判别式 实根分布解决两条二次曲线的公共点个数问题
-
判别式
+
实根分布解决两条二次曲线的公共点个
数问题
数学组
岳国庆
在高考复习和自主招生考试中
，
经常会见到两条二次曲线的公共点个数问题或者二条二次曲
线
位置关系的判断，
此类问题容易受到直线与二次曲线位置关系判断的影响，
仅从判别式与
0
的大小关系来判断位置关系，从而将
题目做错，下面本文从几个自主招生试题中给出这类
问题的解决方法。
< br>
首先，我们来看一个例子。
例
1.
试判
断圆
C:
x
2
y
2
4<
/p>
x
2
0
与抛物线
E:
y<
/p>
2
7
x
有无公共点，并说明理由
.
错解
:
联立方程
x
2
y
2
4
x
2
0
①
y
2
7
x
②
消去<
/p>
y
，得到关于
x
的一个一元二次方程
:
x
3
x
2
0
③
2
9
8
1
0
,
两曲线有公共点
.
这个解法明显是错误的，由方程③解出
两根
x
1
1
，
x
2
2
，代入方程
②
(
或者①
),y
不
存在，所以二条二次曲线是没有公共点的
.
这个解法错误的原因是判别式
0
只保证了
x
有解，而不能保
证
y
有解
.
很多同学在这里会想，
为什么直线与二次曲线的位置判断仅从判别式与
< br>0
的大小关系就可以
了，而两个二次曲线确不行呢？
我们知道
:
在两
个方程①、
②消元得到一个一元二次方程③后，
解出
x
后，
x
代入方程①或者
方程②解
y
都是可以的
.
当然我们代入更简单的方程②来求解
y.
为什么代入方程①或方程②
都可以解出
y
呢？因为方程③是由方程①
-
②得到的，
即
x
y
4
x
2
(
y
7
x
)
0
④，
只要点
(x,y)
的坐标满足了方程②，
即
y
7
x
，<
/p>
代入④一定有
x
y
4
x
2
0
成立，
即
点
(x,y)
同时也满足方程①
,
所以解出
x
后代入方程①或者方程②来解
y
都是可以的
.
而在直
线
与二次曲线联立时，只要判别式
0
，
x
有解，代入直线方程
y
必定有解，所以直线与
二次曲线位置关系只用判别
式就可以了
.
那么，两条二次曲线的公共点个数问题该怎么解
呢？我们应保证在
x
有解的前提下，让
y
也有解，
换句话说，
让
x
有解的前提下，
再让
x<
/p>
的范围在两条二次曲线中任意一条
x
的范
围
之内就可以了
.
所以我们可以用判别
式
+
实根分布知识来完美解决两条二次曲线的公共点个
数问题。
例
2.
(2
008
年浙大自主招生
)
椭圆
x
4
(
y
a
)
< br>
4
与抛物线
x
2
y
有公共点，
求
a
的
取值范围
.
解法
1
：联立方程
x
4
(
y
a
)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
2
2
y
消去
x,
得
到关于
y
的一个一元二次方程
:
2
y
2
(
1
4
a
)
y
2
a
2
2
0
①
在方程
x
2
2
y
中，
y
0
，要使椭圆
x
2
4
(
y
a
)
2<
/p>
4
与抛物线
x
2
2
y
有公共点，因为
正面考虑情况比较复杂，所以从反面考虑，只需要方
程①无解或者
2
根均小于
0
，则
0
或
0
y
1
y
2
0
y
1
y
2
0
即：
(
1
4
a
)
2
8
(
2
a
2
2
< br>)
0
或
(
1
4
a
)
2
8
(
2
a
2
2
)
0
1
4
a
0
2
2
a
2
< br>2
0
2
17
或
a
1
8
17
取补集，有
1
a
8
所以
a
解法<
/p>
2
：令
f
(
y
)
2
y
(
1
4
a
)
< br>y
2
a
2
要使椭圆
x
4
(
y
a
)
<
/p>
4
与抛物线
x
2
y
有公共点，
方程①需满足：两解都在
0
,
或
一解在
0
,
,
另一解在
,
0
所以，
0
2
2
2
2
2
1
4
a
0
< br>
或
f
(
0
)
0
4
f
(
0
)
0
17
或
1
a
1
8
17
取并集，则
1
a
8
即：
1
a
例
3.
已知抛物线
y
2
x
与圆
x
a
y
2
4
< br>，当
a
取何值时，两曲线⑴无公共点
⑵
2
2
有一个公共点
⑶有两个公共点
⑷有三个公共点
⑸有四个公共点
.
解：联立方程
y
2
x
2
2