应用反比例函数中k的几何意义解题举例
-
反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积
一般地
，
如图
1
，
过
双曲线上任一点
A
作
x
轴、
y
轴的垂线
AM
、
AN
，
，
所得矩形
AMON
的面积为：
S=AM×
AN=|x|×
|y|=|xy|.
又∵
y=
∴
S
矩形
AM
ON
=|k|.
∴
S
< br>
AOM
k
，
< br>∴
xy=k.
x
1
|
k
|
.
2
Y
N
O
图
1
A
这就是说，过双曲线上任一点，做
X
轴、
Y
轴的垂线，
所得矩形的面积为
|k|,
这是系数
k
的几何意义，明确了
k
的几
何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：
1
、
求函数的解析式
M
X
例<
/p>
1
如图
2
所示，
在平面直角坐标系中，
一次函数
y
kx
1
的图象与反比例函数
y
9
x
的图象在第一象限相交于点
A
．过点
A
分别作
x
轴、
y
轴的垂线，垂足为点
B
、
C
．如果
四边形
OBAC
是正方形，求一次函数的关系
式．
9
解析
四边形
OBAC
是正方形及反比例函数
y
<
/p>
的图象
x
在第一象限相交于点
A
，
则正方形
OBAC
< br>的面积为：
S
＝
xy
＝
9
，
所以正方形的边长
为
3
，即点
A
的坐标（
3
，
3
，
）
。
将点
A
（<
/p>
3
，
3
，
）代入直线得
y=
2.
特殊点组成图形的面积
例
2
如图
3
，点
A
、
B
是双曲线
y<
/p>
C
A
O
图
2
B
x
2
x+1
。
3
3
上的点，分别经过
A
、
B
两点向
x
轴、
y
轴作
x
y
垂线段，若
S
阴影
1
，
则
S
1
< br>
S
2
．
解析
由
A,
B
分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，
∴
S
1
+S
阴影
＝
S
2
+S
阴影
＝
xy
＝
3.
∵
S
阴影
1
，
∴
S
1
S
2
2
＋
2
＝
4
。
例
3
如图
4
，
A
、
B
是函数
y
A
S
1
S
2
O
图
3
B
x
2
的图象上关于原点对称的任意
x
图
4
1
两点，
BC
∥
x
轴，
AC
∥
y
轴，△
ABC
的面积记为
S
，则（
）
A
．
S
2
B
．
S
4
C
．
2
S
4
D
．
S
< br>4
2
的图象上关于原点对称的任意两点，
x
1
∴
△
ABC
的面积
记为
S
＝
4S
△
AOD
=4×
xy=4.
2
解析
∵
A<
/p>
、
B
是函数
y<
/p>
3
、求字母的值
例
4
如图
5
，直线
y=
mx
与双曲线
y=
k
< br>交于
A
、
B
两点，过点
x
图
5
A
作
AM
⊥
x
轴，
垂足为
M
，
连结
BM,
若
S
ABM
=2
，
则
k
的值是
（
）
A
．
2
B
、
m-2
C
、
m
D
、
4
解析
<
/p>
∵直线
y=mx
与双曲线
y=
所以
S
ABM
=2S
△
AOM
=2×
xy=xy=2
∴
k=2
。
k
交于
A
、<
/p>
B
两点，已知
A,B
两点关于原点
O
对称，
x
1
2
例
5
如图
6
，已知双曲线
y
(
k
＞
0
)
经过直角三角形
OAB
斜边
OB
的中点
D
，与直角
边
AB
相交于点
C
．若△
OBC
的面积为
3
，则
k
＝
__
__________
．
解析：由双曲线
y
< br>
(
k
＞
0
)
经过直角三角形
OAB
斜边
OB
的中点
D
，
设点
D
的坐标（
x,y
）
，又
DE
∥
BA,
∴点
B
的坐标为（
2x,2y
）
，
∵△
OBC
的面积
3,
k
x
k
x
1
1
=
×
2x×
2y=2xy=2k=3,
2
2
3
∴
k=
.
2
∴
4
、求线段的长度
例
6
如图
7
，
已知一次
函数
y
x
1
的图象与反比例函数
y
图
6
k
的图象在第一象限相交
x
于点
A
，与
x
轴相交于点
< br>C
，
AB
⊥
x
轴于点
B
，
△
AOB
的面积为
1
，则
AC
的长为
（保留根号）
．
解析：∵
△
AOB
的面积为
1
，
< br>
2