初中数学圆知识点总结
-
.
.
. .
圆的总结
一
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
二
轨迹：
1
、
到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；
2
、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；
< br>
3
、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；<
/p>
4
、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条
直线；
<
/p>
5
、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且
到两条直线距离都相等的
一条直线
三
位置关系：
1
点与圆的位置关系
:
点在圆内
<
br>5 2 <
br>个即 <
br>∥
弧是等弧
d
点
C
在圆内
点在圆上
d=r
点
B
在圆上
点在此圆外
d>r
点
A
在圆外
2
直线与圆的位置关系
:
直线与圆相离
d>r
无交点
直线与圆相切
d=r
有一个交点
直线与圆相交
d
有两个交点
r
r
d
d
3
圆与圆的位置关系
:
外离（图
1
）
无交点
d>R+r
外切（图
2
）
有一个交点
d=R+r
相交（图
3
）
有两个交点
R-r
内切（图
4
）
有一个交点
d=R-r
内含（图
5
）
无交点
d
d
d
A
r
B
d
C
d
O
d=r
d
R
r
d
r
R
图
4
图
d
R
图
3
r
R
图
1
r
R
图
2
r
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
四
垂径定理
:
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论
1
：
（
1
）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（
2
）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（
3
）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另
一条弧
以上共
4
个定理，简称
推
3
定理：此定理中共
5
个结论中，只要知道其中
2
可推出其它
3
个结论，即：
BC
①
AB
是直径
②
AB
⊥
CD
③
CE=DE
④
BD
⑤
AC
AD
推论
2
：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即
：在⊙
O
中，∵
AB
CD
A
D
C
O
O
B
A
E
D
C
五
圆心角定理
E
F
O
D
A
C
B
B
圆心角
定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
此定理也称
1
推
3
定理，即上述四个结论中，只
要知道其中
的
1
个相等，
则可以推出其它的
3
个
结
论
也
即
：
①
∠
AOB=
∠
DOE
②
AB=DE
③
OC=OF
④
BA
ED
C
六
圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所
对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠
AOB
和∠
ACB
是
所对的圆心角和圆周角
∴∠<
/p>
AOB=2
∠
ACB
B
圆周角定理的推论：
推论
1<
/p>
：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
即：在⊙
O
中，∵∠
C
、∠
D
都是所对的圆周角
B
∴∠
C=
∠
D
推论
2
：<
/p>
半圆或直径所对的圆周角是直角；
圆周角是直角所对的弧是半圆，
所对的弦是直径
即：在⊙
O
中，∵
AB
是直径
或∵∠
C=90
°
B
∴∠
C=
90
°
∴
AB
是直径
推论
3<
/p>
：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角
形
B
O
A
D
C
O
A
C
O
A
C
.
.
资
.
料
.
..
O
A
.
.
. .
即：在△
ABC
中，∵
OC=OA=OB
∴△
ABC
是直角三角形或∠
C=90
°
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等
于斜边的一半
的逆定理。
七
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙
O
中，∵四边形
ABCD
是内接四边形
∴∠
C+
∠
BAD=180
°
< br>
B+
∠
D=180
°
∠
DAE=
∠
C
八
切线的性质与判定定理
（
1
）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切
线
两个条件：
过半径外端且垂直半径，
二者缺一不可
即：∵
MN
⊥
OA
且
MN
过半径
OA
外端
∴
MN
是⊙
O
的切线
（
2
）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论
1
：过
圆心垂直于切线的直线必过切点
推论<
/p>
2
：过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
∵
MN
是切线
∴
MN
⊥
OA
切线长定理
:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相
等，这点和圆
心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵
P
A
、
PB
是的两条切线
∴
P
A=PB
PO
平分∠
BP
A
P
A
O
B
O
M
A
N
九
圆内正多边形的计算
（
1
）正三角形
在⊙
O
中
△
ABC
是正三角形，有关计算在
Rt
△
BOD
中进行，
OD:BD:OB=
1
:
（
2
）正四边形
3
:
2
1:1:
2
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
同理，四边形的有关计算在
Rt
△
OAE
中进行，
OE :AE:OA=
（
3
）正六边形
同理，六边形的有关计算在
Rt
△
O
AB
中进行，
AB:OB:OA=
C
C
B
O
O
B
D
A
A
E
1:
3
:
2
O
D
A
B
十、圆的有关概念
1
、三角形的外接圆、外心。
→用到：线段的垂直平分线及性质
2
、三角形的内切圆、内心。
→用到：角的平分线及性质
轴对称
3
、圆的对称性。→
中心对称
十一、圆的有关线的长和面积。
1
、圆的周长、弧长
C=2
r
,
l=
R
2
、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧
面积和全面积
S
圆
=
r
2
，
S
扇形
=
A
O
S
l
B
1
2
lr
S
圆锥
=
r
底面圆
l
母
线
+
r<
/p>
底面圆
2
3
、求面积的方法
直接法→由面积公式直接得到
间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换
十二、侧面展开图：
①圆柱侧面展开图是
形
,
它的长是底面的
,
高是这个圆柱的
；
②圆锥侧面展开图是
形，
它的半径是这个圆锥的
，
它的弧
长是这个圆锥的底面的
。
十三、正多边形计算的解题思路：
正
多边形
等腰三角形
直角三角形。
转 化
转 化
.
.
资
.
料
.
..
连
OAB
作垂线
OD
.
.
. .
可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直
角三角形的知识进行求解。
圆
一、精心选一选，相信自己的判断！
(
每小
题
4
分，共
40
分
)
1.
如图，把自行车的两个车
轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（
）
A.
外离
B.
外切
C.
相交
D.
内切
2
.
如图，在⊙
O
中，∠
ABC
=50°
，则∠
AOC
等于（
）
A
．
50
°
B
．
80
°
C
．
90
°
D
．
100
°
A
D
B
O
O
C
B
A
第
1
题图
第
2
题图
第
3
题图
C
第
4
题
3.
如图，
AB
是
⊙
O
的直径，∠
ABC
=30°
，则∠
BAC
=
（
）
A
．
90°
B
．
60°
C
．
45°
D
．
30°
（
）
4.
<
/p>
如图，⊙
O
的直径
CD
⊥
AB
，∠
AOC
=50
°，则∠
CDB
大小为
(
)
A
．<
/p>
25
°
B
．
30
°
C
．
40
°
D
．
50<
/p>
°
5.
已知⊙
O
的直径为
12cm
< br>，圆心到直线
L
的距离为
6cm
，则直线
L
与⊙
O
的公共点的个数
为（
）
A
．
2
B
．
1
C
．
0
D
．不确定
6.
已知⊙
O
1
与⊙
O
2
的半径分别为
3cm
和
7cm
，两圆的圆
心距
O
1
O
2
=10cm
，则两圆的位置
关系是（
）
A
．外切
B
．内切
C
．相交
D
．相离
A
1
7.<
/p>
下列命题错误
的是（
）
．．
A
．经
过不在同一直线上的三个点一定可以作圆
C
O
H
1
H
1
<
/p>
B
．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
A
C
1
O
B
C
．平分弦的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧
D
．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
12
8.
在平面直角坐标系中，以点（
2
，
3
）为圆心，
2
为半径的圆必定（
）
A
．与<
/p>
x
轴相离、与
y
轴相切
B
．与
x<
/p>
轴、
y
轴都相离
C
．与
x
轴相
切、与
y
轴相离
D
．与<
/p>
x
轴、
y
轴都相
切
9
已知两圆的半径
R
、
r
分别为方程
x
5
x
6
0
的两根，两圆的圆心距为
1
，两圆的位
置关系是
(
)
A
．外离
B
．内切
C
．相交
D
．外切
10.
同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（
）
A
．
2
∶
1
B
．
2
∶
1
C
．
1
∶
2
D
．
1
∶
2
11.
在
R
t
△
AB
C
中
，∠
C=90°
，
AC=
12
，
BC=
5
，将△
ABC
绕边
AC<
/p>
所在直线旋转一周得到圆
锥，则该圆锥的侧面积是（
）
A
．
25π
B
．
65π
C
．
90π
D
．
1
30π
12.
如图，
R
t
△
AB
C
中
，∠
ACB=
90°
，∠
C
AB
=30
°，
BC
=2
，
O
、
H
分别为边
AB
、
AC
的中点，
将
△
ABC
绕点
B
顺时针旋转
120
°到△
A
1
BC
1
的位置，则整
个旋转过程中线段
OH
所扫过
部分的面
积（即阴影部分面积）为（
）
7
7
A
．
3
π
－
8
3
4<
/p>
7
B
．
3
π+
8
3
C
．π
4
D
．
3
π+
3
2
.
.
资
.
料
.
..