一元二次方程的根与系数的关系
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一元二次方程的根与系数的关系
一、目标认知
学习目标
1
．掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2
．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的
对称式的值；
3
．能够利用一元二次
方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；
4
．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．
重点
对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中
的运用．
难点
一元二次方程的根与系数的关系的运用．
二、知识要点梳理
一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的两个实根是
x
1
，
x
2
，那么
注意它的使用条件为
a
≠
0
，
Δ≥
0.
.
三、规律方法指导
一元二次方程根与系数的关系的用法：
①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；
②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；
③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；
④已知方程的两根，求这个一元二次方程；
⑤已知两个数的和与积，求这两数；
⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；
⑦讨论方程根的性质。
四、经典例题透析
1.
已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值
.
1.
已知方程
x
2
-6x+m
2
-2m+5=0
一个根为
2
，求另一个根及
m
的值
.
思路点拨：
本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把
x=2
代入原方程，先求
出
m
的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一
个根及
m
的值
.
解
：法一：把
x=2
代入原方程，得
2
2
-6
×
2+m<
/p>
2
-2m+5=0
即
m
2
-2m-3=0
解得<
/p>
m
1
=3
，
m
2
=-1
当
m
1
=3
，
m
2
=-1
时，原方程都化为
< br>
x
2
-6x+8=0
∴
x
1
=2
，
x
2
=4
∴方程
的另一个根为
4
，
m
< br>的值为
3
或
-1.
法二：设方程的另一个根为
x.
则
2.
判别
一元二次方程两根的符号
.
2.
不解方程，判别
2x
2
+3x-7=0
两根的符号情况
.
思路
点拨：
因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△
只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察
x
1
·
x
2
或
x
1
+x
2
的正负情况
.
解：
∵△
=3
2
-4
×
2
×
(-7)=65
＞
0
∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为
x
1
，
x
2
，
∵
∴原方程有两个异号的实数根
.
总结升华：
判别根的符号，
需要
“根的判别式”
，
“根与系数的关系”
结合起来进行确定
.
另外本题中
x
1
< br>·
x
2
＜
0
，可判定根为一正一负，若
x
1<
/p>
·
x
2
＞
0
，仍需考虑
x
1<
/p>
+x
2
的正负，从而
判别是两个正根还是两个负根
.
举一反三：
【变式
1
】
当
m
为什么实数时，关于
x
的二次方程
mx
2
-2(
m+1)x+m-1=0
的两个根都是
正数
.
思路点拨：
正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大
于零，根的判别式大于等于零
.
解：
设方
程的二根为
x
1
，
x
2
，且
x
1
＞
0
，
x
2
＞
0
，
则有
由
△
=[-2(m+1)]
2
-4m(m-1)
≥
0
，解得：
∵
m
≠
0
，
∴
m
＞
0
或
m
< br>＜
0
，
∴上面不等式组化为：
由⑴得
m
＞
1
；⑵不
等式组无解
.
∴
m
＞
1
∴当
m<
/p>
＞
1
时，方程的两个根都是正数
.
总结升华：<
/p>
当二次项系数含有字母时，不要忘记
a
≠
0
的条件
.
【变式
2
】
k
为何值时，方程
< br>2(k+1)x
2
+4kx+3k-2=0
（
1
）两根互为相反数；
（
2
）两根
互为倒数；
（
3
）有一根为零，另一根不为零
.
思路点拨：
< br>两根“互为相反数”
、
“互为倒数”
，
“有一根为零，另一根不为零”等是对两
根的性质要求，
在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值
.
方程的根互为相
反数，则
x
1
=-x
< br>2
，
即
x
1
+x
2
=0;
互为倒数，则
x
1
=
解：
设方程的两根为<
/p>
x
1
，
x
2
，
，即
x
1
·
x
2
=1
，但要注意考察判别式△≥
< br>0.
则
x
1
+x
2
=
x
1
x
2
=
（
1
）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，
即
x
1
+x
2
=
，∴
k=0
，
当
k=0
时，△
=
(4k)
2
-4
×
2(k+1)(3k-2)=16
＞
0
∴当
k=0
时，方程两根互为相反数
.
（
2
）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是
1
，即
x
1
x
2
=
=1
，解得<
/p>
k=4
当
k=4
时，△
=
(4k)
2
-4
×
2(k+1)(3k-2)=-144
＜
0
∴
k
为任何实数，方程都没有互为倒数的两
个实数根
.
（
3
）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是
零，
即
x
1
x
2
=
=0
，解得
k=
又当
k=
时
，
x
1
+x
2
=
，
当
k=<
/p>
时，△
=(4k)
2
-4
×
2(k+1)(3k-2)=
＞
0
，
∴
k=
时，原方程有一根是零，另一根不是零
.
总
结升华：
研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△
=b
2
-4ac
不得小于
零
.
3.
根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值
.
3.
关于
x
的一元二次方程
x
< br>2
-3x+k+1=0
的两根的平方和小于
5
，
求
k
< br>的取值范围
.
解：
设方程两根
分别为
x
1
，
x
2
，
x
1
+x<
/p>
2
=3
，
x
1
·
x
2
=k+1
∵
x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
=3
2
-2(k+1
)
＜
5
∴
k
＞
1
①
又∵△
=(-3)
< br>2
-4(k+1)
≥
0
∴
k
≤
②
由①②得：
1
＜
k
≤
.
<
/p>
总结升华：
应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组
的思想，确定字母的
取值范围
.
举一反三：
【变式
1
】
已知：方程
x
2
+2(m-2)x+m
2
+4=0
有两个实数根，且这两个根
的平方和比两根
的积大
21
，求
m
的值
.
思路点拨：
本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大
21
”转
化为关于
m
的方程，就可
求得
m
的值
.
解：
∵方程有两个实数根，
∴△
=[2(m-2)]
2
-4
×
1
×
< br>(m
2
+4)
≥
0
解这个不等式，得
m
≤
0
设方程两根为
x
1
，
x
2
，
∴
x
1
+x
2
=-2(m-2)
x
1
·
x
2
=m
2
+4
∵
x
1
2
+x
2
2
-x
1
x
2
=21
∴
(x
1
+x
2
)
2
-3x
1
x
2
=21
∴
[-2(m-2)]
2
-3(m
2
+4)=21
整理得：
m
2
-16m-17=0
解得：
m
1
=17
，
m
2
=-1