2016年全国1卷高考理科数学答案解析
-
2016
高考全国Ⅰ卷理数
A
{
x
|
x
2
4
x
3
<
/p>
0}
，
B
{
x
|
2
x
3
0}
，则
A
I
B
（
1
）设集合
3
3
3
3
(
< br>
3,
)
(
3,
)
(
,3)
(1,
< br>)
（
A
）
2
（
B
< br>）
2
（
C
）
2
（
D
）
2
【答案】
D
考点：集合运算
（
< br>2
）设
(1
< br>i)
x
1
y
i
，其中
x
，
y
是实数，则
x
y
i
=
（
A
）
1
（
B
）
2
（
C
< br>）
3
（
D
）
2
【答案】
B
【解析】
试题分析：因为
(1
i
)
x
=1+
yi
,
所以
x
xi
=1+
yi
,
所以
x
=1,
y
x
1,
故
|
x
yi
|
=|1+
i
|
2,
故选
B.
考点：复数运算
（
< br>3
）已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
=8
，则
a
100
=
（
A
）
100
（
B
）
99
（
C
）
98
（
D
）
97
【答案】
C
【解析】
试题分析：
由已知，
9
a
1
36
d
27
,
< br>所以
a
1
1,
d
1,
a
100
a
1
99
d
1
99
98,
故
a
1
<
/p>
9
d
8
选
C.
考点：等差数列及其运算
（
4
）某公司的班车在
7:30
< br>，
8:00
，
8:30
发车，小明在
7:50
至
8:30
之间到达发车站乘坐班车，且到
达发车站的时刻是随
机的，则他等车时间不超过
10
分钟的概率是
< br>
1
1
2
3
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
2
3
4
【答案】
B
考点：几何概型
x
< br>2
y
2
（
5
）已知方程
2
–
< br>2
=1
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4
，则
n
的取值范围
是
m
+
n<
/p>
3
m
–
n
（
A
）
(
–
1,3)
（
< br>B
）
(
–
1,
3)
（
C
）
(0,3)
（
D
）
(0,
3)
【答案】
A
【解析】由题意知：双曲
线的焦点在
x
轴上，所以
m
2
n
3
m
2
n
4
，解得：
< br>m
2
1
，因为
n
1
1
n
0
x
2
y
2
1
表示双曲线，所以
方程
，解得
，所以
n
的取值范围是
1
n
3
n
n
3
3
n
0
<
/p>
1
,3
，故选
A
．
考点：双曲线的性质
（
6
）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的
半径
.
若该几何体的体
积是
28
π
，则它的表面积是
3
（
A
）
17
π
（
B
）
18<
/p>
π
（
C
）
20
π
（
D
）
28
π
【答案】
A
【解析】
试题分析：由三视图知：该
几何体是
7
8
个球，设球的半径为
R
，则
V
7
4
28
R
3
8
3
3
< br>，解
得
R
7
3
2
，所以它的表面积是
4
2
2
2
2
17
8
4
，故选
A
．
考点：三视图及球的表面积与体积
（
7
）函数
y
=2
x
–
e<
/p>
在
[
–
2,2]
的图像大致为
2
|
x
|
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
【答案】
D
考点：函数图像与性质
（
8
）若
a
b
10
，
c
1
，则
（
A
）
a
c
b
c
（
B
）
ab<
/p>
c
ba
c
（
C
）<
/p>
a
log
b
c<
/p>
b
log
a<
/p>
c
（
D
）
log
a
c
log
b
c
【答案】
C
考点：指数函数与对数函数的性质
（
9
）执行右面的程序框图，如果输入的
x
0
，
y<
/p>
1
，
n
1
，则输出
x
，
y
的值满足
<
/p>
（
A
）
y
2
x
（
B
）
y
3
x
（
C
）
y
4
x
（
D
）
y
5
x
【答案】
C
【解析】
试
题
分
析
：
当<
/p>
x
0,
y
1,
n
1
时
，
x
0
1
1
,
y
1
1
1
，
不
满<
/p>
足
x
2
y
2
36
2
不
满
足
；
n
2,
x
0
2
1
1
,
y
2<
/p>
1
2
2
2
，
x
2
y
2
36
；
n
< br>
3,
x
1
3
1
3
3
,<
/p>
y
2
3
6
，
满足
x
2
y
2
36
；
输出
x
< br>,
y
6
，
则输出的
x
,
y
的
2
2
2
2
值满足
y
4
x
，故选
C.
考点：程序框图与算法案例
（
10
）
以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
，
B
两点，
交
C
的准线于
D
，
E
两点
.
已知
|
AB
|=
4
2
，
|
DE|=
2
5
，
则
C
的焦点到准线的距离为
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
6
（
D
）
8
【答案】
B
【解析】
试
题
分
析：
如
图
，
设
抛物
线方
程
为
y
2
<
/p>
2
px
，
圆
的
半径
为
r
,
AB
,
DE
交
x
轴
于
C
,
F
点
，
则
AC
< br>2
2
，
即
A
点
纵
坐
标
为
2
2
，
则
A
点
横
坐
标
为
4
p
，
即
OC
4
p
，
由
勾
股
定
理
知
p
4
DF
2
OF
2<
/p>
DO
2
r
2
，
AC
2
OC
2
AO
2
r
2
，即
(
5)
2
(
)
2
(2
< br>2)
2
(
)
2
，
2
p
解得
p
4
，即
C
的焦点到准线的距离为
4
，故选
B.
考点：抛物线的性质
（
11
）平面
α
过正方体
ABCD
-
A<
/p>
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
α
//
平面
CB
1
D
1
，
α
I
平面
ABCD
=
m
，
α
I
平面
ABB
1
A
1
=
n
，
则
m
，
n
所成角的正弦值为<
/p>
（
A
）
3
2
（
B
）
2
2
（
C
）
3
3
（
D
）
1
3
【答案】
A
考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角
（
12
）
已知函数
π
π
π
f
(
x
)
sin(
x+
)(
0
，
<
/p>
),
x
为
f
(
x
)
的零点，
x
为
y
f
(
x
)
2
4
4
π
5
π
f
(
x
)
在
(
，
)<
/p>
单调，则
的最大值为
< br>
18
36
图像的对称轴，且<
/p>
（
A
）
11
（
B
）
9
（
C
）
7
（
D
）
5
【答案】
B
考点：三角函数的性质
二、填空题：
本题共
4
小题，每小题
5
分
.
（
13
）设向量
a
=(
m
,1)
，
b
=(1,2
)
，且
|
a
+
b
|
=|
a<
/p>
|
+|
b
|
，则
m
= . <
/p>
2
2
2
【答案】
2
【解析】
试题分析：由
|
a
b
< br>|
2
|
a
|
2
|
b
|
2
，得<
/p>
a
b
，所以<
/p>
m
1
1
2
0
，解得
m
2
.
考点：向量的数量积及坐标运算
（<
/p>
14
）
(2
x<
/p>
x
)
5
的展开式中，
x
的系数是
.
（用数字填写答案）
3
【答案】
10
【解析】
试题分析：
(2
x
x
< br>)
5
的展开式的通项为
C
r
5
(2
x
)
5
r
(
x
)
< br>2
r
5
r
C
x
r
5
5
r
2
(
r
0
，
1
，
2
，…，
5)
，
令
5
r
4
10
.
3
得
r
4
，所以
x
3
的系数是
2C
5
2
考点
:
二项式定理
（
15
）设等比数列
{
a
n
}
满足<
/p>
a
1
+
a
3
=10
，
a
2
+
a
4
=5
，则
a
1
a
2
鬃
?
a
n
的最大值为
.
【答案】
64
考点：等比数列及其应用
（
16
）某高科技企业生产产品
A
和产品
B
需要甲、乙两种新型材料
.
生产一件产品
A
需要甲材料
1.5
kg
，
乙材料
1
kg
，用
5
个工时；生产一件产品
B
需要甲材料
0.5
kg
，乙材料
0.3
kg
，用
3
个工时，生产
一件产品
A
的利润为
2100
元，生产一件产品
B
的利润
为
900
元
.
该企业现有甲材料
150
kg
，乙材料
90
kg
，
则在不超过
600
个工时
的条件下，
生产产品
A
、
产品
B
的利润之和的最大值为
元
.
【答案】
216000
【解析】
试题分析：设生产产品
A
、产品
B
分别为
x
、
y
件，利
润之和为
z
元，那么由题意得约束条件
1.5
x
0.5
y
„
150,
x
0.3
y
„
90,
5
x
3
y
„
6
00,
目标函数
z
< br>
2100
x
900
y
.
x
…
0,
y
…
0.
3
x
y
?
3
00,
10
x
3
y
„
9
00,
约束条件等价于
5
x
3
y
„
600,
①
x
…
0,
y
…
0.
作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示
.
将
z
2100
x
900
y
变
形
，
得
y
7
z
3
x
900
，
作
直
线
：
y
7
3
x
并
平
移
< br>，
y
7
3
x
z
900
经过点
M
时，
z
取得最大值
.
解方程组
10
x
3
y
900
x
3
y
600
，得
< br>M
的坐标为
(60,100)
.
5
所以当
x
60
，
y<
/p>
100
时，
z
max
2100
60
900
< br>
100
216000
.
故生产产品
A
、
产品
B
的利润之和的最大值为
2160
00
元
.
直
线
当
考点：线性规划的应用
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
. <
/p>
（
17
）
（本小
题满分
12
分）
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
2cos
C
(
a
cos
B+b
cos
A
)<
/p>
c
.
（
I
）求
C
；
（
II
）若
c
7,
△
ABC
的面积为
3<
/p>
3
，求
△
ABC
的周长．
2
【答案】
（
I
）
C
3
（
II
）
5
<
/p>
7
【解析】
试题解析：
（
I
）由已知及正弦定理得，
2cosC
sin
cos
< br>
sin
cos
sinC
，
2cosCsin
sinC
．
故
2sinCcosC
sinC
．
可得
cosC
1
，所以
C
．
2
3