全国二卷数学历年真题
-
2006
高考理科数学试题全国
II
卷
一．选择题
（
1
）已知集合
M
< br>{
x
|
x
3
},
N
x
|
lo
g
2
x
1<
/p>
，则
M
N
（
A
）
（
B
）
x
|
0
x
3
< br>
（
C
）
x
|1
x
3
（
D
）
x
|
2
x
3
（
< br>2
）函数
y
< br>sin
2
x
cos
2
x
的最小正周期是
（
A
）
2
（
B
）
4
（
C
）
3
2
(1
i
)
（
D
）
4
2
（
3
）
3
3
（
A
）
i
< br>
（
B
）
i
（
C
）
i
（
D
）
< br>i
2
2
（
4
）
过球的一条半径的中点，
作垂直于该半径的平面，
则所得截面的面积与球的表面积的比为
3
9
3
9
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
16
16
8
32<
/p>
x
2
（
5
）已知
ABC
的顶
点
B
、
C
在椭
圆
y
2
<
/p>
1
上，顶点
A
是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一
3
个焦点在
< br>BC
边上，则
ABC
的周长是
（
A
）
2
3
（
B
）
6
（
C
）
4
3
（
D
）
12
（
6
）函数
y
ln
x
<
/p>
1(
x
0)<
/p>
的反函数为
（
A
）
y
e
x
1
(
x
R
)
（
B
）
y
e
x
1
(
x
R
)
< br>
（
C
）
y
e
x
1
(
x
1)
（
D
）
y
e
x
1
(
x
1)
（
7
）如图，平面
平面
，
A
,
B
,
AB
< br>与两平面
、
所成的角分别为
B
分别作两平面交线的垂线，垂足为<
/p>
A
'
、
B
',
则
AB
:
A
'
B
'
和
。过
A
< br>、
4
6
（
A
）
2
:1
（
B
）
3
:1
（
C
）
3:
2
（
D
）
4
:
3
A
B'
A'
B
（
8
）函数
y
f
(
x
)
的图像与函数
g
(
x
)
log
2
x
(
x
0)
的图像关于
则
f
(
x
)
的表达式为
原点对
称，
word
文档
可自由复制编辑
（
A
）
f
(
x
)
1
1
(
x
0)
（
B
）
f
(
x
)
(<
/p>
x
0)
log
2
x
log
2
(
x
)
（
C
）
f
(
x
)
log
2
x
(
x
< br>0)
（
D
）
f
(
x
)
log
2
(
x
)(
x
0)
x
2
y
2
< br>4
（
9
）已知双曲线
2
2
1
的一条渐近线方程为
y
<
/p>
x
，则双曲线的离心率为
3
a
b
5
4
5
3
（
A
）
（
B
）
（
C
）
（
D
）
3
3
4
2
（
10
）若
f
(sin
x
)
3
cos
2
x
,
则
f
(cos
x
)
（
A
）
3
< br>cos
2
x
（
B
）
3
sin
2
x
（
C
）
3
cos
2
x
< br>（
D
）
3
sin
2
x
S
3
1
S
,
则
6
S
6
3
S
12
（
11
）设
S
n
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若<
/p>
（
A
）
3
1
1
1
（
B
）
（
C
）
（
D
）
10
3
8
9
19
（
12
）函数<
/p>
f
(
x
)
x
n
的最小值为
n
1
（
A
）
190
（
B
）
171
（
C
）
90
（
D
）
45
二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
1
（
13
）在
(
x
4
)
10
的展开式中常数项是
＿＿＿＿＿。
（用数字作答）
x
（
14
）已知
<
/p>
ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
成等差数列，且
AB
1,
BC
4,
则边
BC
上的中线
AD
的长
为＿＿＿＿＿＿＿。
（
15
）
过
点
(
1
,
2
2
的
)
直
线
l
将
圆
2<
/p>
频率
/
组距
0.
0005
0.0004
(
x
2)
y
4
分成两段弧，当劣弧所对的
角最小时，直线
l
的斜率
k
____.
圆<
/p>
心
0.0003
0.0002
（
16
）
一个社会调查机
构就某地居民的月收
0.0001
入
调
月收入（元）
查了
10000
人，
并根据所得数据画了样本的
频
率
2000
2500
300
0
1000
1500
3500
4000
分布直方图（如下图）
。为了分析居民
的收
入
与
年龄、学历、职业等方面的关
系，要从这
10000
人中再用分层抽样方法抽出
100
人作进一步调
查，则在
[2500,3000)
（元）月收入段应抽出
人。
三．解答题：本大题共６小题，
共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
<
/p>
（
17
）
（本小题满分１２分）已知向量
a
(sin
,1),
b
(1,cos
< br>),
.
（
I
）
若
a
<
/p>
b
,
求
;
2
2
word
文档
可自由复制编辑
< br>（
II
）求
a
< br>
b
的最大值。
（
18
）
（本小题满分１２
分）某批产品成箱包装，每箱
5
件，一用户在购进该批产品前先
取出
3
箱，再从每箱中任意出取
2
件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有
0
件、
1
件、
2
件二等品，其余为一等品。
（
I
）用
表示抽检的
6
件产品中二等品的件数，求
的分布列及
的
数学期望；
（
II
）若抽检的
6
件
产品中有
2
件或
2
件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求
这批产品被用户拒绝的概率。
（
19
）
（本小题满分１２分）如图，在直三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中，
AB
BC
,
D
、
E
分别为
BB
1
、
（
I
）
证明：
ED
为异面直
线
BB
1
与
A
C
1
的公垂线；
（
II
）
AC
1
的中点。
C
1
A
< br>1
D
B
1
设
AA
1
AC
2
AB
,
求二面角
A
1
AD
C
1
的大小。
（
20
）
（本小题１２分）设函数
f<
/p>
(
x
)
(
x
1)ln(<
/p>
x
1).
若对
所有
有
f
(
x
)
ax
成立
，求实数
a
的取值范围。
（
21
）
（本小题满分为
１４分）已知抛物线
x
2
4
y
的焦点为
F
，
C
E
的
x
0,
都
B
A
A
、
B
是热线
上的两动点，且
AF
FB
(
0).
过
A
、
B
两点分别作抛
物线的切线，设其交点为
M
。
（
I
）证明
FM
.
AB
为定值；
（
I
I
）设
ABM
的面积为
S
，写出
S
f
(
)
的表达式，并求
S
的最小值。<
/p>
（
22
）
（本小题满分１２分）设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且方程
x
2
a
n
x
a
n
0
< br>
有一根为
（
I
）求
a
1
< br>,
a
2
;
（
II
）求
a
n
的通项公式
< br>
S
n
1,
n
1,
2,
3,...
word
文档
可自由复制编辑
< br>2006
高考理科数学参考答案全国
II
卷
一、选择题：
1
．
D
2
．
D
3
．
A
4
．
A
5
．
C
6
．
B
7
．
A
8
．
D
9
．
A
10
．
C
11
．
A
12
．
C
二、填空题：
13
．
45
14
．
3
15
．
三、
17.
,
2
1
4
2
16
．
25
2
18
．
E
=1.2
17
50
1
9
．∠
A
1
F
E=60
°
20
．
（－∞，
1
]
< br>
21
．
0,
< br>
1
时
S
的最小
值是
4
22
．
a
1
=
，<
/p>
a
2
=
，
a
n
＝
1
2
1
6
1
n
（
n
＋
1)
2007
年普通高等学校招生全国统一考试
(
全国卷Ⅱ
< br>)
word
文档
可自由复制编辑
一．选择题
1
．
sin2100 =
(A)
3
2
(B)
-
3
2
(C)
1
2
(D)
-
1
2
2<
/p>
．函数
f(x)=|sinx|
的一个单
调递增区间是
< br>
3
(A)
< br>（－
，
）
(B)
（
，
）
(C)
4
4
4
4
1
<
/p>
2
i
3
．设复数
z
满足
=i
，
则
z =
z
(A) -2+i
(B) -2-i
(C)
2-i
4
．以下四个数中的最大者是
(A) (ln2)2
(B)
ln(ln2)
(C)
ln
2
3
3
）
(D)
（
，<
/p>
2
2
2
(D) 2+i
(D) ln2
1
5
．在
∆
ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，
若
AD
=2
DB
，
CD
=
CA
CB
,
=
3
2
1
1
2
(A)
(B)
(C)
-
(D)
-
3
3
3<
/p>
3
x
1
6
．不等式
:
2
>0
的解集为
x
4
(A)( -2, 1)
(B) ( 2,
+
∞
)
(C) ( -2,
1)
∪
( 2,
+
∞
)
(D) (
-
∞
,
-2)
∪
( 1,
+
∞
)
7
．
已知正三棱柱
ABC
－
A1B1C1<
/p>
的侧棱长与底面边长相等，则
AB1
与侧
面
ACC1A1
所成角的正弦
等于
(A)
6
4
(B)
10
(C)
4
2
2
(D)
3
2
1
x
2
8
．已知曲线
y
3ln
x
的一条切线的斜率为
,
则切点的横坐标为
2
4
(A)3
(B)
2
(C)
1
1
(D)
2
9
．把函数
y=ex
的图象按向量
a=(2,3)
平移，得到
y=f(x)
的图象，则
f(x)=
(A)
ex-3+2
(B)
ex+3
－
2
(C)
ex-2+3
(D)
ex+2
－
3
10
< br>．从
5
位同学中选派
4
位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星
期五
有
2
人参加，星期六、星期日各有
1<
/p>
人参加，则不同的选派方法共有
(A)40
种
(B)
60
种
(C)
100
种
(D) 120
种
x
2
y
2
11
．设
F1
，
< br>F2
分别是双曲线
2
2
1
的左、右焦点。
若双曲线上存在点
A
，使∠
F1AF2
=90
º，
a
b
且
|AF1|=3|AF2|
，则双曲线离心率为
(A)
5
2
(B)
10
2
(C)
15
2
(D)
5
word
文档
可自由复制编辑
< br>12
．设
F
为抛物线
y2=4x
的焦点，
A
、
B
、
C
为该抛
物线上三点，若
FA
FB
FC
=0
，则
|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9
(B)
6
第
II<
/p>
卷（非选择题）
本卷共
10
题，共
90
分。
二．填空题
(C)
4
(D) 3
1
13
．
（
< br>1+2x2
）
(x
－
)8
的展开式中常数项为
。
（用数字作答）
< br>x
14
．在某项测量中，测量结果
服从正态分布
N
（
1
，
2
）
（
>0
）
，若
在（
0
，
1<
/p>
）内取值的概
率为
0.4
，则
在（
0
，
2
）内取值的概率为
。
15
．一
个正四棱柱的各个顶点在一个直径为
2cm
的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为
1cm
，
那么该棱柱
的表面积为
cm2.
S
16
．已知数列的通项
an=
－
5n+2,
其前
n
项
和为
Sn,
则
lim
n
=
。
n
<
/p>
n
2
三．解答
题：本大题共
6
小题，共
70
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.
在
∆
ABC
中，已知内角
A=
,
边
BC=2
3
,
设内角
B=x,
周长为
y
3
（
1
）求函数
y=f(x)
的解析式和定义域；
（
2
）求
y
的最大值
P
18.
从某批产品中，
有放回地抽取产品二次，
每次
随
机抽取
1
件，假设事
件
A
：
“取出的
2
件产品中至
多
有
< br>1
件是二等品”的概率
P
（
A
）
=0.96
(1)
求从该批产品中任取
1
件是二等
品的概率
p;
F
（
2
）
若该批产品共有
100<
/p>
件，
从中任意抽取
2
件，
列
C
形，
19.
如图，
在四棱锥
S
－
ABCD
中，
底面
ABCD<
/p>
为正方
D
侧棱
SD
⊥
底面
ABCD
，
E
、
F
分别是
AB
、
SC
的中点
< br>
B
A
求证：
EF
∥
平面
SAD
E
设
SD = 2CD
，求二面角
A
－
EF
－
D
的大小
20
．在直角坐标系
xOy
中，以
O
为圆心的圆与直线：
x-
3
y=4
相切
（
1
）求圆
O
的方程
（
2
）圆
O
与
x<
/p>
轴相交于
A
、
B
两点，圆内的动点
P
使
|PA|
、
|PO|
、
|PB|
成等比数列，求
PA
PB
的取值范围。
21
．设数列
{an}
的首项
a1
∈
(0,1), an=
3
a
n
1
，
n=2,3,4
…
2
word
文档
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< br>（
1
）求
{an}
的通项公式；
（
2
）设
b
n
a
n
3
2
a
n
，求证
b
n
<
b
< br>n
1
，其中
< br>n
为正整数。
22.
已知函数
f(x)=x3
－
x
（
1
）求曲线
y=f(x)
在点
M(t,
f(t))
处的切线方程
（
2
）设
a>0,
如果过
点（
a, b
）可作曲线
y=f(x)
的三条切线，证明：－
<
br>理科数学试题（必修
<
br>sin
<
br>。 <
br>2 <
br>a
R) ，∴ <
br>D <
br>AB
a
2007
年普通高等学校招生全国统一考试
word
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+
选修Ⅱ）参考答案
题号
答案
1
D
0
2
C
3
C
4
D
5
A
6
C
7
A
8
A
9
C
10
B
11
B
12
B
1
．
sin210
=
30
1
，选
D
2
3
)
，选
C
。
2
2
．函
数
f(x)=|sinx|
的一个单调递增区间是
(
a
1
2
i
3
．设复数
z=
bi
, (
a
，
b
∈
满足
=
i
1
2
i
ai
b
，
，∴
z
=
2<
/p>
i
，选
C
。
z
b
1
1
ln2
，∴
<
/p>
最大的数是
ln2
，选
。
2
1
5
．在
∆
ABC
中，已知
D
是
边上一点，若
AD
=2
DB
，
CD
=
CA
CB
，则
3
2
2
2
1
2
CD
CA
AD
CA
AB
CA
(
CB
CA
)
CA
CB
=
，选
A
。
3
3
3
< br>3
3
4
．∵
0
ln
2
1
，∴
ln(ln2)<0
，
(ln2)
<
ln2
，而
ln
2
=
2
6
．不等式
< br>:
x
1
x
1
>0
，∴
0
，
原不等式的解集为
(-2,
1)
∪
(2, +
∞
< br>)
，选
C
。
2
x
4
(
x
2)
(
x
2)
7
．已知正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
< br>C
1
的侧棱长与底面边长相等，取
A
1
C
1
的
中点
D
1
，连接
BD
1
，
AD
1
，∠
B
1
AD
1
是
AB
1
与侧
3
6
面
ACC
1
A
1
所成的角，
sin
< br>B
1
AD
1
2
，选
A
。
4
2
1
3
1
x<
/p>
2
1
3ln<
/p>
x
的一条切线的斜率为
，
y
'
x
=
，解得
x=3
或
x=
－
2
< br>，由选择项知，只
8
．已知曲线
y
2
2
x<
/p>
2
4
能选
A
。
9
．把函数
y
=
e
的图象
按向量
a
=(2,3)
平移，即向右平
移
2
个单位，向上平移
3
个单位，平移后得到
y
=
f
(
x
)
的图象
，
f
(
x
)=
e
x
2
x
3
，选
C
。
10
．从
5
位同学中选派
4
位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有
2
人参
2
2
加，星期六、星期日各有
1
人参加，则不同的选派方法
共有
C
5
A
3
60
种，选
B
。
x
2<
/p>
y
2
11
．
设
F
1
，
F
2
分别是双曲线
2<
/p>
2
1
的左、
右焦点。
若双曲线上存在点
A
，
使∠
F
1
AF
2
=90
º，
且
|AF
1
|=3|AF
2
|
，<
/p>
a
b
2
c
|
AF
1
|
|
AF
2
|
10
，
设
|AF
2
|=1
，
|AF
1
|=3
，
双曲线中
2<
/p>
a
|
AF
∴
离心率
e
1
|
|
AF
2
|
2
，
选
B
。
12
< br>．设
F
为抛物线
y
=4x
的焦点，
A
、
B
、
C
为该抛物线上
三点，若
FA
FB
< br>
FC
=
0
，则
F
为△
ABC
的重心，
2
2
2
10
，
2
word
文档
可自由复制编辑
∴
A
、<
/p>
B
、
C
三点的横
坐标的和为
F
点横坐标的
3
倍，即等于
3
，
∴
|FA|+|FB|+|FC|=
(
x
A
1)
(
x
B
1)
(
x
C
1)
6
，选
B
。
二、填空题
题号
答案
13
14
15
16
42
0.8
2
4
2
5
2
1
8
2
4
3
13
．
(1+2
x
)(
x
－
)
的展开式中常数项为
1
C
8
2
C
8
<
/p>
(
1)
3
=
－
42
。
x
14
．在某项测
量中，测量结果
服从正态分布
N
（
1
，
）
（
>0
）
，正态分布图象的对称轴为
x=1
，
在（
0
，
1
）
内取值的概率为
0.4
，可知，随机变量
ξ
< br>在
(1
，
2)
< br>内取值的概率于
在
(0
，
1)
内取值的概率相同，也为
0.4
，
这样随机变量
ξ<
/p>
在
(0
，
2)<
/p>
内取值的概率为
0.8
。
15
．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为
2cm
的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱
底面边长为
1cm
，设正四棱柱的高为
h
，∴
2R=2=
1
2
1
2
h
2
，解得
h=
2
，那么该棱柱的表面积为
2+4
2
cm
. <
/p>
2
2
16
．已知
数列的通项
a
n
=
－
5
n
+2
，其前
n
项和为
S
< br>n
三、解答题
5
n
(
5
< br>n
1)
S
，则
lim
n
=
< br>－
。
n
n
2
2
2
17
．解：
（
1
）
△
ABC
的内角和
A
B
C
，由
A
应用正弦定理，知
2
，
B
0
，
C
0
得
0
<
/p>
B
．
AC
BC
2
3
sin
B
sin
x
4sin
x
，
sin
A
sin
AB<
/p>
BC
2
sin
C
4sin
<
/p>
x
．
sin
A
因为
y
AB
BC
AC
，
所以
y
<
/p>
4sin
x
4
sin
2
2
<
/p>
x
2
3
0
x
，
3
<
/p>
1
cos
x
<
/p>
sin
x
（<
/p>
2
）因为
y
<
/p>
4
sin
x<
/p>
2
3
2
4
3
sin
x
5
2
3
< br>x
，
所以，当<
/p>
x
，即
x
时，
y
取得最大值<
/p>
6
3
．
18
．解：
（
1
）记
A
0
表示事件“取出的
2
件产品中无二等品”
，
word
文档
可自由复制编辑
．
A
1
表示事件“取出的
2
件产品中恰有
1
件二等品”
则
A
0
，
A
1
互斥，且
A
A
0
A
1
，故
P
(
A
)
P
< br>(
A
0
A
1
)
P
(
A
0
)
P
(
A
1
)
< br>(1
p
)
C
2
p
(1
p
)
2
1
1
p
2
于是
0.96
1
p
2
．
解得
p<
/p>
1
0.2
，<
/p>
p
2
0.2
（舍去）
．
1
，
2
．
（
2
）
的可能取值为
0
，<
/p>
若该批产品共
100
件，由（
1
）知其二等品有
100
0.2
20
件，故
2
C
80
316
．
P
(
0)
2
C
100
495
1
C
1
160
80
C
20
．
P
(
1)
2
<
/p>
C
100
495
C
2
19<
/p>
．
P
(
2)
2
20
C
100
495
所以
的分布列为
P
0
1
2
316
495
160
495
19
495
S
19
．解法一：
（
1
）作
FG
∥
DC
交
SD
于点
G
，则
G
为
SD
的中点．
∥
连结
AG
，
FG
1
∥
< br>AB
，
CD
，又
CD
2
F
G
H
D
∥
AE
，
AEFG
为平行四边形．
故
FG
EF
∥
AG
，又
A
G
平面
SAD
，
EF
平面
SAD
．
所以
EF
∥
平面
SAD
．
△
ADG
为等
（
2
）不妨设
DC
2
，则
SD
4
，
D
G
2
，
腰直
角三角形．
取
AG
< br>中点
H
，连结
DH
，则
DH
⊥
AG
．
又
AB
⊥
平面
SAD
，所以
AB
⊥
DH
，而
AB
word
文档
可自由复制编辑
M
C
AG
A
，
A
E
B
所以
D
H
⊥
面
AEF
．
取
EF
中
点
M
，连结
MH
，则
HM
⊥
EF
．
连结
DM
，则
DM
⊥
EF
< br>．
故
DMH
为二面角
A
EF
D
的平面角
tan
DMH
DH
2
2
．
HM
1
z
S
所以二面角
A
EF
D
的大小为
< br>arctan
2
．
解法二：
（
1
）如图，建
立空间直角坐标系
D
xyz
．
0
，，
0)
S
(0
，
0
，
b
)
，则
B
(
a
< br>，
a
，，
0)
< br>C
(0
，
a
，，
0)
设
A
(
a
，
F
a
a
b
E
a
，
，
0
，
F
0
，
，
< br>
，
2
2
2
b
EF
a
，
0
，
．
2
b
b
取
SD
的中点
G
0
，
0
，
，则
AG
a
，
0
，
．
2
2
A
x
G
M
D
E
B
A
C
y
EF
AG
，
EF
∥
AG
，
AG
平面
SAD
，
EF
平面
SAD
，
所以
< br>EF
∥
平面
SAD
．
，
0
< br>，
0)
，则
B
< br>(11
（
2
）不妨设
A
(1
，
，，
0)
C
(0
，
1
，，
0)
S
(0
，
0
，，
2)
E
1
，，
0
，
F
0
，，
< br>1
．
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
< br>
EF
中点
M
< br>
，，
，
MD
，
，
，
EF
(<
/p>
1
，
0
，
1)
，
MD
EF
0
，
MD
⊥
EF
2
2
2
2
2
< br>2
又
EA
0
，
，
0
，<
/p>
EA
EF
0<
/p>
，
EA
⊥
EF<
/p>
，
所以向量
M
D
和
EA
的夹角等于二面角
A
EF
D
的平面角．
1
2
cos
MD
，
EA
MD
EA
MD
EA
3
．
3
所以二面角
A
EF
D
的大小为<
/p>
arccos
3
．
3
20
．解：
（
1
）依题设，圆
O
的半径
r
等于原点
O
到直线
x
3
y
4
的距离，
word
文档
可自由复制编辑
即
r
4
2
．
1
3
得圆
O
的方程为
x
2
y
2
4
．
（
2
）不妨设
A
(
x
1
，，
0)
B
(
x
2
，，
0)
x
1
x
2
．由
x
4
< br>即得
2
A
(
2
，，
0)
B
(2
，
0)
．
设
P
(
x
，<
/p>
y
)
，由
PA<
/p>
，
PO
，
PB<
/p>
成等比数列，得
(
x
2)
2
y
2
(
x
2)
2<
/p>
y
2
x
2
y
2
，
即
x
2
y
2
2
．
PA
PB
(
2
x
< br>，
y
)
(2
x
，
y
)
x
2
4
y
2
2(
y
1).
2
2
2
x
y
4
，
由于点
P
在圆
O
内，故
2
2
< br>
x
y
2.
由此得
y
1
．
2
0)
．
<
/p>
所以
PA
PB
的
取值范围为
[
2
，
21
．解：
（
< br>1
）由
a
n
3
a
n
1<
/p>
，
n
2
，
3
，
4
，
…
，
2
1
整理得
1
a
n
(1
a
n
1
)
．
2
又
1
a
1
0
，所以
{
1
a
n
}
是首项为
1
a
1
，公比为
1
的等比数列，得
2
1
a
n
1
(1
a
1
)
2
n
1
（
2
）方法一：
由（
1
）可知
0
< br>
a
n
那么，
b
n
1
b
n
2
2
3
，故<
/p>
b
n
0
．
2
word
文档
可自由复制编辑
< br>2
2
a
n
1
(3
2
a
n
<
/p>
1
)
a
n
(3
2
a
n
)
3
a
n
2
3
a
n
3
< br>2
a
n
(3
2
a
n
)
2
2
9
a
n
(
< br>a
n
1)
2
.
4
2
2
2
又由（
1
）知
a
n<
/p>
0
且
a
n
1
，故
b
n
1
b
n
< br>0
，
因此
b
n<
/p>
b
n
1
，
n
为正整数．<
/p>
3
，
a
n
1
，
2
方法二：
由（
1
）可知
0
a
n
因为
a
n
1
3
< br>a
n
，
2
所以
b<
/p>
n
1
a
n
1
3
2
a
n
1
(3
a
n
)
a
n
．
2
3
3
a
n
由
a
n
1
可得
a
n
(3
2
a
< br>n
)
，
2
3
a
n
2
即
a
n
(3
2
a
n
)
a
n
2
两边开平方得
< br>
2
a
n
3
2
a
n
3
a
n
2
a
n
．
即
b
n
b
< br>n
1
，
n
为正整数．
2
< br>22
．解：
（
1
）求函数
f
(
x
)
的导数；
f
(
x
)
3
x
1
．
曲线
y
f<
/p>
(
x
)
在点
M
(
t
，
f
(
t
))
处的切线方程为：
y
f
(
t
)
f
(
t
)(
x
t
)
，
2
3
即
y
(3
t
1)
x
2
t
．
（
2
）如果有一条切线过点
(
a
，
b
)<
/p>
，则存在
t
，使
b
(3<
/p>
t
2
1)
a
2
t
3
．
于是，若过点<
/p>
(
a
，
b
)
可作曲线
y
f
(
x
)
的三条切线，则方程
2
t
3
3
at
2
a<
/p>
b
0
word
文档
可自由复制编辑
有三个相异的实数根．
记
g
(
t
)
2
t
3
3
at
2
a
b
，
则
g
(
t
)
6
t
2
6
at
6
t
(
t
a
)
．
当
t
变化时，
g
(
t
)
，
g
(
t
)
变化情况如下表：
t
g
(
t
)
(
，<
/p>
0)
0
0
(0
，
a
)<
/p>
a
0
(
a
，
)
g
(
t
)
极大值
a
b
极小值
b
f
(
a
)
由
g
(
t
< br>)
的单调性，当极大值
a
b
0
或极小值<
/p>
b
f
(
a
)
0
时，方程
g
(
t
)
0
最多有一个实数
根；
当
a
b
0
时，解
方程
g
(
t
)
0
得
t
0
，
t
3
a
，即方程
g
(
t
)
0
只有两个相异的实数根；
2
当
b
f
(
a
)<
/p>
0
时，解方程
g
(
t
)
<
/p>
0
得
t
，
t
a
，即方程
g
(
t
)
0
只有两个相异的实数根．
综上，
< br>如果过
(
a
，
< br>b
)
可作曲线
y
f
(
x
)
三条切线，即
g
(
t
)
0
< br>有三个相异的实数根，
则
即<
/p>
a
b
f
(
a
)
．
a
2
a
b
0
，
b
f
(
< br>a
)
0.
2008
年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷
2
数学）
word
文档
可自由复制编辑
< br>理科数学
(
必修
+
选修Ⅱ
)
第Ⅰ卷
一、选择题
1
．设集合
M
{
m
Z
|
3
m
<
/p>
2}
，
N
{
n
Z
|
1
≤
n
≤
3
}
< br>，
则
M
A
．
01
，
B
．<
/p>
101
，<
/p>
，
C
．
01
，
，
2
D
．
101
，
，
，
2
N
（
）
2
．设<
/p>
a
，
b
R
且
b
0
，若复数
(
a
bi
)
3
是实数，则（
）
A
．
b
3
a
3
．函数
f
(
x
)
2
2
B
．
a
3
b
2
2
C
．
b
9
a
2
2<
/p>
D
．
a
9
b
2
2
1
x
的图像关于（
）
x
A
．
y
轴对称
B
．
直线<
/p>
y
x
对称
C
．
坐标原点对称
D
．
直线
y
x
对称
4
．若
x
(
e
1
，
1)
，
a
ln
x
，
b
2ln
x
，
c
ln
3
x
，则（
）
A
．
a
<
b
<
c
B
．
c
<
a
<
b
C
．
b
<
a
<
c
D
．
b
<
c
<
a
y
≥
x
，
5
< br>．设变量
x
，
y
满足约束条件：
x
2
y
≤
2
，
，则
z
x
3
y
< br>的最小值（
）
x
≥
2
．
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
6
．从
20
名男同学，
10
名女同学中任选
3
名参加体能测试，则选到的
< br>3
名同学中既有男同学又有女同学的概
率为（
）
A
．
9
29
B
．<
/p>
10
29<
/p>
C
．
19
29
D
．<
/p>
20
29
7<
/p>
．
(1
x
)
6
(1
A
．
4
x
)
4
的展开式中
x
的系数是（
）
C
．
3
D
．
4
B
．
3
8
．若动直线
x
a
与函数
f
(
x
)
sin
x
和
g
(
x
)
cos
x
的图像分别交于
M
，
N
两点，则
MN
的最大值为
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
2 <
/p>
x
2
y
2
9
．设
a
1
，则双曲线
2
1
的离心率
e<
/p>
的取值范围是（
）
2
a
(
a
1)
A
．
(
2
，
2)
B
．
< br>(
2
，
5)
5)
C
．
(2
，
D
．
(2
，
5)
10
．
已知正四棱锥
S
ABCD
的侧棱长与底面边长都相等，
E
是
SB
的中点，
则
AE
，
SD
所成的角的余弦值
为（
）
word
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A
．
1
3
B
．
2
3
C
．
3
3
D
．
2
3
11
．
< br>等腰三角形两腰所在直线的方程分别为
x
y
2
< br>0
与
x
7
y
4
0
，
原点在等腰三角形的底边上，
则
底边所在直线的斜率为（
）
A
．
3
B
．
2
<
/p>
C
．
1
3
D
．
1
2
12
．已知球的半径为
2<
/p>
，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为
2
，则两圆的圆心
距等于（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
2
第Ⅱ卷
二
、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．把答案填在题中横线上
．
，，
2)
b
(2
，
3
)
，若向量
a
b
与向量
c
(
4
，
7)
共线，则
．
13
．设向量
a
(1
1)
处的切线与直线
x
2
y
< br>
1
0
垂直，则
a
．
14
．设
曲线
y
e
在
点
(0
，
15
．
已知
F
是抛物线
C
：
y
2
4
x
的焦点，
过
F
且斜率为
1
的直线交
C
于
A
< br>，
B
两点．
设
< br>FA
FB
，
< br>则
FA
与
FB
< br>的比值等于
．
16<
/p>
．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写
出空间中的一
个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①
；
充要条件②
．
（写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题：本大题共
6
小题，共
70
分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17
．
（本小题满分
10
分）
在
△<
/p>
ABC
中，
cos
B
（Ⅰ）求
sin
A
的值；
（Ⅱ）设
△
ABC
的面积
S
△
ABC
ax
5
4
，
cos
C
．
5
13
33
，求
BC
的长．<
/p>
2
18
．
（本小题满分
12
分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费
a
元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以
获得
10
000
元的赔偿金．假定在一年度内有<
/p>
10
000
人购买了这种保险，且各投
保人是否出险相互独立．已
知保险公司在一年度内至少支付赔偿金
10 000
元的概率为
1
0.999
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率
< br>p
；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为
50
000
元，为保证盈利的期望不小于
0
，求每位投
保人应交纳的最低保费（单位：元）
．
word
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10
4
．
19
．
（本
小题满分
12
分）
< br>如图，正四棱柱
ABCD
A<
/p>
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
2
AB
4
，点
E
在
CC
1
上且
C
1
E
3
EC
．
< br>
（Ⅰ）证明：
AC
平面
BED
；
1
（Ⅱ）求二面角
A
1
DE
B
的大小．
20
．
（本小题满分
12
分）
A
1
D
1
C
1
B
1
E
D
A
B
C
设数列
a
n
的
前
n
项和为
S
n
．已知
a
1
a
，
a
n<
/p>
1
S
n
3
n
，
n
N
．
*
（Ⅰ）设
b
n
S
< br>n
3
n
，求数列
b
n
的通项公式；
（Ⅱ）若
a
n
1
≥
a
n
，
n
N
，求
< br>a
的取值范围．
*
21
．
（本小题满分
12
分）
0)
B
(01)
，
是它的两个顶点，
直线
y
kx
(
k
0
)
与
AB
相交于点
D
，与椭圆相
设椭圆中心在坐标原点，
A
(2
，，
交于
E
、
F
两点．
（Ⅰ）若
ED
<
/p>
6
DF
，求
k<
/p>
的值；
（Ⅱ）求四边形
AEBF
面积的最大值．
2
2
．
（本小题满分
12
分）
设函数
f
(
x
)
< br>sin
x
．
< br>2
cos
x
< br>（Ⅰ）求
f
(
x
)
的单调区间；
（Ⅱ）如果
对任何
x
≥
0
，都有
f
(
x
)
≤
ax
，求
a
的取值范围．
2008
年参考答案和评分参考
word
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一、选择题
1
．
B
2
．
A
3
．
C
4
．
C
5
．
D
6
．
D
7
．
B
8
．
B
9
．
B
10
．
C
11
．
A
12
．
C
部分题解析：
2.
< br>设
a
，
b
R
且
b
0
，若复数
(
a
bi
)
3
是实数，则（
）
A
．
b
3
a
2
2
B
．
a
3
b
< br>2
2
C
．
b
9
a
2
2
D
．
a
9
b
，
2
2
解：
(
a
bi
)
3
< br>a
3
3
a
2
bi
3
a
(
bi
)
2
(
bi<
/p>
)
3
（←考查和的立方公式，或二项式定理）
(
a
3
3
a
b
2
)
(3
a
2
b
b
3
)
i
（←考查虚数单位
i
的运算性质）
R
（←题设条件）
∵
a
，
b
R
且
b
0
∴
3
< br>a
b
b
0
（←考查复数与实数的概念）
∴
b
3
a
.
故选
A.
2
2
2
3
6.
从
20
名男同学，
10
名女同学中任选
< br>3
名参加体能测试，则选到的
3
名同学中既有男同学又有女同
学的概率为（
）
A
．
9
29
B
．<
/p>
10
29<
/p>
C
．
19
29
D
．<
/p>
20
29
思路
1
：设事件
A
：
“选到的
3
名同学中既有男同学又有
女同学”
，其概率为：
2
1
1
2
C
20
C
10
C
20
C
10
（←考查组合应用及概率计算公式）
P
(
A
)
<
/p>
3
C
30
2
0
1
9
1
0
9
1
0
< br>2
0
2
1
（←考查组合数公式）
2
1
3
0
2
9
2
8
< br>3
2
1
1
0
1
9
1
0
1
0
1
0
9
（←考查运算技能）
1
0
2
< br>9
1
4
20
29
故选
D.
思路
2
：设事件
A
< br>：
“选到的
3
名同学中既有男同
学又有女同学”
，
事件
A
的对立事件为
A
：
“选到的
3
名同学中要么全男同学要么全女同
学”
其概率为：
< br>P
(
A
)
1
P
(
A
)
（←考查对立事件概率计算公式）
3
3
C
20<
/p>
C
10
1
（←考查组合应用及概率计算公式）
3
C
30<
/p>
word
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< br>20
19
< br>8
10
9
8
3
2
1
（←
考查组合数公式）
1
3
2
< br>
1
30
29
28
3
2
1
2
0
1
9<
/p>
1
8
1
0
9
8
（←考查运算技能）
3
0
2
< br>9
2
8
20
29
故选
D.
12.
已知球的半径为
2
，相互垂直
的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为
2
，则两
圆的圆
心距等于（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
2
分析
：如果把公共弦长为
2
的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情
况，问题解决起来就比较麻烦，许
多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得
道答案；但是，如果把公共弦长为
2
的相互垂直的两
个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离< p>
3
，问题解决起
来就很容易了
.
二、填空题
13
．
2
14
．
2
15
．<
/p>
3
2
2
16
．两组相对侧面分别平行；一组相对侧
面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上
面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
三、解答题
17
．解：
5
12
，得
sin
B
，
13
13
4
3
由
cos
C
，得
sin
C
．
5
5
（
Ⅰ）由
cos
B
所以
sin
A
< br>
sin(
B
C
)
sin
B
cos
C
cos
B
sin
C
（Ⅱ）由
S
△
ABC
33
．
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
5
分
65
33
1
3
3
得
AB
AC
sin
A
，
2<
/p>
2
2
33
由（Ⅰ
）知
sin
A
，
65
故
AB
AC
65
，
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·
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·
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·<
/p>
·
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·
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·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
8
分
AB<
/p>
sin
B
20
AB
，
<
/p>
又
AC
sin
C
13
20
1
3
AB
2
6
5
，
AB
．
故
2
13<
/p>
AB
sin
A
11
．
<
/p>
·
所以
BC
<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
·
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·
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·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
10
分
sin
C
2
18
．解：
word
文档
可自由复制编辑
< br>各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是
p
，记投
保的
10 000
人中出险的人数为
，
则
~
B
(10
4
，
p
)
．
（Ⅰ）记
A
表示事件
：保险公司为该险种至少支付
10 000
元赔偿金，则
A
发生当且仅当
0
，
2
分
P
(
A
)
1
P
(
A
)
< br>1
P
(
0)
1
(1
p
)
10
，<
/p>
又
P
(
A
)
1
0.999
10
，
故
p
0.001
．
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
·
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·
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·
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·
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·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·
·
·
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·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
5
分
（Ⅱ）该险种总收入为
10
000
a
元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出
10<
/p>
000
50
000
，
盈利
10
000
a<
/p>
(10
000
50
000)
，
4
4
0
盈利的期望为
E
1
0
0
0
a
4
3
1
0
0
E
< br>
0
0
3
5
，
0
·
0
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9
分
由
~
B
(10
，
10
)
知，
E
10
000
10
，
E
10
4
a
10
4
E
5
10
4
10
< br>4
a
10
4
10
4
10
3
5
10
4
．
E
≥
0
10
4
a
10
4
10
5
10
4
≥
0
< br>a
10
5
≥
0
a
≥
15
（
元）
．
故每位投保人应交纳的最低保
费为
15
元．
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
12
分
19
．解法一：
D
1
C
1
依题设知
AB
2
，
CE
1
．
A
1
（Ⅰ）连结
AC
交
BD
于点
F
，则
< br>BD
AC
．
< br>
B
1
由三垂线定理知，
BD
AC
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
3
分
1
．
·
在平
面
ACA
内，连结
EF
交
AC
1
1
< br>于点
G
，
D
word
文档
可自由复制编辑
H
E
G
F
B
C
A
由于
AA
1
A
C
2
2<
/p>
，
FC
CE<
/p>
故
Rt
△
A
CFE
，
1
AC
∽
Rt
△
FCE
，
AAC
1
CFE
与
FCA
1
互余．
于
是
AC
EF
．
1
BED
内两条相交直线
BD
，
EF
都垂直，
AC
1
与平面
所以
AC
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
·
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6
分
平面
BED
．
<
/p>
·
1
（Ⅱ）作
G
H
DE
，垂足为
H
，连结
A
1
H
．由三垂线定理知
A
1
H
DE
，
故
A
·
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·<
/p>
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·<
/p>
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8
分
1
HG
是二面角
A
1
DE
B
的平面角．
·
EF
CF
2
CE
2
3
< br>，
CG
3
CE
CF
2
2
2
，
EG
CE
CG
．
3
EF
3
EG
1
1
EF
<
/p>
FD
2
，
GH
．
EF
3
3
DE
15
又
AC
1
AA
1
2
AC
2
2
6
，
AG
AC
1
1
CG
< br>
5
6
．
3
tan
A
1
HG
A
1
G
5<
/p>
5
．
HG
z
D
1
A
1
所以二面角
A
1
DE
B
的大小为
arctan
5
5
．
·
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·<
/p>
·
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·
12
分
解法二：
以
D
为坐标原点，射线
DA
为
x
轴的正半轴，
建立如
图所示直角坐标系
D
xyz
．
依题设，
B
(2
，
2
，，
0)
C
(0
，
2
，，
0)
E
(0
，
21)
，
，
A
1
(2
，
0
，
4)
．
D
x
A
B
C
1
B
1
E
C
y
DE
(0
，
21)
，
，
DB
(2
，
2
，
0)
，
·
·
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< br>·
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< br>·
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·
·
·
·
·
·
·
< br>·
3
分
AC<
/p>
(
2
，
2
，
4)
，
DA
1
(2
，
0
，
4)
．
·
1
（Ⅰ）因为
AC
DB
0
，
AC
DE
0
，
1
1
word
文档
可自由复制编辑
< br>故
AC
BD
< br>，
AC
DE
< br>．
1
1
又
DB
DE
D
，
所以
AC
·
·
·
·
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< br>·
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·
6
分
平面
DBE
．
·
1
（Ⅱ）设向量
n
(
x
，
y
，
z
)
是平
面
DA
1
E
的
法向量，则
n
DE
，
n
DA
1
．
故
2
y
z<
/p>
0
，
2
x
4
z
0
．
1
，
2)
< br>．
·
令
y
1
，则
z
2
，
x
4
，
n
(4
，
·
·
·
·
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·<
/p>
·
·
·
·
·
9
分
n
，
AC
等于二面角
A
1
DE
B
的平面角，
1
cos
n
，
AC
1
n
AC
1
n
AC
1
14
．
42
所以二面角
A
1
DE
B
的大小为
arccos
20
．解：
14
．
·
·
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·
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< br>·
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·
< br>·
·
·
·
·
12
分
42
（Ⅰ）依题意，
S
n
1
S
n
a
n
1
S
n
3
n
，即
S
n
1
2
S
n
3
n
，
由此得
S
n
1
3
< br>n
1
2(
S
n
3
n
)
．
·
·
·
·
·
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·
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·
·
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·
·
·
·
< br>·
·
·
·
4
分
因此，所求通项公式为
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
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·<
/p>
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·
·
·
·
·
·
·
6
分
b
n
S
n
3
n
(
a
3)2
n
1
，
< br>n
N
*
．①
·
（Ⅱ）由①知
S
n
3
< br>n
(
a
3)2
n
1
，
n
N
，
于是，当
n
≥
2
时，
*
a
n
S
n
S
n
1
3
n
< br>(
a
3)
2
n
1
3
n
<
/p>
1
(
a
3)
2
n
2
2
3
< br>n
1
(
a
3)2
n
2
，
a
n
1
a
n
4
3
n
1
(
< br>a
3)2
n
< br>
2
2
n
2
3
n
2
12
a
3
，
2
word
文档
可自由复制编辑
< br>当
n
≥
2
时，
3
a
n
1<
/p>
≥
a
n
12
2
a
≥
9
．
< br>
又
a
2
a
1
3
a
1
．
n
2
a
3
≥
0
综上，所求的
a
的取值范围是
9
，
·
·
·
·
·
·
·
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·
< br>·
·
·
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< br>·
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·
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·
·
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·
·
12
分
．
·
x
2
y
2
1
，
21
．
（Ⅰ）解：依题设得椭圆
的方程为
4
直线
AB
< br>，
EF
的方程分别为
x
2
y
2
，
y
< br>kx
(
k
0)
．
·
·
·
·
·
·
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·
·
·
·<
/p>
·
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·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
2
分
如图，
设
D
(
x
0<
/p>
，
kx
0
)
，
E
(
x
1
，
kx
1
)
，
F
(
x
2
，
kx
< br>2
)
，其中
x
< br>1
x
2
，
且
x
1
，
x
2
满足方
程
(1
4
k
)
x
4
，
故
x
2
x
1
2
2
< br>y
B
O
E
F
D
A
x
2
1
<
/p>
4
k
2
．①
由
ED
6
DF
知
x
0
x
1
6(
x
2
x
0
)
，得
x
0
由
D
在
AB
上知
x
0
2
kx
0
2<
/p>
，得
x
0
所以
1
5
10
；
(6
x
2
x
1
)
x
2
2
7
7
7
1
4
k
2
．
1<
/p>
2
k
2
10
，
1
2
k
7
1
4
< br>k
2
2
化简得
< br>24
k
25
< br>k
6
0
，
2
3
或
k
．
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
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·
< br>·
·
·
·
·
·
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< br>·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
6
分
3
8
（
Ⅱ
）
解
法
一
：
根
据
点
到
< br>直
线
的
距
离
公
式
和
①
式
知
，
点
E
，
F
到
AB
的
距
离
分
别
为
解得
k
h
1
< br>
x
1
2
kx
1
2
5
x
2
<
/p>
2
kx
2
2
5
2(1
2
k
1
4
k
2
)
5(1
4
k
)
2
< br>，
h
2
2(1
2
k
1
4
k
2
)
5(1
4
k
)
2
．
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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< br>·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9
分
又
AB
2
2
1
5
，所以四边形
AEBF
的面积为
< br>
word
文档
可自由复制编辑
< br>S
1
AB
(
h
1
h
2
)
2<
/p>
1
2
5
4(1
2
k
)
5(1
4
k
)
2
2(1
2
k
)
1
4
k
2
1
4
k
2
4
< br>k
2
2
1
4
k
≤
2
2
，
当
2
k
1
，即当
k
1
时，上式取等号．所以
S
的最大值为
2
2
．
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
12
分
2
解法二：由题设，
BO
1
，
AO
2<
/p>
．
设
y
1
kx
1
，
y
2
kx
2
，由①得
x
2
0
，
y
2
< br>y
1
0
，
故四边形
AEBF
的面积为
S
S
△
BEF
S
△
AEF
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
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·<
/p>
·
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·<
/p>
·
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·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
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·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
9
分
x
2
2
y
2
·
(
x
2
< br>
2
y
2
)
2
2
2
x
2
4
y
2
4
x
2
y
2
2
2
< br>≤
2(
x
2
4
y
2
)
2
2<
/p>
，
当
x
2
2
y
2
时，上式取等号．所以
S
的最大值为
2
2
．
< br>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
< br>·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
12
分
22
．解：
（Ⅰ）
f
(
x
)
(2
cos
x
)cos
x
sin
x
(
sin
x
)
2cos
x
< br>1
．
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2
分
(2<
/p>
cos
x
)<
/p>
2
(2
cos
x
)
2
2
π
2
π
1
x
2
k
π
（
< br>k
Z
）时，
< br>cos
x
< br>，即
f
(
x
)
0
；
3
3
2<
/p>
2
π
4
π
1
x
2
k
π
当
2
k
π
（
k
Z
）时，
cos
x
，即
f
(
x
)
0
．
3
3
2
当
2
k
π
因此
f
(
x
)
在每一个区间
2
k
π
word
文档
可自由复制编辑
2
π
2
π
，
2
k
π
（
k
Z
）是增函数，
3
3
2
π
4
π
f
(
x
)
在每一个区间
2
k
π
，
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
6
分
2
k
π
（
k
Z
）是减函数．
·
3
3
（Ⅱ）令
g<
/p>
(
x
)
ax
f
(
x
)
，则
g
(
x
)
a
2cos
x
1
< br>
2
(2
cos
x
)
a
2
3
2
cos
x
(2
co
s
x
)
2
2<
/p>
1
1
1
3
a
．
3
2
cos
x
3
故当
a
≥
1
时，
g
(
x
)<
/p>
≥
0
．
3
又
g
(0)
0
，所以当
x
≥
0
时，
g
(
x
)
≥
g
(0)
0
，即
f
(
x
)
≤
ax
．
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
9
分
当
0
a
1
时，令
h
(
x
)
sin
x
3
ax
，则
h
(
x
)
cos
x
3
a
< br>．
3
故当
x
0
，
arccos3
a
时，
h
(
< br>x
)
0
．
因此
h
(
x
)
在
<
/p>
0
，
arccos3
a
上单调增加．
arccos3
a
)
时，<
/p>
h
(
x
)
h
(0)
0
，
故当
x
(0
，
即
sin
x
3
ax
．
arccos3
a
)
时，<
/p>
f
(
x
)
于是，当
x
(0
，
当
a
≤
0
时，有
f
sin
x
sin<
/p>
x
ax
．
2
cos
x
3
π
π
1
．
< br>0
≥
a
2
2
2
1
3
因此，
a
的取值范围是
，
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·<
/p>
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
12
分
．
2009
年全国高考理科数学试题及
答案（全国卷Ⅱ）
一、选择题：
10i
1.
2-i
A.
-2+4i
B.
-2-4i
C.
2+4i
D
.
2-4i
word
文档
可自由复制编辑
< br>解：原式
10i(2+i)
2
4
i
.
故选
A. <
/p>
(2-i)(2+i)
x
1
2.
设集合
A
x
|
x
< br>3
,
B
x
|
0
，则
A<
/p>
B
=
x
4
A.
B.
3,4
C.
2,
1
D.
< br>
4.
x
1
解：
B
x
|
0
x
|
(
x
1)(
x
4)
0
x
|1
x
4
.
A
B
(3,4)
.
故选
B.
x
4
12
，
则
c
os
A
5
12
5
5
12
A.
B.
C.
D.
1
3
13
13
13
12
解：已知
< br>ABC
中，
cot
A
，
A
(
,
)
.
5
2
3.
已
知
ABC
中，
cot
A
cos
A
1
1
tan
2
A
1
1
(
5
2
)
12
12
故选
D.
13
4.
曲线
y
x
在点
1,1
处的切线方程为
2
x
1
A.
x
y
2
0
B.
x
y
2
0
C.
x
4
y
5
0
D.
x
4
y
5
0
解：
y
|
x
1
2
x
1
2
x
1
|
x<
/p>
1
[
]|
1
,
2
2
x
1
(2
x
1)
(2
x
1)
故切线方程为
y
1
(
x
1)
,
即
x
y
2
0
故选
B.
E
为
AA
1
中点，则异面直线
BE
与
CD
1
所成的
5.
已知正四棱柱
ABCD
A
1
BC
，
1
1
D
1
中，
AA
1
2
AB
角的余弦值为
A.
1
3
10
3
10
B.
C.
D.
5
5
10<
/p>
10
解：令
AB
1
则
AA
1
2
,
连
A
1
B
C
1
D
∥
A
1
B
< br>异面直线
BE
与
CD
1
所成的角即
A
1
B
3
10
。故选
C
10
与
BE
所成的角。在
A
1
BE
中由余弦定理易得
cos
A
1
BE
6.
已知向量
a
2,1
,
a
b
10,|
a<
/p>
b
|
5
2
，则
|
b
|
A.
5
B.
10
C.
5
D.
25
word
文档
可自由复制编辑
< br>解：
50
|
< br>a
b
|
2
|
a
|
2
2
a
b
|
b
|
2
5
20
|
b
|
2
|
b
|
5
。故选
C
7.
< br>设
a
log
< br>3
,
b
log
2
3,
c
log
3
2
，则
A.
a
b
c
B.
a
c
b
C.
b
a
c
D.
b
c
a
解：<
/p>
log
3
2
<
/p>
log
2
2
<
/p>
log
2
3
<
/p>
b
c
log
2
3
log
2
2
log
3
3
log
3
a
b
a
b
c
.
故选
A.
8.
若将函数
y
tan
x
0
<
/p>
的图像向右平移
个单位长度后，与函数
y
tan
x
6
4
6
的图像重合，则
的最小值为
1
1
1
1
A
．
B
.
C.
D
.
6<
/p>
4
3
2
向右平移
6
个单位
解：
y
tan
x
y
tan
[
(
x
<
/p>
)
]
ta
n
x
4
6
4
< br>6
4
6
k
又
0
min
1
6
k
< br>
(
k
Z
)
，
6
2
1
.
故选
D
2
9.
已
知直线
y
k
x
2
k
0
与抛物线
C
:
y<
/p>
2
8
x
相
A
、
B
两点，
F
为
C
的焦点，若
|
FA
|
2
|
FB
|
，则
k
交
于
1
2
2
2
< br>2
A.
B.
C
.
D.
3
3
3
3
解
：
设
抛
物
线
C
:
y
2
< br>8
x
的
准
线
为
l
:
x
2
直
线
y
k
x
2
k
0
恒过定点
P
2,0
.
如图过
A
、
B
分
别作
AM
l
于
M
,
BN
< br>l
于
N
,
由
|
FA
|
2
|
FB
|
,
则
|
AM
|
2
|
BN
|
,
点
B
为
AP
的中点
.
连结
OB
,
则
|
OB
|
B
的横坐标为
1<
/p>
,
故点
B
的坐
标为
(1,2
2)
< br>k
1
|
AF
|
,
|
OB
|
|
BF
|
点
2
2
2
0
2
2
,
故选
D
1
(
2)<
/p>
3
10.
甲、乙两人从
4
门课程中各选修
2
门。则甲
、乙所选的课程中至少有
1
门不相同的选法共
< br>有
A.
6
种
B.
12
种
C.
30
种
D.
36
种
2
2
2
解：用间接法即可
.
C
4
C
4
C
4
30
种
.
故选
C
word
文档
可自由复制编辑
< br>x
2
y
2
11.
已知双曲线
C
：
2
2
1
a
0,
b
0
的右焦点为
F
,
< br>过
F
且斜率为
3
的直线交
C
于
A
、
B
a
b
< br>两点，若
AF
4
FB
,
则
C
的离心率为
6
7
5
9
m
A
．
B.
C.
D.
5
< br>5
8
5
x
2
y
2
解：设双曲线
C
：
2
2
1
的右准线为
l
,
过
A
、
B
a
b
分
别
直
线<
/p>
作
AM
l
于
M
,
BN
l
于
N
,
BD
AM
于
D
,
由
AB
的
斜
率
为
3
,
知
直
线
AB
的
倾
斜
角
为
A
|
,
B
|<
/p>
1
6
0
B
A
D
6
0
,
A
|
D
|
2
由
双
曲
线
的<
/p>
第
二
定
义
有
1
1
1
|
AM
|
|
BN
|
|
AD
|
< br>(|
AF
|
< br>|
FB
|)
< br>|
AB
|
(|
AF
|
|
FB
|)
.
< br>e
2
2
1
5
6
又
AF
4
FB
3
|
FB
|<
/p>
|
FB
|
e
故选
A
e
2
5
12.
纸制的正方体的六个面根据其
方位分别标记为上、
下、
东、
现有沿该
正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得
平面图形，则标“
”的面的方位是
A.
南
B.
北
C.
西
D.
下
解：展、折问题。易判断选
B
第
II
卷（非选择题，共
90
分）
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。把答案填在答题卡上。
< br>南、
西、
北。
到
右
侧
的
解：
x
13.
x
y
y
x
的展开式中
x
3
y
3
的系数为
6
。
y
y
x
4
4
2
x
2
y
2
< br>(
x
y
)
4
，只需求
(
x
y
)
4
展开式中的含
xy
项的系数：
C
4
6
14.
设等差数列
a
n
的前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
，若
a
5
5
a
3
则
S
9
9
.
S
5
解：
a
n
为等
差数列，
S
9
9
a
5
9
S
5
5
a
3
15.
设
OA
是球
O
的半径，
M
是
OA
的中点，过
M
且与
OA
成
45
°角的平面截球
O
的表面得到圆
7
C
。若圆
C
的
面积等于
，则球
O
的表面积等于
8
.
4
word
文档
可自由复制编辑
< br>解：设球半径为
R
，圆
C
的半径为
r
，
由
4
r
2
因为
OC<
/p>
8
.
7
7
,
得
r
2
.
4
4
< br>2
R
2
2
2
1
7
R
。由
R
2<
/p>
(
R
)
r
2
R
2
得
R
2
2
.
故球
O
的表面积等于
2
2
4
4
8
4
16.
已知
AC
、
BD
为圆
O
:
x
2
y
2
< br>4
的两条相互垂直的弦，垂足为
M
1,
2
,
则四边形
< br>ABCD
的面积的最大值为
。
解：设圆心
O
到
AC
、
BD
的距离分别为
d
1
、
d
2
,
则
d
1
2
+
d
2
2
<
/p>
OM
2
3
.
1
|
AB
|
|
CD
|
2
(4
d
1
2
)(4-
d
2
2
)
8
(
d
1
2
d
2
2
)
5
2<
/p>
三、解答题：本大题共
6
小题，共
70
分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
< br>
17
（本小题满分
10
分）
3
设
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边长分别为
a
、
b
、
c
，
cos
(
A
C
)<
/p>
cos
B
<
/p>
，
b
2
ac
，求
B
。
2
3
3
(
C
)
c
o
B
s
，
易
想
到
先
将
B<
/p>
(
A
C
)
代
入
c
o
s
A
(
C
)
c
o
B
s
得<
/p>
分
析
：
由
c
o
s
A
2
2
四边形
ABCD
的面积
S
cos(
A
<
/p>
C
)
cos(
A
C
)
3
3
然后利用两
角和与差的余弦公式展开得
sin
A
s
in
C
；
又
由
2
。
4
b
2
ac
，
利用正弦定理进行边角互化，
得
sin
2
B
sin
A
sin
C
，
进而得
sin
B<
/p>
2
3
.
故
B
或
。
3
3
2
大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当
B
cos(
A<
/p>
C
)
cos(
A
C
)
2
1
时，由
cos
B
cos(
A<
/p>
C
)
，进而得
3
2
3
2
1
，矛盾，应舍去。
2
2
也可利用若
b
2
ac
则
b
a
或
b
c
从而舍
去
B
。不过这种方法学生不易想到。
3
评析：本小题考生得分易，但得满
分难。
18
（本小题满分
12
分）
如图，
直三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中，
AB
AC
,
D
、
E
< br>分
别为
AA
1
< br>、
B
1
C
的中点，
DE
平面
BCC
1
（
I
）证明：
AB
AC
（
II
）
设二面角
A
BD
C
为
60
°，
求
B
1
C
与平面
BCD
所
大小。
（
I
）分析一：连结
BE
，
成
的
角
的
ABC
A
1
B
1
C
1
为直三棱柱，
B
1
BC
90
,
word
文档
可自由复制编辑
< br>E
为
B
1
C
的中点，
BE
< br>
EC
。又
DE
平面
BCC
1
，
BD
DC
（射影相等的两条斜线段相等）而
DA
平面
ABC
，
AB
AC
（相等的斜线段的射影相等）
。
分析二：取
BC
的中点
F
，证四边形
AFED
为平行四边形，进而证
AF
∥
DE
，
AF
BC
，得
AB
AC
也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
（
II
）分析一：求
B
1
C
与平面
BCD<
/p>
所成的线面角，只需求点
B
1
到面
BDC
的距离即可。
作
AG
BD
于
G
，连
GC
，则
GC
B
D
，
AGC
为二面角
A
BD
C
的平面角，
AGC
60
.
不妨设
AC
2
3
，则
AG
2,
GC
4
.
在
RT
ABD
中，由
AD
AB
BD
AG
，易得
AD<
/p>
6
.
设点
B
1
到面
BDC
的距离为
h
，
B
1
C
与平面
BCD
利用
S
< br>
B
BC
DE
S
BCD
h
，
可求得
h
2
3
，
。
1
所成的角为
又
可
求
得
1
3
1
3
BC
4<
/p>
3
sin
1
h
1
30
.
B
1
C
2
即
B
1
C
与平面
BCD
所成的角为
30
.
分析二：作
出
B
1
C
与平
面
BCD
所成的角再行求解。
BC
面
AFED
，所
以面
AFED
面
BDC
。由分析
如图可证得
一易知
：四
边形
AFED
为正方形，连
AE
、
DF
，并设交
点为
O
，则
EO
面
BDC
，
OC
为
EC
在面
BDC
内
的射影。
ECO
即为所求
。以下
略。
分析三：利用空间向量的方法求出面
BDC
的法向量
n
，则
B
1
C
与平面
BCD
所成的角即为
BC
1
与
法向量
n
的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前
，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山
的状况
。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
< br>19
（本小题满分
12
分）
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
1,
S
n
1
4
a
n
2
（
I
）设
b
n
a
n
1
2
a
n
，证明数列
{
b
n
}
是等比
数列
（
II
）求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
（
I
）由
a
1
1,
及
< br>S
n
1
4
a
n
2
，有
a
1<
/p>
a
2
4
a
1
2,
a
2
3
a
1
< br>2
5,
b
1
a
2
2
a
1<
/p>
3
word
文档
可自由复制编辑
< br>由
S
n
1
4
a
n
2
，
．
．
．①
则当<
/p>
n
2
时，有<
/p>
S
n
4
a
n
1
2
．
．
．
．
．②
< br>②－①得
a
n
1
4
a
n
4
a
n
1
,
<
/p>
a
n
1
2
a
n
2(
a
n
2
a
n
< br>
1
)
又
b
n
a
n
1
2
a
n
，
b
n
2
b
n
< br>1
{
b
n
}
是首项
b
1
3
，公比为２的等比数列．
（
II
）由（<
/p>
I
）可得
b
n<
/p>
a
n
1
2
a
n
3
2
n
1
，
数列
{
a<
/p>
n
1
a
n
3
2
n
1
2
n
4
a
n
1
3
}
是首项为
，公差为
的等比数列．
n
2
4
2
a
1
3
3
1
n
< br>2
(
n
1
)
n
n
，
<
/p>
a
(3
n
1)
2
n
n
2
2
4
4
4
评析：第（
I
）问思路明确，只需利用已知条件寻找
b<
/p>
n
与
b
n
1
的关系即可
．<
/p>
第（
II
）问
中由（
I
）易得
a
n
1
2
a
n
3<
/p>
2
n
1
，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：
a
n
1
pa
n
q<
/p>
n
(
p
,
q
为常数
)
，主要的
处理手段是两边除以
q
n
1
．
总体来说，
09
年高考理科数学全国
I
< br>、
Ⅱ这两套试题都将数列题前置
,
主要考查构造新数列
（全
国
I
还考查了利用错位相减法求前
n
项和的方法）
，
一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作
< br>为押轴题的命题模式。
具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、
基本方法基本技能
,
重视两
纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
20
（本小题满分
< br>12
分）
某车间甲组有
10
名工人，其中有
4
名女工人；乙组有
5
名工人，其中有
3
名女工人，现采用分
层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽
样）从甲、乙两组中共抽取
3
名工人进行技术考核。
（
I
）求从甲、乙两组
各抽取的人数；
（
II
）求从甲组抽取的工人中恰有
1
名女工人的概率；<
/p>
（
III
）记
表示抽取的
3
名工人中男工人数，求
的分布列及数学期望。
分析：
（
I
）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽
< br>样与性别无关。
（
II
）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
1
1
C
4
C
6
8
从甲组抽取的工人中恰有
1
名女工人的
概率
P
2
C
10
15
（
III
）
的可能取值为
0
，
1
，
2
，
3
1
1
1
1
2
2
1
C
3
C
4
C
6
C
3
C
4
C
4
C
< br>2
6
28
P
(
0)
2
1
，
P
(
1)
2
1
2
1
，
C
10
C
< br>5
75
C
10
< br>C
5
C
10
C
5
75
2
1
31
C
6
C
2
10
P
(
3)
<
/p>
2
1
，
P
(
2)
1
P
(
< br>
0)
P
(
1)
P
(
3)
75
C
10
C
5<
/p>
75
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分布列及期望略。
评析：本题较常规
，比
08
年的概率统计题要容易。在计算
P
(
2
)
时，采用分类的方法，用直
接法也可，但较繁琐，考生应增强
灵活变通的能力。
21
（本小题满分
12
分）
x
2
y
2
3
B
两点，
<
/p>
已知椭圆
C
:
2
2
1(<
/p>
a
b
0)
的离心率为
，
过
右焦点
F
的直线
l
与
C
相交于
A
、
a
b
3
当
l
的斜率为
1
时，坐标原点
O
到
l
的距离为
（
I
）求
a
，
b
的值；
2
2
（
II
）
C
上是否存在点
P
，使得当
l
绕
< br>F
转到某一位置时，有
OP
<
/p>
OA
OB
成立
？
若存在，求出所有的
P
的坐标与
l
的方程；若不存在，说明理由。
解
:(I
）设
F
(
c
,0)
，直线
l
:
x
y
c
0
，由坐标原点
O<
/p>
到
l
的距离为
c
3
|
0
0
c
|
2
，解得
c
1
.
又
e
,
< br>
a
3,
b
2
.
a
3
2
2
2
2
则
x
2
y
2
1
.
设
A
(
x
< br>1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
（
II
）由
(I
）知椭圆的方程为
< br>C
:
3
2
由题意知
l
的斜率为一定不为
0
，故不妨设
l
:
x
my<
/p>
1
代入椭圆
的方程中整理得
(2
m
2
3)
y
2
4
my
< br>4
0
，显然
< br>
0
。
由韦达定理有：
y
1
y
2
< br>
4
m
4
,
y
y
,
．
．
．
．
．
．
．
．①
1
2
2
2
2
m
3
2
m
3
.
假设存在点
P
，使
OP
OA
OB
成立，则其充要条
件为：
(
x
1
x
2
)<
/p>
2
(
y
1
y
2
)
2
1
。
点
P
的坐标为
(
x
1
< br>
x
2
,
y
1
y
2
)
，点
P
在椭
圆上，即
3
2
整理得
< br>2
x
1
2
3
y
1
2
2
x
2
2
3
y
2
2
4
x
1
x
2
< br>
6
y
1
y
2
6
。
又
A
、
B
在椭圆上，即
2
x
1
2
3<
/p>
y
1
2
6,2
x
2
2
3
y
2
2
6
.
故
2
x
1
< br>x
2
3
y
1
y
2
3
0
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
< br>．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．②
将
x
1
x
2
(
my
1
< br>
1
)(
my
< br>2
1
)
m
2
y
1
y
2
m
(
y
1
y
2
)
1
及①代入②解得
m
2
1
2
word
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