初中数学知识点总结归纳
-
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《有理数》知识点总结归纳
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比
0
小的数
正数：
比
0
大的数
0
既不是正数，也不是负数
注意
：①字母
a
可以表
示任意数，当
a
表示正数时，
-a
是负数；当
a
表示负数时，
-a
是正
数；当
a
表示
0
时，
-a
仍是
0
。
（如果出判断
题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，
这种说法是错误的，例如
+a,-a
就不能做出简单判断）
< br>②正数有时也可以在前面加
“
+
”
，
有时
“
+
”
省略不写。
所以省略
“
+
”
的正数的符号是正号。
2.
具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上
8
℃表示为：
+8
℃；零下
8
℃表示为：<
/p>
-8
℃
3.0
表示的意义
⑴
0
表示“
没有”
，如教室里有
0
个人，就是说教室里没有人；
⑵
0
是正数和负数的分界线，
0
既不
是正数，也不是负数。如：
有理数
1.
有理数的概念
< br>⑴正整数、
0
、负整数统称为整数（
0
和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整
数，
0
，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样
的数称为有理数。
理解
：只有能化成
分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是
有理数。②有限
小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意
：
引入负数以后，
奇数和偶数的范围也扩大了
，
像
-2,-4,-6,-8
…也是偶
数，
-1,-3,-5
…
也是奇数。<
/p>
2.
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
.
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正整数
正整数
整数
0
正有理数
负整数
正分数
有理数
有理数
0
（
0
不能忽视）
正分数
负整数
分数
负有理数
负分数
负分数
总结：①正整数、
0
统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、
0
统称为非正整数
< br>③正有理数、
0
统称为非负有理数
④负有理数、
0
统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意
：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是
数轴的三要素，
三者缺一不可；
⑶同一数轴上的单位长度要统一
；
⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.
数轴上的点与有理数的关系
⑴所
有的有理数都可以用数轴上的点来表示，
正有理数可用原点右边的点表示，
负有理数可
用原点左边的点表示，
0
用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表
示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，
有理数与数轴上的点不是一一对应关
系。
（如，数轴上的点π不是有理数）
3.
利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于
0
，负数都小于
0
，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
.
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4.
数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是
0
，无最大的自然数；<
/p>
⑵最小的正整数是
1
< br>，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是
-1
，无最小的负整数
5.a
可以表示什么数
⑴
a>0
表示
a
是正数；反之，
a
是正数，则
a>0
；
⑵
a<0
表示
a
是负数；反之，
a
是负数，则
a<0
⑶
a=0
表示
a
是
0
；反之，
a
是
0,
，则
a=0
6.
数轴上点的移动规律
根据点的移动，
向左移动几个单位长度则减去几，
向右移动几个单位长度则加上几，
从而得
到所需的点的位置。<
/p>
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做
互为相反数，其中一个是另一个的相反数，
0
的相反数是
0
。
注意：⑴相反
数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶
0
的相反数是它本身；相反数为本身的数是
0
。
2.
相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵
0
的相反数是
0
；
⑶互为相反数的两数和为
0<
/p>
，和为
0
的两数互为相反数，即
a
，
b
互为相反数，则
a+b=0
.
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3.
相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，
是互为相反数；
互为相反数的两个数，
在数
轴上的对应点（
0
除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。
0
的相反数对应原点；原点
表示
0
的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.
相反数的求法
< br>⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“
-
”即
可求得（如：
5
的相反数是
-5
）
；
⑵求多个数的
和或差的相反数是，要用括号括起来再添“
-
”
，然后化简（如；
5a+b
的相反
数是
-
（
5a+b
）
。化简得
-5a-b
）
；
⑶求前面带“
-
”的单个数，也应先用括号括起来再添“
-
< br>”
，然后化简
(
如：
-5
的相反数是
-
（
-5
）
，化简得
5
)
5.
相反数的表示方法
⑴一般地，数
a
的相反数是
-a
，其中
a
是任意有理数，可以是正数、负数或
0
。
当
a>0
时，
-a<0
（正数的相反数是负数）
当
a<0
时，
-a>0
（负数的相反数是正数）
当
a=0
时，
-a=0<
/p>
，
（
0
的相反数
是
0
）
6.
多重符号的化简
多重符号的化简规律
:
“
+<
/p>
”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；
“
-
”号的个数决定
最后化简结果；即：
“
-
”的个数是奇数时，结果为负，
< br>“
-
”的个数是偶数时，结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上
表示数
a
的点与原点的距离叫做
a
的绝对值，记作
|a|
。
< br>
2.
绝对值的代数定义
.
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⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶
0
的绝对值是
0.
可用字母表示为：
①如果
a>0
，那么
|a|=
a
；
②如果
a<0
，那么
|a|=-a
；
③如果
a=0
，那么
|a|=0
。
可归纳为①：
a
≥
0
，
<
═
>
|a|=a
（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负
< br>数。
）
②
a
≤
0
，
<
═
>
|a|=-a
（非正数的绝对值等于其相反数；
绝对值等于其相反数的数是非正数。
）
3.
绝对值的性质
< br>任何一个有理数的绝对值都是非负数，
也就是说绝对值具有非负性。
所以，
a
取任何有理数，
都
有
|a|
≥
0
。即⑴
0
的绝对值是
0
；绝对值是
0
的数是
0.
即：
a=0
<
═
>
|a|=0
；
⑵一个数的绝对值是非
负数，
绝对值最小的数是
0
.
即：
|a|
≥
0
；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：<
/p>
|a|
≥
a
；<
/p>
⑷绝对值是相同正数的数有两个，
它们
互为相反数。
即：
若
|x|=a
（
a>0
）
，
则
x=
±
a
；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：<
/p>
|-a|=|a|
或若
a+b=0
，则
|a|=|b|
；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：
|a|=|b
|
，则
a=b
或
a=-b
；
⑺若几个数的绝对值的
和等于
0
，则这几个数就同时为
0
。即
|a|+|b|=0
，则
a=0
且
b=0
。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为
0
，则有且只有这几个非负数同时为
0
）
4.
有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数比较大小，<
/p>
绝对值大的反而小；
异号两数比较
大小，
正数大于负数。
5.
绝对值的化简
< br>①当
a
≥
0
时，
|a|=a
；
②当
a
≤
0<
/p>
时，
|a|=-a
6.
已知一个数的绝对值，求这个数
.
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一个数
a
的绝对值就是数轴上表示数
a
的点到原点的距离，
一般地，
绝对值
为同一个正数的
有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为
0<
/p>
的数是
0
，没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.
有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，
取绝对值较大的加数的符号，
并用较大的绝对值减去较小
的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.
有理数加法的运算律
⑴加法交换律：
a+b=b+a
⑵加法结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”
；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”
；
③分母相同的数先
相加——“同分母结合法”
；
④几个
数相加得到整数，先相加——“凑整法”
；
< br>⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”
。
3.
加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加
0
后的和等于原数。即：
⑴当
b>0<
/p>
时，
a+b>a
⑵当
b<0
时，
再按照加法
法则进行计
算。
在和式里，
通常把各个加数的括
号和它前面的加号省略不写，
写成省略加号的和的形式。
如：<
/p>
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负
8
、负
7
、负
6
、正
5
的和”
②按运
算意义读作“负
8
减
7
减
6
加
5
”
6.
有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ
.
把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式
=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)
（将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23
（省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23)
（把符号相同的加数相结合）
=-49+41
（运用加法法则一进行运算）
=-8
（运用加法法则二进行运算）
Ⅱ
.
把和为整数的加数相结合
（凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式
=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)
（将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8
（省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8
（把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8
（运用加法法则进行运算）
=7.8-10
（
把符号相同的加数相结合，
并进行运
算）
=-2.2
（得出结论）
Ⅲ
.
把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
.
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-
3
1
3
2
1<
/p>
7
-
+
-
+
-
5
2
4
5
2
8
3
2
1
1
3
7
-
)+(-
+
)+(+
-
)
5
5
2
< br>2
4
8
1
8
原式
=(-
=-1+0-
=-1
1
8
Ⅳ
.
既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
(+0.125)-(-3
3
1
2
)+(-3
)-(-10
)-(+1.25)
4
8
3
原式
=(+
1
3
1
2
1
)+
(+3
)+(-3
)+(+10
)+(
-1
)
8
4
8
3
4
=
1<
/p>
3
1
2
1
+3
-3
+10
-1
8
4
8
3
4
3
1
1
1
2
-1
)+(
-3
)+10
<
/p>
4
4
8
8
3
=(3
=2
1
2
-3+10
2
3
1
6
=-3+13
=10
1
6
Ⅴ
.
把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
< br>
-3
1
6
1
7
+10
-12
+4
5
11
22
15
.
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原式
=(-3+10-12+4)+(-
1
7
6
1
+
)+(
-
)
5
15
11
22
=-1+
4
11
+
15
22
8
15
+
30
30
=-1+
-
7
30
Ⅵ
.
分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9
…
+
66-67-68+69
原式
=(2-3-4+5)+(6-
7-8+9)+
…
+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ
.
先拆项后结合
（
1+3+5+7
…
+99
）
-
（
2+4+6+8
…
+100
）
有理数的乘除法
1.
有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（
“同号得正，异号得负”专指
“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必
须运用法则三）
法则二：任何数同
0
相乘，都得
0
；
法则三：
几个不是
0
的数相乘，
负因数的个数是偶数时，
积是正数；
负因数的个数是奇数时，
积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为
0,
则积等于
0.
2.
倒数
.
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乘积是
1
的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为
a
·
1
=1
（
a
a
≠
0
）
，就是说
a
< br>和
1
1
1
互为倒数，即
a
是
的倒数，
是
a
的倒数。
a
a
a
注意
：①
0
没有倒数；
<
/p>
②求假分数或真分数的倒数，
只要把这个分数的分子、
分母点颠倒位置即可；
求带分数的倒
数时，先把带
分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是
正数，负数的倒数是负数。
（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）
< br>；
④倒数等于它本身的数是
1
或
-1,
不包括
0
。
3.
有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即
ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个
数相乘，积相等。即
(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律
：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在
把积相加。
即
a(b+c)=ab+ac
4.
有理数的除法法则
（
1
）除以一个不等
0
的数，等于乘以这个数的倒数。
（
2
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0
除以任何一个不等于
0
的
数，
都得
0
5.
有理数的乘除混合运算
（
1
）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然
后确定积的符号，最后求出结果。
（
2
）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减
’
的顺序进行。
有理数的乘方
1.
乘方的概念
.