初中数学圆的知识点总结
-
圆
知识点一、圆的定义及有关概念
[
来源
:
学
&
科
&
网
< br>Z&X&X&K]
1
、圆的定
义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2
、有关概念：弦、直径
;
弧、等弧
、优弧、劣弧、半圆
;
弦心距
;
等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部
分叫做圆弧，
简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦，
经过圆
心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
例
P
为⊙<
/p>
O
内一点，
OP
=3cm
，⊙
O
半径为
5cm
，则经过
P
点的最短弦
长为
________
；
•
最长弦长为
_______
．
解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和
OP
垂直的弦，答案：
10
cm
，
8 cm.
知识点二、平面内点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，
d
＞
r
；反过来，当
d
＞
r
时，点在圆外。
当点在圆上时，
d
＝
r
；反过来，当<
/p>
d
＝
r
时，点在
圆上。
当点在圆内时，
d
＜
r
；反过来，当
d
＜
r
时，点在圆内。
例
如图，在
Rt
△
ABC
中，直角边
AB
3
，
BC
4
，点
E
，
F
分别是
BC
，
AC
的中点，以点
A
为圆心，
AB
的长为半径画圆，则
点
E
在圆
A
的
_________
，点
F
在圆
A
的
_________
．
解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部
，
4)
．试判断点
练习
：在直角坐标平面内，圆
O
的半径为
5
，圆心
O
的坐标为
(
1
P
(3
，
1)
与圆
O
的
位置关系．
答案：点
P
在圆
O
上．
知识点三、圆的基本性质
1
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2
、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的
弧。
3
、圆具有旋转对称性，特别的
圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
圆心角定理：在同圆或
等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那
- 1 -
么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4
、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
[
来源
学科网
ZXXK]
圆周角定理推论
1
：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角
定理推论
2
：直径所对的圆周角是直角；
90°
的圆周角所对的弦是直径。
例
1
如图，
在半径为
5cm
的⊙
O
中，圆心
O
到弦
AB
的距离为
3cm
，
则弦
AB
的长是（
）
A
．
4cm
B
．
6cm
C
．
8cm
D
．
10cm
解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为
R
，弦长为
a
，圆心到此弦的距离为
d
，
•
根据
垂径定理，有
R
2=
d
2+
（
a
）
2
，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案
C
2
例
2
、
如图，
A
、
B
、
C
、
D
是⊙
O
上的三点，∠
BAC
=30°
，则∠
BOC
的大小是
(
)
A
、
60°
B
、
45°
C
、
30°
D
、
15°
解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：
A
例
3
、如图
1
和图
2
，<
/p>
MN
是⊙
O
的直
径，弦
AB
、
CD
•
相交于
MN
•
< br>上的一点
P
，
•
∠
APM
=
∠
CPM
．
（
1
）由以上条件，你认为
AB
和
CD
大小关系是什么，请说明理由．
（
2
）若交点
P
在⊙
O
的外部，上述结论是否成立？
若成立，加以证明；若不成立，请
说明理由．
A
F
M
P
E
C
A
E
B
B
O
D
N<
/p>
N
D
M
P
F
C
(1)
(2)
解题思路：
（
1
）要说明
AB=CD
，只要证明<
/p>
AB
、
CD
所对
的圆心角相等，
•
只要说明
它们的一半
相等．
上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．
解：
（
1
）
AB=CD
- 2 -
理由：过
O
作
OE
、
OF
分别垂直于
AB
、
CD
，垂足分别为
E
、
F
∵∠<
/p>
APM=
∠
CPM
∴∠
1=
∠
2
OE=OF
连结
OD
、
OB
且
OB
=OD
∴
Rt
△
OFD
≌
Rt
△
< br>OEB
∴
DF=BE
根据
垂径定理可得：
AB=CD
（
2
）作
OE
⊥
AB
，
OF
⊥
CD
，垂足为
E
、
F
∵∠
AP
M=
∠
CPN
且
OP=OP
，∠
PEO=
∠
PFO=90°
∴
Rt<
/p>
△
OPE
≌
Rt
△
OPF
∴
OE=OF
连接<
/p>
OA
、
OB
、<
/p>
OC
、
OD
易证<
/p>
Rt
△
OBE
≌
Rt
△
ODF
，
Rt
△
OAE
≌
Rt
△
OCF
∴∠
1+
∠
2=<
/p>
∠
3+
∠
4
∴
AB=CD
例
4
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，
BD
是⊙
O
的弦，延长
BD
到
C
，使
AC=AB
，
BD
与
CD
的大小有什么关系？为什么？
解题思路：
BD=CD
，因为
AB=AC
，所以这个
△
ABC
是等腰，要证明
D
是
BC
的中
点，
•
只要连结
AD
证明
AD
是高或是∠
BAC
的平分线即可．
解：
BD=CD
理由是
：如图
24
－
30
，连接
AD
∵
AB<
/p>
是⊙
O
的直径
∴∠
ADB=90°
即
AD
⊥
BC
又∵
AC=AB
∴
BD=CD
知识点四、圆与三角形的关系
1
、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2
、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。
3
、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆
心。
4
、三角形的内切圆：与三角形
的三边都相切的圆。
5
、三角形的内
心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
A
O
D
C
B
- 3 -
例
1
如图，
通过防治
“
非典
”
，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，
人们自觉地将生活垃圾倒
入垃圾桶中，
如图
24
－
49
所示，
A
、
B
、
C
•
为市内的三个住宅小区，
环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，
•
要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请
问
如果你是工程师，你将如何选址．
A
C
解题思路：
连结
AB
、
BC
，作线段
AB
、
BC
的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回
收站所在的位置．
例
2
如图，
< br>点
O
是
△
ABC
的内切圆的圆心，
若∠
BAC
=80°
，
则∠
BOC
=
（
）
A
．
130°
B
．
100°
C
．
50°
D
．
65°
解题思路：
此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形
内角平分线的交点，
答案
A
例
3
如图，
Rt
△
ABC
，∠
C
=90°
，
AC
=3cm
，
BC
=4cm
，则它的外心与顶点
C
的距离为
（
）
．
A
．
5 cm
B
．
2.5cm
C
．
3cm
D
．
4cm
解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案
B
B
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
当直线和圆相交时，
d
＜
r
；反过来，当
d
＜
r
时，直线和圆相交。
[
来源
:]
B
A
C<
/p>
当直线和圆相切时，
d
＝
r
；反过来，当
d
＝
r
时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，
d
＞
r
；反过来，当
d
＞<
/p>
r
时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，
这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切
线长。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，
它
们的切线长相等，
圆心和圆外这点的连线
平分两条切线的夹角。
- 4 -
例
1
、
在△
ABC
中，
B
C
=6cm
，∠
B
=30°
，∠
C
=45°
，以
A
为圆心，当半径
r
多长时所
作的⊙
A
< br>与直线
BC
相切？相交？相离？
解题思路：
作
AD
⊥
BC
于
D
在
在
中，∠
B=30°
∴
中，∠
C=45°
∴
CD=AD
∵
BC=6cm
∴
∴
∴
当
当
时，<
/p>
⊙
A
与
BC
相切；当
时，
⊙
A
与
BC
相离。
例
2
．
如图，
AB
为⊙
O
的
直径，
C
是⊙
O
上一点，
D
在
AB
< br>的延长线上，
且∠
DCB
=•<
/p>
∠
A
．
（
1
）
CD
与⊙
O
相切吗？如果相切，请你加以证明，如果
不相切，请说明理由．
（
2
）若
CD
与⊙
O
相切，且∠
D
=30°
，
BD
=10
，求⊙
O
的半径．
解题思路：
（
1
）要说明<
/p>
CD
是否是⊙
O
的切线，只要说明
OC
是否垂直于
CD
，垂足为
C
，
•
因为
C
点已在圆上．
由已知易得：∠
A=30°
，又由∠
DCB=
∠
A
=30°
得：
BC=BD=10
解：<
/p>
（
1
）
CD
与⊙
O
相切
理由：①
C
点在⊙
O
上（已知）
②∵<
/p>
AB
是直径
∴∠<
/p>
ACB=90°
，即∠
ACO+
∠
OCB=90°
∵∠<
/p>
A=
∠
OCA
且
∠
DCB=
∠
A
∴∠
OCA=
∠
D
CB
∴∠
OCD=90°
综上：
CD
是⊙
O
的切线．
（
2
）在
Rt
△
OCD
中，∠
D=30°
∴∠
COD=60°
∴∠
A=30°
∴∠
BCD=30°
∴
BC=BD=10
∴
AB=20
，∴
r=10
答：
（
1
）
< br>CD
是⊙
O
的切线，
（
2
）⊙
O
的半径是
10
．
时，
⊙
A
与
BC
相交；
C
A
O
B
D
- 5 -
知识点六、圆与圆的位置关系
重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：
< br>
内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切：
外
切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
< br>
相交：两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为
r
1
、
r
2
，圆心距（两圆圆心的距离）为
d
，则有两圆的位置关系，
d
与
r
1
和
r
2
之间的关系．
外离
d
>
r
1
+
r
2
外切
<
/p>
d
=
r
1
+
r
2
相交
│
r
1
－
r
2
│<
d
<
r
1
+
r
2
< br>
内切
d<
/p>
=│
r
1
－
r
2
│
内含
0≤
d
<│
r
1
－
r
2
│
（其中
d
=0
，两圆同心）
例
1
．两个同样大小的肥皂
泡黏在一起，其剖面如图
1
所示（点
O
，
O
′
< br>是圆心）
，分隔
两个肥皂泡的肥皂膜
PQ
成一条直线，
TP
、
NP
分别为两圆的切线，求∠
TPN
的大小．
（
1
）
(2)
解题思路：要求∠
TPN
，其实就是求∠
OPO′
的角度，很明显，∠
POO′
是正三角形，如
图
2
所示．
解：∵
PO=OO′=PO′
∴△
PO′O
是一个等边三角形
∴∠
OPO′=60°
又∵
TP
与
NP<
/p>
分别为两圆的切线，∴∠
TPO=90°
，∠
NPO′=90°
∴∠<
/p>
TPN=360°
－
2×
90°
－
60°
=120°<
/p>
- 6
-
例
2
．
如
图
1
所示，⊙
O
的半径为
7cm
，点
A
为⊙
O
外一点，
OA
=15cm
，
求：
（
1
）作⊙
A
与⊙
O
外切，并求⊙
< br>A
的半径是多少？
O
A
(1)
(2)
(2
）作⊙
A
与⊙
O
相内切，并求出此时⊙
A
的半径
．
解题思路：
（
1
）作⊙
A
和⊙
O
外切，就是作以
A
为圆心的圆与⊙
O
的圆心距
d=r
O
+r
A
< br>；
（
•2
）
•
作
OA
与⊙
O
相内切，就是作以
A
为圆心的圆
与⊙
O
的圆心距
d=r
A
－
r
O
．
解：如图
2
< br>所示，
（
1
）作法：以
A
为圆心，
r
A
=15
－
7=8
为半
径作圆，则⊙
A•
的半径为
8cm <
/p>
（
2
）作法：以
A
点为圆心，
r
A
′=15+7=22
为半径作圆，则⊙
A
< br>的半径为
22cm
例
3
．
如图所示，点
A
坐
标为（
0
，
3
）
，
OA
半径为
1
，点
B
在
x
轴上．
（
1
）若点
B
坐标为（
4
，
0
）
，⊙
B
半径为
3
，
试判断⊙
A
与⊙
B
位置关系；
（
2
）若⊙
B
过
M
（－
2
，
0
）且与⊙
A
相切，求
B
点坐标．
（
1
）
AB=5>1+3
，外离．
（
2
）设
B
（
x
，
0
）
x≠
－
2
，则
AB=
9
x
2
，⊙
B
半径为
│x+2│
，
①设⊙
B
与⊙
A
外切，则
9
x
2
=│x+2│+1
，
当
x>
－
2<
/p>
时，
9
x
2
=x+3
，平方化简得：
x=0
符题意，∴
B
（
0
，
0
）
，
当
x<
－
2
时，
9
x
2
=
－
x
－
1
，化简得
x=4>
－
2
（舍）
，
②设⊙
B
与⊙
A
内切，则
9
x
2
=│x+2│
－
1
，
当
x>
－
2
时，
9
x
2
=x+1
，得
x=4>
－
2
，∴
B
（
4
，
0
）
，
当
x<
－
2
时，
9
x
2
=
－
x
< br>－
3
，得
x=0
，
_
y
_
A
_
O
_
x
- 7 -
知识点七、正多边形和圆
重点：讲清
正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、
•
边长之间
的关系．
难点：使学生理解四者：正多边形半径、中心角、<
/p>
•
弦心距、边长之间的关系．
正多边形的
中心：所有对称轴的交点；
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。
正
n
边形的
n
条半径把正
n
边形分成
n
个全等的等腰三角形，
每个等腰三角形又被相应
的边心距分成两个全等的直角三角形。
例
1
．
如图，
已知正六
边形
ABCDEF
，
其外接圆的半径是
a
，
•
求正六
边形的周长和面积．
解题思路：要求正六边形的周长，只要求
AB
的长，已知条件是外接圆半径，因此自然
< br>而然，
边长应与半径挂上钩，
很自然应连接
OA
，
过
O
点作
OM
⊥
AB
垂于
M
，
在
Rt
△
AOM•
中便可求得<
/p>
AM
，又应用垂径定理可求得
AB
的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积
组成的．
解：如图所示，由于
ABCDEF
< br>是正六边形，所以它的中心角等于
是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半
径．
因此，所求的正六边形的周长为
6a
在
Rt
△
OAM<
/p>
中，
OA=a
，
AM=
利用勾股定理，可得边心距
OM=
a
(
a
)
=
2
[
来源
学
科
网
]
360
=60°
，
•
△
OBC
6
E
O
D
1
1
AB=
a
2
2
F
A
C
1
2
2
1
2
3
a
M
B
∴所求
正六边形的面积
=6×
×
AB×
OM=6×
×
a×
1
2
1
2
3
3
a=
2
2
3
a
2
例
2
．
在直径为
AB
的半圆内，
划出一块三角形区域，
如图所示
，
使三角形的一边为
AB
，
顶点
C
在半圆圆周上，其它两边分别为
6
和
8
，现要建造一个内
接于
△
ABC•
的矩形水池
DEFN
，其中
D
、
E
在
AB
上，如图
24
－
94
的
设计方案是使
AC
=8
，
BC
=6
．
（
1
）求
△
ABC
的边
AB
上的高
h
．
（
2
）设
DN=x
，且
h
DN
NF
，当
x
取何值时
，水池
DEFN
的面积最大？
h
AB
（
3
）实际施工时，发现在
AB
上距
B
点
1
．
85
的
M
处有一棵大树，问：这棵
大树是否
- 8 -