2016年度新课标全国2卷理科数学
-
*-
2016
年普通
高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）
理科数学
注意事项：
1.<
/p>
本试卷分第Ⅰ卷
(
选择题
)
和第Ⅱ卷
(
非选择题
)
两部分
.
第Ⅰ卷<
/p>
1
至
3
页，第Ⅱ
卷
3
至
5
页<
/p>
.
2.
答题前
，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置
.
3.
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效
.
4.
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回
.
第
Ⅰ
卷
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题<
/p>
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
.
1.
已知
z
(
m
3)
(
m
1)i
在复平面内对应的点在第四象限，则
实数
m
的取值范围是
1
（
A
）
3
，
2.
（
B
）
1
，
3
（
C
）
1,
+
（
D
）
-
，
3
已知集合
A
{
1,
2
,
3
}
，
B
< br>{
x
|
(
x
1)(
x
2)
0
，
x
Z
}<
/p>
，则
A
U
B
（
A
）
1
< br>（
B
）
{
1
，
2}
0
，
1
，
2<
/p>
，
3
}
（
D
）
{
1
，
1
，
2
，
3
（
C
）
0
，<
/p>
3.
r
r
r
r
r
a
(1,
m
)
，
b
=
(3,
2)
(
a
b
)
b
已知向量
，且
，则
m
=
（
A
）
8
< br>
4.
（
B
）
6
（
C<
/p>
）
6
（
D
）
8
圆
x
2
y
2
2
x
8
y
13
0
的圆心到直线
ax
< br>y
1
0
的距离为
1
，则
a=
4
3
（
A
）
（
B
）
（
C
）
3
（
D
< br>）
2
3
4
5.
<
/p>
如图，小明从街道的
E
处出发，先到
F
处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条
数为
（
A
）
24
（
B
）
18
（
C
）
12
（
D
）
9
6.
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（
A
）
20π
（
B
）
24π
（
C
）
28π
（
D
）
32π
*-
7.
若将函数
y
=2sin 2
x
的图像向左平移
（
A<
/p>
）
x
（
C
）
x
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为
12
k
π
π
k
π
π
k
Z
< br>
（
B
）
x
k
Z
2
6
2
6
k
π
π
k
π
π
< br>
k
Z
（
D
）
x
k
Z
2
12
2
12
8.
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图<
/p>
.
执行该
程序框图，若输入的
x
2
，
n
2
，依次输入的
a
为
2
，
2
，
5
，则输出的
s
（
A
）
7
（
B
）
12
（
C
）
17
（
D
）
34
9.
π<
/p>
3
若
cos<
/p>
，则
sin2
<
/p>
=
4
5
（
A
）
7
25
1
（
B
< br>）
5
1
（
C
）
5
（
D<
/p>
）
7
25
10.
从区间
0
,
1
随机抽取
2
n
个数
x
1
,
x
2
，
…<
/p>
，
x
n
，
y
1
，
y
2
，
…
，
y
n
，构成
n
个数
对
x
< br>1
,
y
1
，
x
2
,
y
2
，
…
，
x
n
,
y
n
，其中两数的平方和小于
1
的数对共有
m
个，
则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为
（
A
）
4
n
2
n
4
m
2
m
（
B
）
（
C
）
（
D
）
m
m
n
n
1
x
2
y
2
11.
已知
F
1
，
F
2
是双曲线
E
：
2
2
< br>1
的左，
sin
MF
2
F
1
,
右焦点，
点
M
在
E
< br>上，
MF
1
与
< br>x
轴垂直，
3
a
b
则
E
的离心率为
（
A
）
2
（
B
）
3
（
C
）
3
（
D
）
2
2
x
1
与
y
f
< br>
x
图像的交点
x
12.
已知函数
f
x
x
R
满足
f
x
2
f
x
，若函数
y
m
为
x
1
，
y
1
，
x
2
，
y
2
，
⋯
，
< br>
x
m
，
y
m
，则
x
i
<
/p>
y
i
（
）
i
1
（
A
）
0
（
B
）
m
< br>
（
C
）
2
m
（
D
）
4
m
第Ⅱ卷
本卷包括必
考题和选考题两部分．第
13~21
题为必考题，每个试题考生
都必须作答
。
第
22~24
题
为选考题
。
考生根据要
求作答
。
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分
。
13.
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
< br>，
c
，若
cos
A
4
5
，
cos
C
，
a
1
，则
13
5
b
．
*-
14.
，
是两个平面，
m
，
n
是两条线，有下列四个命题：
①如果
m
n
，
m
，
n
∥
，那么
．
②如果
m
，
n
∥
，那么
m
n
．
< br>③如果
a
∥
< br>，
m
，那么
m
∥
．
④如果
m
∥
n
，
∥
，那么
m
与
所成的角和
n
与
所成的角相等．
其中正确的命题有
.(
填写所有正确命题的编号）
15.
有三张卡片，分别写有
1
和
2
，
1
和
3
，
2
和
3
．甲，乙，丙三人各取
走一张卡片，甲看了乙的卡片
后说：
“
我与乙的卡片上相同的数字不是
2”
，
乙看了丙的卡片后说：
“
我与丙的卡片上相同的数字不
是
1”
，丙说：
“
我的卡片上的数字之和不是
5”
，则甲的卡
片上的数字是
16.
若
直线
y
kx
b
是曲线
y
ln
x
2
的切线，也是曲线
y
ln
x
< br>1
的切线，
b
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
（本小题满分
12
分）
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，且
a
1
1
，
S
7
28
．记
b
n
lg
< br>a
n
，其中
< br>
x
表示不超过
x
的最大
整数，如
0.9
0
，
lg99
1
．
（Ⅰ）求
b
1
，
b
11
，
b
101
；
（Ⅱ）求数
列
b
n
<
/p>
的前
1000
项和．
18.
（本小题满分
12
分）
某险种的基
本保费为
a
（单位：元）
，继续购买该
险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费
与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
保
费
0
0.85
a
1
a
2
1.25
a
3
1.5
a
4
1.75
a
≥
5
2
a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
概
率
0
0.30
1
0.15
2
0.20
3
0.20
4
0.10
≥
5
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
60%
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19.
（本小题满分
12
分）
*-
如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，
AB
5
，
AC
6
，点
E
，
F
分别在
AD
，
CD
上，
5
AE
CF
，
EF
交
BD
于点
H
.
将
△
DEF
沿
EF
折到
△
D
EF
的位置
OD
10
.
4
（
I
）证明：
D
H
平面
ABCD
；
（
II
）求二面
角
B
D
<
/p>
A
C
的正弦值
.
20.
（本小题满分
12
分）
x
2
y
2
1
的焦点在
< br>x
轴上，
A
是
< br>E
的左顶点，斜率为
k
(
k
0)
的直线交<
/p>
E
于
A
，
M
两
已知椭圆
E
:
t
3
点，点
N
在
E
上，
MA
⊥
NA.
（
I
）当
t
4
，
AM
AN
时，求
△
AMN
的面积；
（
II
）当
2
AM
AN
时
，求
k
的取值范围
.
< br>
21.
（本小题满分
12
分）
(I)<
/p>
讨论函数
f
(x)
x
2
x
e
的单调性，并证明当
x
0
时，
(
x
2)e
x
x
2
0;
x
2
e
x
ax
a<
/p>
(II)
证明：
当
a
[0,1)
< br>时，
函数
g
< br>x
=
(
x
0)
有最小值
.
设
g
x
的最小值为
< br>h
(
a
)
，
求函数
2
x
h
(
a
)
的
值域
.
请考生在
22
、
23
、
24
题中任选一题作答
,
如果多做
,
则按所做的第一题计分
,
做答时请写清题号
22.
（本小题满分
10
分）选修
4-1
：几何证
明选讲
如图，
在正方形
ABCD
，
E
，
G
分别在边
DA
，
DC
上
（不与端点重合）
，
且
DE
=
DG
，
过
D
点作
DF
⊥
CE
，
垂足为
F
.
(I)
证明：
B
，
C
，
G
，
F
四点共圆；
(II)
若
AB
1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积
.
23.
（本小题满分
10
分）选修
4—4
：坐标系
与参数方程
在直线坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
x
6
<
/p>
y
2
25
．
（
I
）以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
C
的极坐标方程；
x
t
cos
（
II
）直线
l
的参数方程
是
（
t
为参
数）
，
l
与
C
交于
A
、
B<
/p>
两点，
AB
1
0
，求
l
的斜率．
y
t
sin
2
24.
（本小题满分
10
分）
，选修
4—5
：不等
式选讲
已知函数
f
< br>
x
x
（
I
）
求
M
；
1<
/p>
1
x
，
M
为不等式
f
x
2
的解集
.
2
2
*-
<
/p>
（
II
）证明：当
a
，
b
M
时，
a
b<
/p>
1
ab
．
2016
年普
通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案及解析
1.
【解析】
A
∴
m
3
<
/p>
0
，
m
1
0
，∴
3
m
1
，故选
A
．
2.
【解析】
C
B
x
x
1
x
<
/p>
2
0
，
x
Z
x
1
x
2
，
x
Z
，
1<
/p>
，∴
A
U
B
0
，
1
，
2
，
3
，
< br>
∴
B
0
，
故选
C
．
3.
【解析】
D
r
r
a
b
4
，
m
2
，
< br>∵
(
a
b
)
b
，
∴
(
a
b<
/p>
)
b
12
2(
m
2)
0
解得
m
8
，
故选
D
．
4.
【解析】
A
2
2
r<
/p>
r
r
r
r
r
圆
x
2
y
2
2
x
8
y
13
0
化为标准方程为：
x
1
y
4
4
，
故圆心为
1
，
4
，
d<
/p>
故选
A
．
5.
【解析】
B
a
4
1<
/p>
a
2
1
1
，解得
a
，
4
3
E
F
有
6
种走法，
F
G
有
< br>3
种走法，由乘法原理知，共
6
3
18
种
走法
故选
B
．
6.
【解析】
C
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆
柱底面圆半径为
r
，周长为
c
，圆锥母线长为
l
，圆柱高为
< br>h
．
由图得
< br>r
2
，
c
2
π
r
4
π
，由勾
股定理得：
l
2
2
2
3
2
4<
/p>
，
1
S
表
π
r
2
ch
cl
4
π
16
π
< br>8
π
28
π
，
2
故选
C
．
7.
【解析】
B
π
平移后图像表达式为
y
2sin
2
x
，
12
*-
π
< br>
π
k
π
π
令
2
x
k
π
+
，得对称轴
方程：
x
k
Z
<
/p>
，
12
2
2
6
故选
B
．
8.
【解析】
C
第一次运算：
s
0
2
2
2
，
<
/p>
第二次运算：
s
2
2
2
6
，
第三次运算：
s
6
2
5<
/p>
17
，
故选
C
．
9.
【解析】
D
7
3<
/p>
π
2
π
∵
cos
，
sin
2
cos
2
2cos
< br>1
，
25
4
5
2
<
/p>
4
故选
D
．
10.
【解析】
C
，
n
在如图所示方格中，而平方和小于
1
的点均在
< br>
由题意得：
x
i
，
y
i
< br>
i
1
，
2
，
如
图所示的阴影中
π
4
m
由几何概型概率计算公式知
4
m
，∴
π
，
故选
C
．
n
1
n
11.
【解析】
A
2
2
F
1
F<
/p>
2
F
1
F
2
sin
M
离心率
e
3
2
．
，由正弦定理得
e<
/p>
MF
2
MF
1
MF
2
MF
1
sin<
/p>
F
1
sin<
/p>
F
2
1
1
3
故选
A
．
12.
【解析】
B
1
对称，
由
f
x
2
f
x
得
f
x
< br>
关于
0
，
而
y
x
1
1
1<
/p>
对称，
<
/p>
1
也关于
<
/p>
0
，
x
x
∴对于每一组对称点
x
i
x
i
'
0
y
i<
/p>
y
i
'=2<
/p>
，