初中数学知识点分类总结
-
中考数学总复习资料
代数部分
第一章：实数
基础知识点：
一、实数的分类：
正整数
整数
零
有理数
负整数
数
有限小数或无限循环小
实数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理
数
<
/p>
1
、有理数：
任何一个有理数总可以写成
p
的形式，
其中
p
、
q
是互质
q
的整数，这是有理数的重要特征。
2
、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如
2
、
3
4
；
特定结构的不限环无限小数，如
1.1001
……；特定意义的数，如
π
、
sin
45
°等。
3
、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化
简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1
、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（
1
）实数
a
的相反数是
-a
；
（
2
）
a
和
b
互为相反数
a+b=0
2
、倒数：
（
1
）实数
a
（
a
≠
0
）的倒数是
1
；
（
2
）
a
和
b
互为倒数
a
b
1
；
（<
/p>
3
）
a
注意
0
没有倒数
3
、绝对值：
（
1
）一个数
a
的绝对值有以下三种情况：
（
2
）
实数的绝对值
是一个非负数，
从数轴上看，
一个实数的绝对值，
就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（
3
）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行<
/p>
数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4
、
n
次方根
（
1
）平方根，算术平方根：设
a
≥
0
，称<
/p>
a
叫
a
的平方根，
a
叫
a<
/p>
的算术平方根。
（
2
）正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0
的平方根是
0
；负数
没有
平方根。
（
3
）立方根：
3
a
叫实数
a
的立方根。
（
4
）
一个正数有一个正的立方根；
0
的立方根是
0
；
一个负数有一个
负的立方根。
三、实数与数轴
1
< br>、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、
正方向、单位长
度是数轴的三要素。
2
、数轴上的点
和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实
数，
而每一
个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上
的点是
一一对应的关系。
四、实数大小的比较
1
、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2
、正数大于
0
；负数小于
0
；正数大于一切负数；两个负数绝对值大
的反
而小。
五、实数的运算
1
、加法：
（
1
）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（
2
）异号
两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值
减去较小的绝对值。可使用加法
交换律、结合律。
2
、减法：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3
、乘法：
（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
0
，积就为
0
；若
n
个非
0
的实数
相乘，
积的符号由负因数的个数决定，
当负因数有偶数个时，
积为正；
当负因数为奇数个时，积为负。
（
3
）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘
法分配律。
4
、除法：
（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（
2
）除以一个
数等于乘以这个数的倒数。
（
3
）
0
除以任何数都等于
0
，
0
不能做被除数。
5
、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6
、实数的运算顺序：乘方、开方为三级
运算，乘、除为二级运算，
加、
减是一级运算，
如果没有括号，
在同一级运算中要从左到右依次
运算，
不同级的运算，
先算高级的运算再算低级的运算，
有括号的先
算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
六、科学记数法
1
、
科学记数法：
设
N
＞
0
，
则
N=
a
×
10
n
（其中
1
< br>≤
a
＜
10
，
n
为整数）
。
< br>
代数部分
第二章：代数式
基础知识点：
一、代数式
1
、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，
叫代数式。单独一个数或
者一个字母也是代数式。
2
、代数式
的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果
叫做代数式的值。
< br>
3
、代数式的分类：
单项式
整式
有理式
多项式
代数式
分式
无理式
二、整式
的有关概念及运算
1
、概念
2
（
1
）单项式：像
x
、
7
、
2
x
y
，这种数与字母的积叫做单项式
。
单独一个数或字母也是单项式。
单
项式的次数：
一个单项式中，
所有字母的指数叫做这个单项式<
/p>
的次数。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。
（
2
）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：
多项式中每一个单项式
都叫多项式的项。
一个多项
式含有几项，就叫几项式。
多项式的次数：
多项式里，
< br>次数最高的项的次数，
就是这个多项
式的次数。不含字母
的项叫常数项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母
的指数从小（大）
到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排<
/p>
列。
（
3
）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同
的项叫做
同类项。
2
、运算
（
1
）整式的加减：
< br>合并同类项：
把同类项的系数相加，
所得结果作为系数，
字母及
字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“
+
”号，把括号和它前面的“
+
”号去<
/p>
掉，
括号里各项都不变；
括号前面是
“–”
号，
把括号和它前面的
“–”
号去掉，括号里的各项都变号。
添括号法则：括号前面是“
+
”号，括到括号里的各项都不变；
括号前面是“–”号，括到括
号里的各项都变号。
整式的
加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，
先去括号，再合并同类项。
（
2<
/p>
）整式的乘除：
幂的运算法则：其中
m
、
n
都是正整数
同底数幂相乘：
a
m
a
n
a
m
n
；同底数幂相除：
a
m
a
n
a
m
n
；幂
m
n
mn
n
n
n
的乘方：
(
a
)
a
积的乘方：
(
ab
)
a
b
。
单项式乘以单项式：
用它们系
数的积作为积的系数，
对于相同的
字母，
用它们的指数的和作为这个字母的指数；
对于只在一个单项式
里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：
就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所
得的积相加。
多项式乘以多项式：
先用一个
多项式的每一项乘以另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为
商的因式，对
于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：
< br>把这个多项式的每一项除以这个单项，
再把
所得的商相加
。
乘法公式：
2
2
平方差公式：
(
a
< br>b
)(
a
b
)
a
b
；
2<
/p>
2
2
2
2
2
完全平方公式：
(
a
b
)
<
/p>
a
2
ab
b
，
(
a
b
)
a
2
< br>ab
b
三、因式分解
1
、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
因式分解。<
/p>
2
、常用的因式分解方法：
（
1
）提取公因式法：
ma
mb
mc
m
(
< br>a
b
c
)
（
2
）运用公式法：
2
2
平
方
差
公
式
：
a
b
(
a
b
)(
a
b
)
；
完
全
平
方
公
式
：
a
2
2
< br>ab
b
2
(
a
b
)
2
2<
/p>
（
3
）十字相乘法：
x
(
a
b
)
x
<
/p>
ab
(
x
a
)(
x
b
)
（
4
）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提
公因式或运用
公式分解。
2
（
5
）
运用求根公式法
：
若
ax
b
x
c
0<
/p>
(
a
0
)
的两个根是
x
1<
/p>
、
x
2
，
则有：
ax
2
bx
c
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
< br>)
即
3
、因式分解的一般步骤：
（
1
）如果多项式的各项有公因式，那么先提公
因式；
（
2
）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字
相乘法；
（
3
）对二次三项式，应先尝试
用十字相乘法分解，不行的再用
求根公式法。
（
4
）最后考虑用分组分解法。
四、分式
1
、分式定义：形如
A
的式子叫分式，其中
A
、
B
是整式，且
B
B
中含有字母。
（
1
）
分式无意义：
B=0
时，
分式无意义；
B
≠
0<
/p>
时，
分式有意义。
（
2
）分式的值为
0
：
A=0
，
B
≠
0
< br>时，分式的值等于
0
。
（
3
）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做
分式的约分。方法是把分子、
分母因式分解，再约去公因式。
（
4
）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫
做最
简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。
（
5
< br>）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同
分母分式的过程，叫做
分式的通分。
（
6
）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。
（
7
）有理式：整式和分式统称有理式。
2
、分式的基本性质：
（
1
）
A
A
M
(
M
是
< br>0
的整式
)
；
< br>（
2
）
A
A
M
(
M
是
0
的整式
)
B
B
M
B
B
M
（
3
）分式的变号法则：分式的分子，分母与
分式本身的符号，
改变其中任何两个，分式的值不变。
3
、分式的运算：
（
1
）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；
异分母的分式相加减，先把它
们通分成同分母的分式再相加减。
< br>（
2
）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再
分子乘
以分子，分母乘以分母。
（
3
）除：除以一个分式等于乘上它的
倒数式。
（
4
）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
五、二次根式
1
、二次根式的概念：式子
a
(
a
0
)
叫做二次根式。
（
1
）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被
开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。
（
2
）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的
二次根式，叫做同类二次根式
。
（
3
）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。
（
4
）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它
们的积不含有二次根式，
我们就说这两个代数式互为有理化因式
（常
用的有理化因式有：
a
与
a
；
a
b
c
d
与
a
b
c
d
）
2
、二次根式的性质：
（
1
）
(
a
)
2
a
(
a
0
)
；
< br>（
2
）
a
2
a
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
；
（
4
）
a
b
< br>a
b
a
a
(
a
0
)
(
a
0
)
；
（
3
）
ab
a
b
(
a
0
,
b
0
)
3
、运算：
（
1
）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根
式后，合
并同类二次根式。
（
2
）二次根式的乘法：
a
b
< br>ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
。
（
3
）二次根式的除法：
a
b
a
< br>(
a
0
,
b
0
)
b
二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1
、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2
、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值
叫方程的
解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3
、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4
、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程
的根叫做
原方程的增根。
二、一元方程
1
、一元一次方程
（
1
）一元一次方程的标准形式：
ax+b=0
（其中
x
是未
知数，
a
、
b
是已知数，
a
≠
0
）
（
< br>2
）一玩一次方程的最简形式：
ax=b
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，
a<
/p>
≠
0
）
（
3
）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合
并同类项和系数化为
1
。
（
4
）一元一次方程有唯一的一个解。
2
、一元二次方程
（
1
）一元二次方程的一般形式：
ax
2
bx
c
0
< br>（其中
x
是未知
数，
a
、
b
、
c
是已知数，
a
≠
0
）
（
2
）一元二次方程的解法：
< br>
直接开平方法、配方法、公式法、
因式分解法
（
3
）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有
要求，一般
不用配方法。
（
4
）一元二次方程的根的判别式：
b
2
< br>4
ac
当
Δ
＞
0
时
方程有两个不相等的实数根；
当
Δ
< br>=0
时
方程有两个相等的实数
根；
当
Δ
< 0
时
方程没有实数根，无解；
当
Δ
≥
0
时
方程
有两个实数根
（
5
）一元二次方程根与系数的关系：
若
x
1
,
x
2
是<
/p>
一
元
二
次
方
程
ax
2
bx
c
0
的
两
个
根
，
那
么
：
x
1
x
2
<
/p>
b
，
x
1
x
2
c
a
a
（
6
）以两个数
x
1
,
x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为
1
）是：
< br>x
2
(
x
1
x
2
)
x
x
1
x
2
0
三、分式方程
（
1
）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
。
（
2
）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（
3
）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使
最简公分母不为
0
的就是原方程的根；
使得最简公分母为
0
的就是原
方程的增根，
增根必须舍去，
也可以把求得的未知数的值代入原方程
检验。<
/p>
四、方程组
1
、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2
、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程
叫做解方
程组
3
、一次方程组：
（
1
）二元一次方程组：
一般形式：
a
1
x
b
1
y
c
1
a
2
x
b<
/p>
2
y
c
2
（
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
1
,
c
2
不全为
0
）
解法：代入消远法和加减消元法
解的个数：
有唯一的解，
或无解，
当两个方程相同时有无数的解。
（
2
）三元一次方程组：
解法：代入消元法和加减消元法
代数部分
第四章：列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤
1
、审题：
2
、设未知数；
3
、找出相等关系，列方程（组）
；
4
、解方程（组）
；
5
、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1
、工程问题
（
1
）基本工作量的关系：工作量
=
工作效率×工作时间
（
2
）常见的等量关系：甲的工作量
+
乙的工作量<
/p>
=
甲、乙合作的
工作总量
（
3
）注意：工程问题常把总工程看作“
1
”
，水池注水问题属于
工程问题
2
、行程问题
（
1
）基本量之间的关系：路程
=
速度×时间
（
2
）常见等量关系：
相遇
问题：甲走的路程
+
乙走的路程
=
全路程
追及问题（设甲速度快）
：
同时不同地：甲的时间
=
乙的时间；甲走的路程–乙走的路程
=
原来
甲、乙相距路程
同地不同时
：
甲的时间
=
乙的时间–时间差；
甲的路程
=
乙的路程
3
、水中航行问题：
<
/p>
顺流速度
=
船在静水中的速度
+
水流速度；
逆流速度
=
船在静水中的速度–水流速度
4
、增长率问题：
< br>常见等量关系：增长后的量
=
原来的量
< br>+
增长的量；增长的量
=
原
来的量×（
1+
增长率）
< br>；
5
、数字问题：
基本量之间的关系：三位数
=
个位上的数
< br>+
十位上的数×
10+
百位
上的数×
100
代数部分
第五章：不等式及不等式组
知识点：
一、不等式与不等式的性质
1
、不等式：表示不等关系的式子。
（表示不等关系的常用符号
：
≠，＜，＞）
。
2
、不等式的性质：
（
l
）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不
改变，如
a
＞
b
，
c
为实数
a
＋
c
＞
b
＋
c
（<
/p>
2
）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不
变，如
a
＞
b
，
c
＞
0
ac
＞
bc
。
（
3
）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改
变，如
a
＞
b
，
c
＜
0
< br>ac
＜
bc.
注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成
好的习
惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号
方向是否改变，不能像应用
等式的性质那样随便，以防出错。
3
、任意两个实数
a
，
b
的大小关系（三种）
：
（
1
）
a
–
b
＞
0
a
＞
b
（
2
）
a
–
b=0
a=b
（
3
）
a
–
b
＜
0
a
＜
b
4
、
（
1
）
a
＞
b
＞
0
a
b
<
/p>
（
2
）
a
＞
b
＞
0
a
2
b
2
二、不等式（组）的解、解集、解不等式
1
、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做
这个不等
式（组）的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2
．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）
。
三、不等式（组）的类型及解法
1
、一元一次不等式：
（
l
）概念：含有一个未知数并且含未知数
的项的次数是一次的
不等式，叫做一元一次不等式。
（
2
）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的
两边同乘以（或除以）一个负
数时，不等号方向要改变。
2
、一元一次不等式组：
<
/p>
（
l
）概念：含有相同未知数的几个一元
一次不等式所组成的不
等式组，叫做一元一次不等式组。
（
2
）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
代数部分
第六章：函数及其图像
知识点：
一、平面直角坐标系
1
、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐
标系。
在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的
关系。
2
、不同位置点的坐标的特征：
（
1
）各象限内点的坐标有如下特征：
点
P
（
x,
y
）在第一象限
x
＞
0
，
y
＞
0
；
点
P
（
x,
y
）在第二象限
x
< br>＜
0
，
y
＞
0
；
点
P
（
x,
y
）在第三象限
x
< br>＜
0
，
y
＜
0
；
点
P
（
x,
y
）在第四象限
x
< br>＞
0
，
y
＜
0
。
（
2
）坐标轴上的点有如下特征：
点
P
（
x,
y
）在
x
轴上
y
为
0
，<
/p>
x
为任意实数。
点
P
（
x
，
y
）在
y
轴上
x<
/p>
为
0
，
y
为任意实数。
3
< br>．点
P
（
x,
y
）坐标的几何意义：
（
1
）点
P
（
x, y
）到
x
轴的距离是
| y
|
；
（
2
）点
P
（
x, y
）到
y
袖的距离是
| x |
；
（
3
）
点
P
（
x, y
）到原点的距离是
x
2
y
2
4
．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：
（
1
）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P
1
(
a
,
b
)
；
< br>
（
2
< br>）点
P
（
a, b
）关于
x
轴的对称点是
P<
/p>
2
(
a
,
b
)
；
（
3
）点
P
（
a, b
）关于原点的对称点是
P
3
(
a
,
b
)
；
二、函数的概念
1
、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的
量叫做变
量；保持数值不变的量叫做常量。
2
、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量<
/p>
x
和
y
，如
果对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的值与它对应，那么就说
x
是自变
量，
y
是
< br>x
的函数。
（
1
）自变量取值范围的确是：
< br>
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数
，
自变量取值范围是
全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，
自变量取值范围是
使分母不为
0
的实数。
③解析式
是只含有一个自变量的偶次根式的函数，
自变量取值范
围是使被
开方数非负的实数。
注意：
在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，
还必须使实际问题有意义。
（
2<
/p>
）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的
对应值
。
（
3
）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法
（
4
）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②
描点；③连线
三、几种特殊的函数
1
、一次函数
直线位置与
k
，
b
的关系：
（<
/p>
1
）
k
＞
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的夹角为锐角；
< br>（
2
）
k
＜
0
直线向上的方向与
x
轴的正方向所形成的夹角为钝角；
（
3
）
b
＞
0
直线与
y
轴交点在
x
轴的上方；
（
4
）
b
＝
0
直线过原点；
（<
/p>
5
）
b
＜
0
直线与
y
轴交点在
x
轴的下方；
2
、二次函数
抛物线位置与
a
，
b
，
< br>c
的关系：
（
1
）
a
决定抛物线的开口方向
a
0
开口向
上
a
0<
/p>
开口向下
（
2
）
c
决定抛物线与
y
轴交点的位置：
c>0
图像与
y
轴交点在
< br>x
轴上方；
c=0
图像过原点；
c<0
图
像与
y
轴交点在
x
轴下方；
（
3
）
a
，
b
决定抛物线对称轴的位置：
a
，
b
同号，对称轴在
< br>y
轴
左侧；
b
< br>＝
0
，对称轴是
y
轴；
a
，
b
异号。对称轴在
y
轴右侧；
3
、反比例函数：
4
、正比例函数与反比例函数的对照表：
代数部分
第七章：统计初步
知识点：
一、总体和样本：
在统计时，
我们把所要考察的对象的全体叫做总体，
其中每一考
察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，
样本中个体的数目叫做样本容量。
二、反映数据集中趋势的特征数
1
、平均数
（
1
）
x
1
,
x<
/p>
2
,
x
3
,
,
x
n
的平均数，
x
1
(
x
1
x
2
x
n
)
n
（
2
）加权平均数：如果
n<
/p>
个数据中，
x
1
出现
f
1
次，
x
2
出现
f
2
次
，
…
…
，
x
k
出
现
f
k
次
（
这
里
f
< br>1
f
2
f
k
n
），
则<
/p>
x
1
(
x
1
f
1
x
2
f
2
x
k
f
k
)
n
（
3
）平均数的简化计算：
当一组数据
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
中各
数据的数值较大，并且都与常数
a
接近时，设
< br>x
1
a
,
x
2
a
,
x
3
a
,
,
x
n
a
的平均数为
x
'
则：
x
x
'
a
。
2
、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在
最中间位
置上的数据叫做这组数据的中位数，
如果数据的个数为
偶数中位数就
是处在中间位置上两个数据的平均数。
3
、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这
组数据的
众数。一组数据的众数可能不止一个。
三、反映数据波动大小的特征数：
1
、方差：
(
x
1
x
)
2
(
x
2
x
)
2
(
x
n
< br>x
)
2
（
l
）
x
1
,
x
2
,
x
3
,
<
/p>
,
x
n
的方差，
S
n
2
2
2
2
x
1
x
2
< br>
x
n
2
S
x
（
2
）
简化计
算公式：
（
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
为较
n
2
小的整数时用这个公式要比较方便）
（
3
）
记
x
1
,<
/p>
x
2
,
x
3
,
,
x
n
的
方
差
为
S
2
，
设
a
为
常
数
，
x
1<
/p>
a
,
x
2
a
,
x
3
a
,
,
x
n
a
的方差为
< br>S
`
2
，则
S
2
=
S
`
2
。
注：当
x
1
,
x
2
,
x
3
,
,
x
n
各数据较大而常数
a
较接近时，用该法计算
方差较简便。
四、频率分布
1
、有关概念
（
1
）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，
当数据在
100
个以内时，通常分成
5
－<
/p>
12
组。
（
2
）频数：每个小组内的数据的个数
叫做该组的频数。各个小
组的频数之和等于数据总数
n
。
（
3
）频率：每个小组的频数与数据总数
n
的比值叫做这一小组
的频率，各小组频率之和为
l
。
< br>（
4
）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数
、频率
所列成的表格叫做频率分布表。
（
5
）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以
数据的各分点为横坐标，
以频率除以组距为纵坐标的直方图，
叫做频
率分布直方图。
图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。
每个小长方形的面积等于该组的频率。
所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于
1
。
样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量
n
的
比例的大小，
总体分布反映总体中各组数据的
个数分别在总体中所占
比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。<
/p>
2
、研究频率分布的方法；得
到一数据的频率分布和方法，通常
是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是：<
/p>
（
1
）计算最大值与最小值的差；
（
2
）决定组距与组数；
（
3
< br>）决
定分点；
（
4
）列领率分布表；
（
5
）绘
频率分布直方图。
几何部分
第一章：线段、角、相交线、平行线
知识点：
< br>一、
直线：
直线是几何中不加定义的基本概念，
直线的两大特征
是“直”和“向两方无限延伸”
。
二、直线的性质：经过两
点有一条直线，并且只有一条直线，直
线的这条性质是以公理的形式给出的，
可简述为：
过两点有且只有一
条直线，两直线相交
，只有一个交点。
三、射线：
1
、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。
2
．射线的特征：
“向一方无限延伸，它有一个端点。
”
四、线段：
1
、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点
叫做线段的端点
。
2
、线段的性质（公理）
：所有连接两点的线中，线段最短。
五、线段的中点：
1
、
定义如图
1
一<
/p>
1
中，
点
B
把线段
AC
分成两条相等的线段，
点
B
叫做线段图
1
－
1AC
的中点。
2
、表示法：
∵
AB
＝
BC
∴点
B
为
AC
的中点
或∵
AB
＝
1
MAC
2
∴点
B
为
A
C
的中点，或∵
AC
＝
2AB
，∴点
B
为
AC
的中点
反之也成立
∵点
B
为
A
C
的中点，∴
AB
＝
< br>BC
或∵点
B
为
AC
的中点，
∴
AB=
1
AC
2
或∵点
B
为
A
C
的中点，
∴
AC=2BC
六、角
1
< br>、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形
叫做角。
要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；
②
这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条
射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所形
成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位
置的射线就形成了一个角。
2
．
角的平分线定义：
一条射线把一个角分成
< br>两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。表示法
有三种：如图
1
—
2
（
1
）∠
AOC
＝∠
BOC <
/p>
（
2
）∠
AOB
＝
2
∠
AOC
＝
2
∠
COB
（
3
）∠
AOC
＝∠
< br>COB=
1
∠
AOB
2
七、角的度量：度量角的大
小，可用“度”作为度量单位。把一
个圆周分成
360
等份，每一份叫做一度的角。
1
度
=60
分；
1
分
=60
秒。
八、角的分类：
（
1
）锐角：小于直角的角叫做锐角
（
2
）直角：平角的一半叫做直角
（
3
）钝角：大于直角而小于平角的角
（
4
）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当
终止位置和
起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。
（
5
）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一
个方向旋转，当
终边和始边重合时，所成的角叫做周角。
（
6
）
周角、
平角、
直角的关系是：
l
周角
=2
平角<
/p>
=4
直角
=360
°
九、相关的角：
1
、
对顶角：
一个角的两边分别是另一个角的两边
的反向延长线，
这两个角叫做对顶角。
2
、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角
做互为补
角。
3
、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为
余角。
4
、邻补角：有公共顶点，一条公共边
，另两条边互为反向延长线
的两个角做互为邻补角。
注意：
互余、
互补是指两个角的数量关系，
与两个角的位置无关，
而
互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
十、角的性质
1
、对顶角相等。
2
、同角或等角的余角相等。
3
、同角或等角的补角相等。
十一、相交线
1
、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条
直线的斜线。
它们的交点叫做斜足。
2
、
两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一
个角是直角时，就说这两条直
线互相垂直。
3
、垂线：当
两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条
直线的垂线，它们的交点叫做垂足。<
/p>
4
、垂线的性质
（
l
）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
（
2
）
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，
垂线段最短。
简单说：垂线段最短。
十二、距离
1
、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。
2
、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到
直线的距
离。
3
、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一
点向另一条直
线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。
说明：
点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间
的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。
十三、平行线
1
、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2
、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与
这条直线
平行。
3
、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么
这两条直线
也互相平行。
说明：
也可以说两条射线或两条线段平行，
这实际上是指它们所
在的直线平行。
4
、平行线的判定：
（
1
）同位角相等，两直线平行。
（
2
）内错角相等，两直线平行。
（
3
）同旁内角互补，两直线平行。
5
、平行线的性质
（
1
）两直线平行，同位角相等。
（
2
）两直线平行，内错
角相等。
（
3
）两直线平行，同旁内角互补。
说明：
要证明两条直线平行，
用判定公理（或定理）在已知条件
中有两条直线平行时，则应用性质定理。
6
、如果一个角的两边分别平行于另一个
角的两边，那么这两个
角相等或互补。
注意：
当角的两边平行且方向
相同
（或相反）
时，
这两个角相等。<
/p>
当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。
几何部分
第二章：三角形
知识点：
一、关于三角形的一些概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫
做
三角形。
组成三角形的线段
叫三角形的边；
相邻两边的公共端点叫三角形
的顶点；相邻两边
所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。
1
、三角形的角平分线。
<
/p>
三角形的角平分线是一条线段
（顶点与内角平分线和对边交线间<
/p>
的距离）
2
、三角形的中线
三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）
3
．三角形的高
三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）
注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
如图
2
－
l
，
AD
、
BE
、
CF
都是么
< br>ABC
的角平分线，它们都在
△
ABC
内
< br>如图
2
－
2
，
AD
、
BE
、
CF
都是△
ABC
的中线，它们都在△
ABC
内
而图
< br>2
－
3
，说明高线不一定在
△
ABC
内，
图
2
—
3
—
（
1
）
图
2
—
3
—
（
2
）
图
2
－
3
一（
3
）
图
2
－
3
—（
1
）
，中三条高线都在△
ABC
内，
图
2
－
3
－（
2
）
，中高线
CD
在△
ABC
内，而高线<
/p>
AC
与
BC
是三
角
形的边；
图
2
－
3
一（
3
）
，中高线
BE
在△
ABC
内，而高线<
/p>
AD
、
CF
在△
ABC
外。
三、三角形三条边的关系
<
/p>
三角形三边都不相等，
叫不等边三角形；
有两条边相等的叫等腰
三角形；三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，
相等的两条边
叫腰，
另一边叫底边，
腰和底边的
夹角
叫底角，两腰的夹角叫项角。
三角形接边相等关系来分类：
不等边三角形
三角形
三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰
等腰三角形
等边三角形
用集合表示，见图
2
－
4
推论三角形两边的差小于第三边。
不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
例如三条线段长分别为
5
，
6
，
1
人因为
5
＋
6
＜
12
，所以这三条
线
段，不能作为三角形的三边。
三、三角形的内角和
定理三角形三个内角的和等于
180
°
由定理可知，
三角形的二个角已知，
那么第三角可以由定理求得。
如已知△
ABC
的两个角为∠
A
＝
90
°，∠
B
＝
40<
/p>
°，则∠
C
＝
1
80
°–
90
°–
40
°＝
50
°
< br>
由定理可以知道，
三
角形的三个内角中，
只可能有一个内角是直
角或钝角。
推论
1
：直角三角形的两个锐角互余。
三角形按角分类：
直角三角形
三角形
锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
用集合表示，见图