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2021年2月13日发(作者：踏遍天涯路)

☆教学基本信息

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A

版必修

1

第三章

3.1.1

方程的根与函数零点

河北省威县第二中学

☆指导思想与理论依据

冯慧颖

由教师的教向学生的学转化是 现代教学观现代教学观要求使用发展的观点看

待学生，着眼< /p>

于调动学生学习的积极性和主动性，教给学生学习的方法，培养学

生学习能力，即着眼于培养学

生不断学习、不断探索、不断创新 的能力，以适应

不断变化的世界；由特殊到一般的认知过程

☆教材分析

函数零点是研究当函数； ：的值为零时，相应的自变量「的取值，反映在函数

图象上，也就是函数图象与才轴的交点横坐标。

由于函数」：的值为零即」：「，若方程

:

'■有解，则函数；：存在零点

,

且 方程的根就是

相应函数的零点，也是函数图象与

，轴的交点横坐标•顺理成章

的，方 程的求解问题，可以转

化为求函数零点的问题。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数

K*

在区间

［

a,b

］

上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足

< p>

f(a)

•

f(b)<0

，

则函数■在区间

(a, b)

内

至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单

< br>调性等性质进行判断

.

定理的逆命题不成立。

< p>

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊 的、

具体的二次函

数入手，建立二次 函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推

广到一般的、 抽象的函数与相

应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了

类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学

习做好准备，而

且揭示了方程与函数 之间的本质联系，这种联系正是中学数学重

要思想方法一一“ 函数与方程思

想”的理论基础

.

可见， 函数零点概念在中学数

学中具有核心地位。

☆学情分析

学生已有的认知基础是， 初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函

数值为

0

时，求

相应自变量的值”的问题，初 步认识到二次方程与二次函数的联

系，对二次函数图象与，轴 是否

相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，

已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本

初等函数的图象与性质。

以二次 方程及相应的二次函数为例，弓

I

入函数零点的概念，说明方程 的

根与函数零

点的关系，学生并不会 觉得困难。学生学习的难点是准确理解零点存

在性定理，并针 对具体函数

（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。

< /p>

教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系；而

零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与

轴的交点的情况，来研

究函数零点的情况，加深学生对零点存在性定理的理解。

☆教学目标

通过本课教学，要求学生 ：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在

此基础上， 学会

将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存

在性定理，并能初步确定具体函

数存在零点的区间。

1

•能够结合具体方程（如二次方程） ，说明方程的根、相应函数图象与

的交点横坐标以及相应函数零点的关系；

2.

正确理解函数零点存在性定理： 了解图象连续不断的意义及作用；知道定

理只是函数存

在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；

3.

能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；

4.

能顺利将一个方程求解问题转化 为一个函数零点问题，写出与方程对应的

函数；

并会判断存在零点的区间（可使用计算器）。

V

轴

☆教学重点和难点

教学重点：函数零点的概念及零点的求法

教学难点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。

☆教学过程

1.

方程的根与相应函数图象的关系

复习 总结一元二次方程与相应函数与

-

轴的交点及其坐标的关系

:

元二次方程根的情况判断：

_

_____________________________

图象与上轴交点个数

:

_____________________________

图象与

h

轴 交点坐标

:

_____________________________

意图：回顾二次函数图象与

J

轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相

应方程关系作准

备。

问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？

画出函数的图象：

| =

4

、「一

I

与，轴的交点和相应方程的根的关系。

函数

尸八门

的图象与》轴交点，即当

'

，该方程有几个根

，工」

的图象与

x

轴就有几个交点，且方程的根就是交 点的横坐标。

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2

•函数零点概念

< br>对于函数

':

，把使」：「的实数」叫做函数丄」：的零 点。

说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值。

3

•方程的根与函数零点的关系

方程

/W

有实数根二：

函数

几工）

的图象与丁轴有交点

=

o

比较函数图象

函数

'

「：有零点

以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为

函数问题来求

解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题•这 正是函数与方程

思想的基础。

4

.

零点存在性定理

问题二、观察图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整

函数图象，并问：是否有某时刻的温度为

0C?

为什么？（假设气温是连续变化

的）

意图：通过类比得出零点存在性定理。

给出零点存在性定理：如果函数

'-

'■在区间

-''-

上的图象是连续不断一条

曲线，并且有匸•'「；

「，那么，函数

＜在区间内有零点< /p>

.

即存在

■' ■'，

使得「；

'

，这个

c

也就是方程

:

的根。

问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。

ji

= -

+

2

结合函数.“的图象说明。

r

k

问题四、若

''

， 函数

I

二、；

㈡

在区间在「〔上一定没有零点吗？

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