八年级四边形与折叠、旋转
-
四边形与折叠、旋转
1
、如图，已知
P
是正方形
ABCD
内的一点，且
△
ABP
为
等边三角形，那么∠
DCP
＝
____
___
。
2
、如图
，将一张边长为
12
的正方形纸片
ABCD
的顶点
A
折叠至
DC
边上的点
E
，使
DE
＝
5
，
折痕为
PQ
，则
PQ
的长为
_______
。
（第
1
题图）
（第
2
题图）
3
、将边长为
4cm
的正方形纸片
ABCD
沿
EF
折叠（点
E
、
F
分别在边
AB
、
DC
上），使点
B
落在
AD
边上
的点
M
处，点
C
落在点
N
处，
MN
与
DC
交于点
P
，连接
EP
。如图，若
M
为
AD
边的中点。
（<
/p>
1
）
△
AE
M
的周长为
__
_________
；
（
2
）求证：
EP
＝
AE+DP
。
知识点一
四边形与折叠
【知识梳理】
1
、翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折
180
º
后所形成的新的图形的变化。
2
、翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一
个图形重
合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
3
、解题方法：解这类题抓住翻折前后两个图形是
全等的，弄清翻折后不变的要素。翻折在三大图形运动中
是比较重要的，考查得较多。另
外，从运动变化的图形的特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启
示，这种由特殊
到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。侧重考察翻折问题中
勾股定理的几何计算。
1
【例题精讲】
例
1.
1
、将矩形纸片
ABCD
按如图所示
的方式折叠，
AE
、
EF
为折痕，∠
BAE
＝
30°
，
AB
＝<
/p>
3
，折叠后，
点
C
落在
AD
边上的
C
1
处，并且点
B
落在
EC
1
边上的
B
1
处。则
BC
的长为
< br>_________
。
2
、如图，
EF
为正方形
ABCD
的对折线，将∠
A
沿
DK
折叠使它的顶点
A
落在
EF
上的
G
点，则
∠
DKG
为
__________
。<
/p>
3
、如图，将矩形
ABCD
沿
AC
翻折，使点
B<
/p>
落在点
E
处，连接
DE
、
CE
，过点
E
作
EH
⊥
AC
，垂足为
H
。
（
1
）判断四边形
ACED
是什么图形，并加以证明；
（
2
）若
AB
＝
8
，
AD
＝
6
。求
DE
的长；
（
3
）四边形
ACED
中，比较
AE
+
EC
与
AC
+
EH
的大小。
2
<
/p>
例
2.
1
、如图
，有一正方形的纸片
ABCD
，边长为
3
，点
E
是
DC
边上一点且
DE
＝
< br>1
DC
，把
△
< br>ADE
沿
3
AE
折叠使
△
ADE
落在
△
AFE
的位置，延长
EF
交
BC
边于点
G
，连接
AG
。有以下四个结论
①∠
GAE
＝
45°
；②<
/p>
BG+DE
＝
GE
；
③点
G
是
BC
的中点；④
S
△
ECG
＝
（
1
）其中正确的结论序号
是
_____________
；
（
2
）请选一个你认为正确的结论进行
说理论证。
1
。
3
2
、如图，折叠直角梯形纸片的上底
AD
，点
D
落在底边
BC
上点
F
处，已知
< br>DC
＝
8cm
，
FC
＝
4cm
，则
EC
长
___________
cm
。
【课堂练习】
1
、如图，把长方形纸片
ABCD
沿
EF
折叠后，使得点
D
与点
B
重合，点
< br>C
落在点
Cʹ
的位置上
。
（
1
）折叠后，
DC
的对应线段是
____________
，
CF
的对应线段是
____________
；
（
2
）
若
∠
1<
/p>
＝
60°
，求
∠
2
、
∠
3
的度数；
（
3
）
若
AB
＝
4
，
AD
＝
8
，求折痕
EF
的长度。
3
2
、如图①，在矩形纸片
ABCD
中，
AB
＝
3
1
，
AD<
/p>
＝
3
。
（
1
）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点
D
恰好落在
AB
边上的
Dʹ
处，压平折痕交
CD
于点
E
，则折痕
AE
的长为
__________
；
（
2
）如图③，再将四边形
BCEDʹ
沿
DʹE
向左翻折，压平后得四边形
BʹCʹEDʹ
，
BʹCʹ
交
AE
于点
F
，则四边形
BʹFEDʹ
的面积为
____________
；
（
3
）如图④，将图
②中的
A
D
E
绕点
E
顺
时针旋转
角，得到
A
E
D
，使得
E
A
恰好经过点
B
，求弧
D
D
的长度
________
_____
。
3
、矩形
ABCD
中，
AD
＝
5
，
AB
＝
< br>3
，将矩形
ABCD
沿某直线折叠，使点
A
的对应点<
/p>
Aʹ
落在线段
BC
上，再
打开得到折痕
EF
。
（
1
）当
Aʹ
与
B
重合时，（如图
1
< br>），
EF
＝
_________
；当折痕
EF
过点
D
时（如图
2
），求线段
EF
的
长；
（
2
）观察图
3
和图
4
，设
BAʹ
＝
x
，①
当
x
的取值范围是
_________
时，四边形
AEAʹ
F
是菱形；②在①的
条件下，利用图
4
证明四边形
AEAʹ F
是菱形。
4
知识点二
四边形与旋转
【知识梳理】
1
、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形
运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。
< br>
2
、旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角
都相等，都等于图形的旋转角。
3
、
动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动
变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等。
4
、以动点问题、平面图形的平移、翻折、
旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、
解答等各种题型中，考查
同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。
< br>5
、解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”
中求“静”，在“静”中
探求“动”
的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。
6
、旋转模型
（
1
）正三角形类型
（
2
）正方形类型
（
3
）
等腰直角三角
形类型
【例题精讲】
例
1.
1
、如图，
P
为正方形
ABCD
内一点，
PA
：
PB
：
PC
＝
1
：
2
：
3
，则∠
APB
＝
________
___
。
2
、已知，菱形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
BC
、
CD
上的点，且
B
＝
<
/p>
EAF
＝
60°
，
BAE
＝
18°
。
求
CEF
的度数。
5
【课堂练习】
1
、如图
1
，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
上一点，
F
是
AD
延长线上一点，且
DF
＝
BE
。
（
1
）
求证：
CE
＝
CF
；
（
2
）如图
2
，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
上一点，
G
是
AD
上一点，如果
GCE
＝
45°
，请你利用
（
1
）的结论证明：
GE
＝
BE+GD
。
（
3
）运用（
1
）（
2
）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图
3
，在直角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
（
BC
＞
AD
），
∠
B
＝
90°
，
AB
＝
BC
，
E
是
AB
上一点，且
∠
DCE
＝
45°
，
BE
＝
4
，
DE
＝
10
，求直角梯形
ABCD
的面积。
2
、在正方形
ABCD
的边
AB
上任取一点
E
，作
EF
⊥
AB
交
BD
于点
F
，如图
1
。
（
1
）将图
1
中的
△
BEF
绕点
B
逆时针旋转
90°
，取
DF
的中点
G
，连接
EG
，
CG
，如图
2
，则线段
EG
和
CG
有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
（
2
）将图
1
中的
△
BEF
绕点
B
逆时针旋转
180°
，取
DF
的中点
G
，连接
E
G
，
CG
，如图
3
，则线段
EG
和
CG
有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（
3
）将图
1
中的
△
BEF
绕点
B
逆时针旋转任意角度，取
DF
的中点
G
，连接
E
G
，
CG
，如图
4
，则线段
EG
和
CG
又有怎样的数量关系和位置关系
？请写出你的猜想，并加以证明。
6