证明根号2是无理数的八种方法
-
怎样证明
2
是一个无理数
第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的
2
是一个非常著名的无理数，
代价
——<
/p>
后世的数学史家所说的
“
第一次数学危机
”
盖源于此
.
风暴过去后，唤醒的却是数学家
们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲
，
2
的发现是人们对真理的追求、
探索
以致明朗的一个极好例证
.
换一个角度来看这个数，我们可以
把它看作一根
“
晾衣绳
”
，上面挂着许多有趣的方法，
值得你仔细玩味
.
我们准备从不同的角度来证明
2
是一个无理
数，从而体会这一点
.
证法
1
：
尾数证明法
.
假设
2
是一个有理数，即
2
可以表示为一个分数的形式
2
=
a
.
b
其中
(
a,b
)=1
，且
< br>a
与
b
都是正整数
.
则
a
2
< br>
2
b
2
.
由于完全平方数
b
2
的尾数只能是
0
、
1
、
4
、
5
、
6
、
9
中的一个，因此
2
b
2
的尾数只能是
0
、
2
、
8
中的一个
.
因为
a
2
2
b
2
，所以
a
2
与
2
b
2
的尾
数都是<
/p>
0
，因此
b
2<
/p>
的尾数只能是
0
或
5
，因此
a
与
b
有公因数
5
，与
< br>(
a,b
)=1
矛盾！因此
2
是
无理数
. <
/p>
这个证法可以证明被开方数的尾数是
2
、
3
、
7
、
8
的平方根都是无理数
.
a
证法
2
：
< br>奇偶分析法
.
假设
2
=
.
其中
(
a,b
)=1
，且
a
与
b
都是正整数
.<
/p>
则
a
2
2
b
2
.
可知
a
b
是偶数，
设
a
=2
c
,
则
4
c
2
2
b
< br>2
，
b
2
2
c
2
，
可知
b
也是偶数，
因此
a
、
b
都是偶数，
这与
(
a,b
)=1
矛盾！因此
2
是无
理数
.
希帕索斯就是用这种方法证明了
2
不是有理数，
动摇了毕达哥拉斯学派的
“
万物皆数
(
任
< br>何数都可表示成整数之比
)”
的数学信仰，使毕达哥拉斯
学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬
身海底
.
证法
3
：仿上，得到
a
2
2
b
2
，易见
b
>1
，否则
b=
1
，则
2
=
a
是一个整数
,
这是不行的
.
a
2
2
b
2
改写成
b
2
a
a
a
.
因为
b
>1
，
因此
b
有素因子
p
，
因此<
/p>
p
整除
或
a
，
总之，
p
整除<
/p>
a
，
2
2
因此
p
同时整除
a<
/p>
与
b
，这与
(<
/p>
a,b
)=1
矛盾
.
证法
4
：仿上，得到
a
2
2
b
2
，等式变形为
b
2
a
2
b
2
< br>(
a
b
)(
a
b
)
，因为
b
>1
，因此
存在素因子
p
，
p
整除
a+b
或
a-b
之一，
则同时整除
a+b
与
a-b
，
因此
p
整除
a
，
因此
p
是
a
、
b
的公因数，与
(
a,b
)=1
矛盾
.
证法
5
：利用代数
基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地
写成素数幂的积的形
式，
因此
a
p
1
1
p
2<
/p>
2
p
m
m
，
b
q
1
1
q
2
2
q
n
n
，
其中
p
1
,
,
p
m
与
q
1
,
,
q
n
r
r
r
s
s
s