风筝模型和梯形蝴蝶定理
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风筝模型和梯形蝴蝶定理
知识框架
板块一
风筝模型：
（又叫任意四边形模型）
D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
C
S
4
①
< br>S
1
:
S
2
S
4
:
S
3
或者
S<
/p>
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
S
1
S
2
:
S
4
S
3<
/p>
风筝模型为我们提供了解决不规则四
边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四
边形的面积关系与四
边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
(
“梯形蝴蝶定理”
)
：
A
S
2
a
S
1<
/p>
O
S
3
S
4
D
B
b
C
①
S
1
:
S
3
a
2
:
b
2
②
S<
/p>
1
:
S
3
:
S
2
:
S
4
a
2
:
b
2
:
ab
:
ab
；
③
S
的对应份数为
a
< br>b
．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用
结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(
具
体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行
说明
)
2
例题精讲
【例
1
】
图中的四边形土地的总面积是
52
公顷
，两条对角线把它分成了
4
个小三角形，其中
< br>2
个小三角
形的面积分别是
6<
/p>
公顷和
7
公顷．那么最大的一个三角形的
面积是多少公顷？
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10
<
/p>
D
6
C
7
B
6
7
E
A
【
巩
固
】
如
图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD
，被对角
线
AC
、
BD
分成四个部分，△
AOB
面积为
1
平方千
米，△
BOC
面积为
2
平方千米，△
COD
的面积为
3
平方千米，公园由陆地面积是
6
．
92
平方千米
和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
C
B
O
A
D
【例
2
】
如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG
:
GC
？
A
2
B
C
1
G
3
D
【
巩
固
】
在
△
ABC
中
BD
AE
OB
=2:1,
=1:3
，求
=?
DC
EC
OE
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【例
3
】
如图相邻两个格点间的距离是
1
，则图
中阴影三角形的面积为
．
A
D
B
C
【
巩
固
】
如
图，每个小方格的边长都是
1
，求三角形
ABC
的面积．
E
D
A
B
C
【例
4
】
如图，平行四边形
ABCD
的对角线交
于
O
点，
△
C
EF
、
△
OEF
、
△
ODF
、
△
BOE
的面积依次
是
2
、
4
、
< br>4
和
6
．求：⑴求
△
OCF
的面积；⑵求
△<
/p>
GCE
的面积．
A
O
G
B
E
C
F
D
【
巩
固
】
如
右上图，已
知
BO=2DO
，
CO=5AO
，阴影部分的面积和是
11
平方厘米，求四边
形
ABCD
的面积。
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【例
5
】
如图，
S
2
2
，
S
3
4
，求梯形的面积．
S
1
S
2
S
3
S
4<
/p>
【
巩
固
】
如
下图，梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，对角线
AC
，
< br>BD
交于
O
，已知
△
AOB
与
△
BOC
的面积
分别为
25<
/p>
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是
________
平方厘米．
A<
/p>
25
O
D
35<
/p>
B
C
【例
6
】
梯形
A
BCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，
已知梯形上底为
2
，
且三角
形
ABO
的面积等于三角形
BOC
面积的
2
，求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
3
A
D
O
B
C
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【
巩
固
】
如下图，
四边
形
ABCD
中，
对角线
AC
和
BD
交于
O
点，
已知
AO
1
，
并且
那么
OC
的长是多少？
<
/p>
三角形
ABD
的面积
3
，
三角形
CBD
的面积
5
B
A
O
C
D
【例
7
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC
的面积是
9
cm
2
，问三角形
AOD
的面积是多少？
A
D
O
B
C
【
巩
固
】
如
图，梯形
ABCD
中
，
AOB
、
COD
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
AB
CD
的面积．
A
B
O
D
C
【例
8
】
如下图，
一个长方形被一些直线分成了若干个小块，
已知三角形
ADG
的面积是
11
，
三角形
BCH
的面积是
23
，求四边形
EGFH
的面积．
< br>
A
G
D
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10
F
B<
/p>
H
C
E