知
+
；匕
-O
,
取
x=3
,
得
y=-4
,
z=5
.
同理可求得平面
AD
C
的一个法向量
设二面角二面角
B-D
z
A
-C
的平面角为
θ
,
|
可恥
_
|3
冥
3
+
5
:
Kl
则
l
cos θ F
-
丄」；
7√S
'
.
•二面角
B-D'
A
< br>-C
的正弦值为
Sin
θ^
,
'
.
X
2
20.
解：
(
I)
t=4
时，椭圆
E
的方程为
+
=1
,
A
(
-2
,
0
),
直线
AM
的方程为
y=k
(
x+2
),
代入椭圆方程，整理可得
(
3+4k
2
)
χ
2
+16k
2
χ+16k
2
-12=0
,
Rfe
2
-
6
解得
x=-2
或
X=-
2
亠
X
,
则
|AM|= *
；
____
Hfc
2
-
b
J
_
____________
?|2
-
込亠
I=
•
?
12
12_
,
I
F
12
专业知识分享
由
AN
⊥
AM
可得
∣
ANF
Y' T
一『
?
；
i
+
4
•
(
¥
卩
=
仃
+
炉
？
；调
+
击
,
由
IAMFlANl
,
k
>
0
,
可得
.
？
花亠一
.
厂
=
?
,
整理可得
(
k-1
) (
4k -k+4
)
=0
,
由
4k-k+4
=0
无实根，可得
k=1
,
I I
兰
14-1
;
即有
A
A
MN
的面积为
_|AM|
2
=_
(
J L
+
〔？
I
斗
二
)
2
=
(
∏
)
直线
AM
的方程为
y
=k
(
x+
)
，代入椭圆方程，
可得
(
3+tk
2
)
χ
2
+2t
k
2
χ+t
2
k
2
-3t=0
,
∕√ft
2
-
⅛√7
解得
X=-
或
X =-
恳
Lr
∙⅛
E
_____
Z√tΛr
a
-
3√7
即有
∣
AM
∣
=
.
?|
,
_____
6√f
- I= .
?
,
_____
fi√7
_____________
6S
∣
AN
∣
一
U
+
M
?
=
；：■'
•• +
•亦
?
,
由
2
∣
AM
∣
=
∣
AN
∣
,
可得
2
?
時<
/p>
-
:
⅛
整理得
t=
,
=
?
,
6
呼
一肚
<
/p>
由椭圆的焦点在
X
轴上，贝
U t
>
3
,
即有
可得
J!2
v k
V
2
,
即<
/p>
k
的取值范围是
(
’垃
,
2
).
'>
3
,
即有
(
炉十
1)(
< br>—
2)
'
V
0
,
T-
I
l
21.
解
：
(
1
)
证明：
f
(
x
)
=■
j
—
2
f
(
X
)
=
e
x (
4
J
⅛
4<
/p>
-
-)
=
•••当
x
∈
(
-
∞
,
-2
)∪(
-2
,
+
∞)时，
f
(
X
)>
0
∕∙
f
(
x
)
在
(
-
∞
,
-2
)
和
(
-2
,
+
∞)上单调递增
.∙.x
>
0
时，
即
(
x-2
)
e
x
+x+2
>
0
(
护
-a)x
2
—
2x(e
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高中数学试卷第
8
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15
页