概率论第1章作业题解
-
一、习题详解：
1.1
写出下列随机试验的样本空间：
(1)
某篮球运动员投篮时
,
连续
5
次都命中
,
观察其投篮次数
;
解：连续
5
次都命中，至少要投
5
次以上，故
1
5
,
6
,
7
,
；
(2)
掷一颗匀称的骰子两次
,
观察前后两次出现的点数之和
;
解：
<
/p>
2
2
,
3
,
4
,
11
,
12
；
(3)
观察某医院一天内前来就诊的人数
;
解：医院一天内前来就诊的人数理
论上可以从
0
到无穷，所以
3
0
,
1
,
2
< br>,
(4)
< br>从编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的
5
件产品中任意取出两件
,
观察取出哪两件产品
;
解：属于不放回抽样，故两件产品
不会相同，编号必是一大一小，故：
4
i
,
j
1
i
j
< br>
5
;
(5)
检查两件产品是否合格
;
解：用
0
表示合格
, 1
表示不合格，则
5
0
,
0
,
0
< br>,
1
,
1
,
0
,
1
,
1
；
(6)
观察某地一天内的最高气温和
最低气温
(
假设最低气温不低于
T1,
最高气温不高于
T2);
解：用
x
表示最低气温
,
y
表示最高气温
;
考虑到这是一个二维的样本空间，故：
6
x
,
y
T
1
x
y
< br>
T
2
；
；
(7)
在单位圆内任取两点
,
观察这两点的距离
;
解：
<
/p>
7
x
0
x
2
；
(8)
在长为
l
的线段上任取一点
,
该点将线段分成两段
,
观察两线段的长度
.
解：
<
/p>
8
x
,
y
x
0
,
y
0
,
x
y
l
；
1.2
设
A
，
B
，
C
为三事件
,
用
A;B;C
的运算关系表示下列各事件：
(1)
A
与
B
都发生
,
但
C
不发生
;
AB
C
；
(2)
A
发生
,
且
B
与
C
至少有一个发生
;
A
(
B
C
)
；
(3)
A,B,C
中至少有一个发生
;
A
B
C
< br>；
(4)
A,B,C
中恰有一个发生
;
A
B
C
A
B
C
A
B
C
；
(5)
A,B,C
中至少有两个发生
;
AB
AC
BC
；
(6) A,B,C
中至多有一个发生
;
A
B
A
C
B
C
；
(7) A;B;C
中至多有两个发生
;
ABC
；
(8) A,B,C
中恰有两个发
生
.
A
BC
A
B
C
AB
C
；
注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3
设样本空间
x
0
x
2
,
事件
A
=
x
0
.
5
<
/p>
x
1
,
B
x
0
.
8
x
1
.
6
具体写出下列各事件：
(1)
AB
; (2)
A
B
; (3)
A
B
;
(4)
A
B
（
1
）
AB
x
0
.
8
x
1
；
(2)
A
B
=
x
0<
/p>
.
5
x
0
.
8
；
(3)
A
B
=
x
0<
/p>
x
0
.
5
0
.
8
x
2
;
(4)
A
B
=
x<
/p>
0
x
0
.
5
1
.
6
x
2
1.4
用作图法说明下列各命题成立：
略
1.5
用作图法说明下列各命题成立：
略
1.6
按从小到大次序排列
P
(
A
),
P
(
A
B
),
P
(
AB
),
P
(
A
)
P
(
B
)
,
并说明理由
.
解：由于
AB
A
,
A
(
A
B
),
故
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
(
A
< br>
B
)
，而由加法公式，有：<
/p>
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
)
1.7
若
W
表示昆虫出现残翅
, E
表示有退化性眼睛
,
且
P(W) = 0.125; P(E) = 0.075,
P(WE) = 0.025,
求下列事件的概率：
(1)
昆虫出现残翅或退化性眼睛
;
(2)
昆虫出现残翅
,
但没有退化性眼睛
;
(3)
昆虫未出现残翅
,
也无退化性眼睛
.
解：
(1)
昆虫出现残翅或退化性眼
睛对应事件概率为：
P
(
W
E
)
P
(
W
)
P
(
E
)
P
(
WE
)
0
.
175
(2)
由于事件
W
可以分解为互斥事件
WE
,
W
E
，昆虫出现残翅
,
但没有退化性眼睛对应事件
概率为：
P
(
W
E
)
P
(
W
)
P
(
W
E
< br>)
0
.
1
(3)
昆虫未出现残翅
,
也无退化性眼睛的
概率为：
P
(
W
E
)
1
P
(
W
E
)
0
.
825
.
1.8
设
A
与
B
是两个事件
, P(A) = 0.6; P(B) =
0.8
。试问：
(1)
在什么条件下
P(AB)
取到最大值
?
最大值是多少
?
(2)
在什么条件下
P(AB)
取到最小值
?
最小值是多少
?
解：
(1)
由于
AB
A
,
AB
B
，
故
P
(
AB
)
P
(
A
),
P
(
AB
)
P
(
B
),
显然当
A
B
时
P(AB)
取到最大值。
最大值是
0.6.
(2)
由于
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
< br>(
B
)
P
(
A
B
)
。
显然当
P
(
A
B
)
1
时
P(AB)
取到最小
值，最小值是
0.4.
1.9
设
P(A) = 0.2, P(B) = 0.3,
P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1,
P(BC) = 0.2,
求事件
A,B,C
中至少有一个发生的概率
.
解：因为
P(AB) =
0
，故
P(ABC) = 0.
A
,
B
,
C
至少有一个发生的概率为：
P
(
A
B
C
)
P
(
A
)
<
/p>
P
(
B
)
P
(
C
)
P
(
AB
)
P
< br>(
BC
)
P
(
AC
)
P
(
ABC
)
0
.
7
1.10
计算下列各题：
(1)
设
P(A) = 0.5, P(B) = 0.3,
P(A
B) = 0.6,
求
P(AB);
(2)
设
P(A) = 0.8,
P(A
B) = 0.4,
求
P(AB);
(3)
设
P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3,
求
P(B)
。
解：
（
1<
/p>
）通过作图，可以知道，
P
(
A
B
)
P
(
A
B
)
P
(
B
)
0<
/p>
.
3
（
2
）
P
(
AB
)
1
P
(
AB
)
1
(
P
(
A
)
P
(
A<
/p>
B
))
0
.
6
(
3
)
由于
P
(
AB
)
P
(
A
< br>B
)
1
P
(
A
B
)
1
(
P
(
A
)
P
(
B
)
< br>P
(
AB
))
< br>
1
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
AB
)
P
(
B
)
1
P
(
A
)
0
.
7
1.11
把
3
个球随机地放入
4
个杯子中，<
/p>
求有球最多的杯子中球数是
1
，
2
，
3
概率各为多少？
解：用
A
i
表示事件“杯中球的最大个数为
i
个”
i
< br>=1,2,3
。三只球放入四只杯中，放法有
4
4
4
64
种，每种放法等可能。
对事件
A
1
：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法
4
×
3
×
2
种，故
P
(
A
1
)
(
选排列：好比
3
个球在
4
个位置做排列
)
。
对事件
A
3
：必须三球都放入一杯中。放法有
4
种。
(
只需从
4
个杯中选
1
个杯子
，放入此
3
个球，选法有
4
种
)
，故
P
(
A
3
)
< br>
3
8
1
3
1
9
。
P
(
A
2
)
1
16
8
16
16
1.12
掷一颗匀称的骰子两次
,
求前后两次出现的点数之和为
3; 4; 5
的概率各是多少
?
解：
此题
为典型的古典概型，
掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为
36
。
.
出现点数和为
“
3
”对应两个基本事件（
1
，
2
）
，
（
2
，
1
）
。故前后两次出现的点数之和为
3
的概率为
1
。
18
同理可以求得前后两次出现的点数之和为
4
，
5
的概率各是
1.13
在整数
0
,
1
,
2
,
9
< br>中任取三个数
,
求下列事件的概率：
(1)
三个数中最小的一个是
5; (2)
三个数中最大的一个是
5.
1
1
,
。
12
9
3
解：从
10
个数中任取三个数，共有
C
10
120
种取法，亦即基
本事件总数为
120
。
(1)
若要三个数中最小的一个是<
/p>
5
，
先要保证取得
5
，
再从大于
5
的四个数里取两个，
取法有
2
C<
/p>
4
6
种，故所
求概率为
1
。
20
1
。
12
(2)
若要三个数中最大的一个
是
5
，先要保证取得
5
，再从小于
5
的五个数里取两个，取法
2
有
C
5
10
种，故所求概率为
1.14
12
只乒乓球中有
4
只是白色球
, 8
只是黄色球。现从这
12
只乒乓球中随机地取出两
只
,
求下列事件的概率：
(1)
取到两只黄球
; (2)
取到两只白球
; (3)
取到一只白球
,
一只黄球
.
解：分别用
A
1
,
A
< br>2
,
A
3
表示事件：
(1)
取到两只黄球
; (2)
取到两只白球
; (3)
取到一只白球
,
一只黄球
.
则
2
16
C
8
2
28
14
C
4
6
< br>1
P
(
A
1
)
2
,
P
(
A
2
)
2
,
P
(
A
3
< br>)
1
P
(
A
1
)
P
(
A
2
)
。
33
C
12
66
33
C
12
66
11
1.15
已知
P
(
A
)
0
.
7
,
P
(
B
)
0
.
4
，
P
(
< br>A
B
)
0
.
5
,
求
P
((
A
B
)
B
).<
/p>
解：
P
((<
/p>
A
B
)
B
)
P
((
A
B
)
B
)
< br>P
((
AB
)
< br>
(
B
B
))
P
(
B
)
P
(<
/p>
B
)
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
(
A
B
)
< br>
0
.
5
P
(
B
)
P
(
B
)
由于
P
(
B
B
)
0
，故
P
((
A
B
)
B
)
1.16
已知
P
(
A
)
0
.
6
,
P<
/p>
(
B
)
0
.
4
,
P
(
A
B
)
0
.
5
。
计算下列二式：
(1)
P
(
A
B
);<
/p>
（
2
）
P
(
A
B
);
解：
（
1
）
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B<
/p>
)
P
(
AB
)
1
P
(
B
)
P
(
A
< br>B
)
1
0
.
4
0
.
5
0
.
8
;
（
2
）
P
< br>(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
AB
)
0.8
P
(
B
)
P
(
A
B
)
0.8
0.4
0.5
0.6;
注意：因为
P
(
A
B
)
0
.
5
，所以
P
(
A
B
)
1
P
< br>(
A
B
)
0
.
5
。
1.17
一批产品共
20
件
,
其中有
5
件是次品
,
其余为正品。现从这
20
件产品中不放回地任
意抽取三次
,
每次只取一件
,
求下列事件的概率：
(1)
在第一、第二次取到正品的条件下
,
第三次取到次品
;
(2)
第三次才取到次品
;
(3)
第三次取到次品
.
解：用
A
i
表示事件“第
i
次取到的是正品”
（
i
1
,
2
,
3
）
，则
A
i
表示事件“第
i
次取到的是次
(
)
品”
（
i
1
,
2
,
3
）
。
PA
1
5
。
1
8
1
5
3
<
/p>
,
PA
(
A
)
(
PA
)
(
1
A
)
2
1
2
PA
2
0
4
< br>1
3
1
4
2
1
4
1
9
3
8
(1)
事件“在第一、第二次取到正品的条件下
,
第三次取到次品”的概率为：
P
(
A
3
A
1
A
2
)
(2)
事件“第三次才取到次品”的概率为：
15
14
5
35
20
19
18
228
< br>1
（
3
）事件“第三次取到次品
”的概率为：
4
P
< br>(
A
1
A
2
A
3
)
P
(
A
1
)
P
(
A
2
A
1
)
P
(
A
3
< br>A
1
A
2
)
此题要注意区分事件（
1
）
、
(2
）的区别，
一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，
设有两个产品，
一个为正品，
一个为次品。
用
A
i
表示事件
“第
i
次取到的是正品”
（
i
1
,
2
）
，
则事件“在第一次取到正品的条件下
,
第二次取到次品”的概率为：
P
(
A
2
A
1
)
1
；而事件
“第
二次才取到次品”的概率为：
P
(
A<
/p>
1
A
2
)
P
(
A
1
)
P
(
A
2
A
1
)
1
。区别是显然的。
2
1.18
有两批相同的产品
,
第一批产品共
14
件
,
其中有两件为次品
,
装在第一个箱中
;
第二
批有
10
件
,
其中有一件是次品
,
装在第二个箱中
。今在第一箱中任意取出两件混入到第二
箱中
,
然后再从第二箱中任取一件
,
求从第二箱中取到的是次品的概率。
解：
用
A
i
(
i
0
,
1
,
2
)
表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数
i
”
。
用
B
表示
事件“从第
2
1
1
2
C
12
C
12
C
2
C
2
66
24
1
二箱中取到的是次品”
。则
P
(
A
0
)
2
,
P
(
A
1
)
,
P
(
A
)
<
/p>
,
2
2
2
C
14
91
C
14
91
C
14
91
P
(
B
A
0
)
1
2
3
P
(
B
A
)
P
(
B
A
)
<
/p>
1
2
12
，
12
，
12
，
3
28
根据全概率公式，有：
P
(
B
)
P
(
A
0
)
P
(
B
A
0
)
P<
/p>
(
A
1
)
P
(
B
A
1
)
P
(
A
2
)
P
(
B
A
2
)
1.19
一等小麦种子中混有
5%<
/p>
的二等种子和
3%
的三等种子。已知一、
二、三等种子将来长
出的穗有
50
颗以上麦粒的概率分别为
50%, 15%
< br>和
10%
。假设一、二、三等种子的发芽率
相同
,
求用上述的小麦种子播种后
< br>,
这批种子所结的穗有
50
颗以上麦粒的概率
.
解：设
A
i
(
i
1
,
2
< br>,
3
)
表示事件“所用小麦种子
为
i
等种子”
，