中学数学教学精品论文集[共30篇精品论文]
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中学数学教学精品论文集
目
录
重视数学史在数学教育中的作用
.............
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.............................. 1
试谈初中学生数学思维能力的培养
.
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.................................................
4
初中数学教材“去括号法则”的实验研究
.
....................................
..................................................
......................................
6
课堂上如何激发学生学习数学的兴趣
.
......................................
..................................................
...........................................
10
浅谈课堂教学中的问题设计
.
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..................................................
.................................................
12
如何在数学教学中进行德育渗透
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..................................................
.........................................
13
数学课堂教学的探究
....
..................................................
..................................................
..................................................
.......... 15
数学课堂教学中的“设疑”艺术
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..................................................
............................ 18
新课程教学过程中数学史方面的教育教学
.
....................................
..................................................
.................................... 20
重视数学史在数学教育中的作用
.............
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..................................................
............................ 23
开放了教学，开放了空间
.....
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..................................................
26
试论灵活设问与创造性思维的培养
.
.......................................
..................................................
...............................................
29
暴露数学思维活动过程加强学生思维能力的培养
.
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......................... 31
浅论数学直觉思维及培养
.....
..................................................
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..................................................
32
如何使数学教学成为数学活动的教学
.
......................................
..................................................
...........................................
35
如何培养学生的猜想和直觉能力
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..................................................
.........................................
38
初中学生自主学习数学的习惯培养
.
.......................................
..................................................
...............................................
41
当堂达标教学中的数学练习题设计
.
.......................................
..................................................
...............................................
45
浅论数学直觉思维及培养
.........................................
..................................................
..................................................
.............. 47
浅谈在数学教学中开发和培养学生的非智力因素
.
.................................
..................................................
......................... 50
如何培养学生的猜想和直觉能力
.............
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..................................................
............................ 52
如何使数学教学成为数学活动的教学
.
......................................
..................................................
...........................................
54
活上复习课
提高复习效率
..........
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..................................................
......................................
58
解后反思一—
学好初中数学的关键之一
.....
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..................................................
.................... 61
开发和利用生成性教学资源
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................................... 62
打造幸福的数学课堂
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..............................................
62
课堂上如何激发学生学习数学的兴趣
.
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...........................................
67
情境教学要为数学本质服务
.
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69
如何在数学教学中进行德育渗透
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.........................................
72
数学课堂教学的探究
....
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..................................................
.......... 74
数学课堂教学中的“设疑”艺术
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............................ 77
提如提高数学阅读能力
.
............................................ .................................................. .................................................. ............... 79
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....
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............... 80
可修改
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重视数学史在数学教育中的作用
为了
全面了解数学科学，探索数学发展的规律，达到数学教育的目的，应该开展数学史的教学
与研究，进一步认识数学史在数学教育中的地位和价值，充分发挥数学史知识在进行素质教育方面
的重要作用。
数学史不仅具有沟通文、理的性质，而
且有助于深刻理解数学的文化内涵，对于培养文、理兼
通，
“学
、才、识”兼备的数学专业人才有重要意义。
“学、才、识”即知识、能力以及见识和思
想，
其中“识”更是引导知识和能力走向何方的根本性问题。如果数学教育只停留在数学
理论本身的学
习上，甚至对数学理论的实质也没有深入探究，学生就不可能理解依托于数
学知识体系之上的数学
思想和信仰，贯穿于数学研究活动中的科学精神（包括科学的实证
精神、理性精神、批判精神）和
数学的美感及鉴赏能力，与数学的社会功能密切相关的伦
理准则等数学文化的底蕴，更不会形成
“才”与“识”
。因此，
学习数学史是以“素质教育”为目标的数学教育的内在要求，它对于培养
学生的人文主义
精神以及数学观念、数学能力、数学整体意识有特殊意义。
1
、认识数学的发展规律，了解榜样的激励作用，减少学生数学学习时走“弯路”。
数学史让我们认识数学发展的规律，了解
昨天，指导今天，预见明天。从前人研究数学的经验
教训中获取鼓舞和力量，以指导和推
动我们今天的数学学习和研究，少走弯路。医治学生“专爱碰
壁钻牛角尖”毛病的良药之
一就是让他们学一些数学史和科学史，不要把宝贵的青春浪费在徒劳的
“研究”上。平时
的教学中，要结合数学史教育，引导学生把精力用在基础知识的学习和基本技能
的提高上
，多做一些有意义的探究活动，以适应新课改学习方式的需要。
许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介
< br>绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，
不仅可以使学生在数学方法上从反面
获得全新的体会
(
这往往能够获得比从正面讲解更好的效果
)
，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学
生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的< /p>
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曲折与艰辛以及那些伟大的
探索者的失败与成功还可以使学生体会到，
数学不仅仅是训练思维的体
< br>操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富的人文内涵。实践经验证明，向学生介绍一些数学家
的生平或者历史上数学进展中的曲折历程，以及在教学中提供一些历史上的真实“问题”
，还可以
激发学生的学习兴趣，促进数学专业课程教学。
2
、了解数学理论发展的历史背景，加深理解数学理
论、公式、定理和数学思维。
数学
史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清数学概念、数学思想和方法的发展过程，
增
长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导。著名数学家外尔
（
H?Weyl
，
1885
－
1955
）
认为：
“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、
方法和
结果，
我们就不可能理解近
50
年来数
学的目标。
”如果教材是根据现代数学的分科来编写，并主要是按照
公理化的思想方法而不是知识的发生过程编排体系，就会使学生在学习数学知识时，常常知其然而
< p>不知其所以然，尤其会对数学概念的发展过程，定理证明的发现过程以及数学各分支之间的联系知< /p>
之甚少。因此，让学生了解数学的发展历史是促进数学学习的必要途径。
< br>
具体地，数学史的作用可以概括为：
（
1
）对数学给出一个整体框架，对数学有一个整体图景，
能认识到各分支之间的相互关系。
（
2
）对数学问题、概念、理论和方法的来龙去脉有一定认识。对
引入它们的动机与产生的
后果有所了解，
以上两点使我们对于某分支在整个数学中的定位能够初步
理解。
（
3
）总结历史上的经
验、教训，借鉴解决问题的各种途径、方向。
（
4
）对数学发展趋势有一
定的估计和预测。
历史不仅可以给出一种确定的数学知识，
还可以给出相应知识的创造过程
。
对这种创造过程的
了解，可以使学生体会到一种活的、真正的
数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天
衣无缝，同时也相对地失去了生气
与天然性、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以
引导我们创造一种探索与
研究的课堂气氛，
而不是单纯地传授知识。
它既可以激发学生对
数学的兴
趣，
培养他们的探索精神，
而
历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握
所学的内容。
如在七年级教空间与图形部分前，
可以向学生介绍有关的数学背景知识
，
特别介绍欧
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几里得的《几何原本》，使
学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。
3
、
抓住数学历史名题，丰富教学内容，展现学习数学新途径。
对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，
数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富
有趣味和探索意义，从而极大地
调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问
题是真实的，因而更为
有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数
学内容的现实
背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要
的；
许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家
探索过的问题，或许这个问题曾难住过许多有名的人物，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习
< p>中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的；而且，历史名题往往可以< /p>
提供生动的人文背景。向学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是
一个静
止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、
犯错误、修正错
误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规
思维，使他们感受到，抓
住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。
数学中有许多著名的反例，
通常的教科书中很少
会涉及它们。
结合历史介绍一些数学中的反例，
可以从反面给学
生以强烈的震撼，加深他们对相应问题的理解。
４、理解数学
中蕴涵的精神、思想、观念、意识，努力提高数学素养
随着人
类社会由工业社会向信息社会的转化，人才观以及成才观也都在发生深刻变化。社会进
步
对数学工作者的需求并不是他们能利用数学的运算去录求解答，
而是借助他们能在复杂错
综的境
遇中，去找寻有条理的分析，有助于最后的决策，即他们的数学素养。数学素养包
括知识、才能和
思想三个方面，
即数学科学知识、
数学能力和数学思想素养。
这三个方面彼此联系，
层
次由低到高。
形成数学素养的关键是要在知识传授、才能培养以及有目的、有计划的素质
教育中让学生理解数学
中蕴涵的精神、思想、观念、意识等内容，并培养他们运用数学的
思想和方法去处理数学问题和现
实问题的意识。而数学的思想和方法、数学研究中的科学
精神以及数学的美，首先是从数学的发展
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史中总结归纳出来的。因此
，学习数学史对于深刻理解数学的内容、思想、方法、语言及其应用，
对于提高教师的数
学素养，具有重要的现实意义。
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试谈初中学生数学思维能力的培养
现代教育观点认为，
数学教学是数学活动的教学，
< br>即思维活动的教学。
如何在数学教学中培养学生的思
维能
力，
养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。
本文谈谈初
中学生数学思维的培养的几点尝试。
一、要善于调动学生内在的思维能力
培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，
要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望 ，
并使同学们认识到数学在四化建设中的重要地位和作用。经常指导学生运用已学的数学
知识和方法解释
自己所熟悉的实际问题。新教材中安排的“想一想”
、
“读一读”不仅能扩大知识面，还能提高同学的学
习兴趣
，是比较受欢迎的题材。适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如列方程解应用题是
< br>学生普遍感到困难的内容之一，主要困难在于掌握不好用代数方法分析问题的思路，习惯用小学的算术
解法，找不出等量关系，列不出方程。因此，我在教列代数式时有意识地为列方程的教学作一
些准备工
作，启发同学从错综复杂的数量关系中去寻找已知与未知之间的内在联系。通过
画草图列表，配以一定
数量的例题和习题，使同学们能逐步寻找出等量关系，列出方程。
并在此基础进行提高，指出同一题目
由于思路不一样，可列出不同的方程。这样大部分同
学都能较顺利地列出方程，碰到难题也会进行积极
的分析思维。
鼓励学生独立思维。初中生受经验思维的影响，思维容易雷同，缺乏探索精神。因而要多
鼓励学生敢于
发表不同的见解。例如比较大小，用“＜”号连接下列各数
1615
、
1211
、
9691
、
3229
，大部分同学都根
据以往经验，利用通分，化为同分母进行比较，因而使计算量大，但也
有一些聪明的学生已看出分子
96
分别是
16
、
12
、
32
的整数倍，只要使分子相同就可作比较。对这种同学应该赞扬与肯定，促进学生思
维
的广阔性。
二、要教会学生思维的方法
孔子说：
“学而不思则罔，思而不学则殆”
。恰当地示明学思关系，才能
取得良好的效果。在数学学习中
要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，
这样有利于培养学生的正确思维方式。
要学生善于思维，必须
重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。
数学概念
、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要
提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。
在
例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学生知道该怎样做，还要让学
生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。这个发现过程可由教师引导学生完成，或由
教师讲出自己的寻找过程。
在数学练
习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。学会从条件到
结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉
及到哪些概念、定理、或计算公式。在解（证）题过程中尽量要学会数学语言、数学符号的运用
。
初中数学研究对象大致可分为两类，
一类是研究数量关系的，
另一类是研究空间形式的，
即
“代数”
、
“几
何”
。要使同学们熟练地掌握一些重要的数学方法，主要有配方法、换之法、待定系数法、综
合法、分析
法及反证法等。
三、要培养学生良好的思维品质
在学
生初步学会如何思维和掌握一定的思维方法后，应加强思维能力的训练及思维品质的培养。
要注意培养思维的条理性与敏捷性。根据解题目标，确定解题方向。要训练学生思维
清晰，条理清楚，
遇到问题能按一定顺序去分析、思考，对复杂问题应训练学生善于于局
部到整体再从整体到局部的思维
方法。学生在思维过程中，要能迅速发现问题和解决问题
。
要注意培养思维的严密性和灵活性。每个公式，法则、定理
都有它的来龙去脉，都有使它成立的前提条
件，都有它特定的使用范围，要做到言必有据
。选择一些习题让学生先做，再针对学生思维中的漏洞进
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行教学分析。例：Ｋ是什么
数时，方程ＫＸ
2
－（
2
Ｋ＋
1
）Ｘ＋Ｋ＝
0
有两个不相等的实数根？很多同学
只注意由△＝［－（
2
Ｋ＋
1
）
< br>］
2
－
4
Ｋ·Ｋ＝
4
Ｋ
2
＋
4
Ｋ＋
1
－
4
Ｋ
2
＝
4
Ｋ＋
1
＞<
/p>
0
，推得Ｋ＞－
14
。而如果
把Ｋ＞－
14
作为本题答
案那就错了，因为当Ｋ＝
0
时，原方程不是二次方程，所以在Ｋ
＞－
14
还得把Ｋ
＝
< br>0
这个值排除。正确的答案应是－
14
< br>＜Ｋ＜
0
或Ｋ＞
0
时，原方程有两个不相等的实数根。
在复习时要精
选一些有代表性、巩固性和灵活性的习题，从各种不同角度，寻求不同的解（证）法，进
行“一题多解”的训练，还可改变条件进行“一题多变”和“多题一解”的训练。这是综合运用数学知
识和方法提高解题能力的重要措施。培养学生思维能力的方法是多种多样的，要使学生思维活跃，最 根
本的一条，就是要调动学生学习数学的积极性，教师要善于启发、引导、点拨、解疑，
使学生变学为思。
当然，
良好的思维
品质不是一朝一夕就能形成的，
但只要根据学生实际情况，
通过
各种手段，
坚持不懈，
持之以恒，就必定会有所成效。
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初中数学教材“去括号法则”的实验研究
摘要
：
“去括号法则”
是各种版本初中数学教材上的教学内容，
学生学习时会经常出现错用法则的现
象。实验表明：完全可以用乘法分配律取代去括号法则
.
这是由于：
（
1
）
“去括号法则”
，增加了记忆负担
和出错的机会
，容易出错；
（
2
）去括号的法则增加
了解题长度，降低了学习效率；
（
3
）
用乘法分配律去
括号的学习是同化而非顺应，易于理解与掌握；
（
4
）用乘法分配律去括号是回归本质，返璞归真，且既
可减少学习时间，又能提高运算的正确率。
关键词：去括号法则
分配律
试验
1
问题的提出
我国各种版本的初中数学
教材
[1]-[6]
上都有
“去括号法则”
一节的教学内容。而
学生在学习“去括号法
则”
时经常会出现不能正确使用法则解题
的错误，
虽然通过教师多次纠正但仍不能彻底矫正。
“能不能用
其它去括号的方法来代替这一法则呢？”笔者
(
本文的第一作者
)
在一次听课时萌发了这一思考。
那是
2003
年
10
月的一天，笔者到一个学校调研听课，内容为“去括号法则
”
。
（教材：义务教育课程标
准实验教
材
（北师大版）
）
。
< br>教师讲完法则后出了一组练习题。
坐在笔者旁边有三个学生在做练习：
“去括
号
-8
（
3a-2ab+4
）
”
。他们分别出现了以下解题过程：
生
1
：
-8(3a-2ab+4)=
-3a+2ab-4
；生
2
：
-8(3a-2ab+4) = -83a+2ab-4
；
生
3
：
-8(3a-2ab+4)= --
（
24a-16ab+32
）
=
-24a+16ab-32.
显然生
1
和生
2
的解都是错误的，
而生
3
才正确。
课后笔者
问生
1
和生
2
，
“你们为什要这样解？”
，
“你
们解法的依据是什么？”他俩都说“我们是用去括号法则来解。根
据去括号法则，括号前面是负号，应
将括号和它前面的符号去掉，
括号里面的各项改变符号即可”
。
生
3
说
“去括号法则是在括号前只有负号
时才能用，这里出现了
-8
，要用法则必须先变为括号前只有负
号才行”
。看来他们都是记住了法则的，但
理解的深度不同。生
1
和生
2
只是
表面上记住了法则而机械地套用，生
3
是真正理解了法则且正确
地运
用了法则解题，结果也正确，但解题长度增加了。而这触发了笔者的如下思考：由于
去括号法则的理论
依据是乘法分配律，能否不讲去括号法则，而只用乘法分配律直接去括
号呢？如果这一想法成立，则既
可以避免学生的上述错误，又可缩短解题长度
,
节约了学生的学习时间和减少了教材的篇幅。因此，它既
对学生的学习有利而且对中数学教材的建设也很有价值。
后来在一次全国性的新课程试验研讨会上，本文第一作者跟南京师大马复教授（义务教育课程标准试验
教科书北师大版数学实验教材主编）谈了我们的想法，马复教授很感兴趣。他建议我们进行实验
，并要
求将实验结果研究写成书面材料给他。
于是我们于
2004
年在我区两个农村学校进行了这一问题的教学实
验研究。
2
研究的过程与方法
2
．
1
实验研究对象
成都市黎明中学
2007
级七年级
2
、
4
两个实验班各
48
人，共
96
名学生（实验教师为本文第二作者）和
成都市柏合中学初
2007
级七年级
1
、
2
、
3
三个班共
140
名学生
。
2
．
2
研究过程与方法
我们采用的是对比实
验研究和调查研究。整个研究分为两个阶段进行。第一阶段为对比实验研究；第二
阶段为
调查研究。
在对比实验研究阶段，
我
们在黎明中学两个班分别采用
“用去括号法则”
去括号和
“用乘法分配律”
去
括号的教学实验。前者我们称之为“对比班”
，后者称之为“实验班”
。在“对比班”则完全按课本上的
内容
和要求教学，
并讲明去括号法则的依据是乘法分配律。
“实验班
”
则不讲去括号法则，
直接用乘法分
配
律去括号。对于形如“
-
（
x-2y<
/p>
）
”的情况，去括号时把括号前的符号看成“
-1
”再用分配律。在结束新
课后我们编制了
14
道只涉及去括号内容的题对这两个班进行测试。
目的是通过测试比较两种方法对学生
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解题正确率和解题速度两个方面所产生的影响。
在调查研究阶段，我们选择另一所完全按教材编写要求进行“去括号法则”教学的学校──成都市柏合
中学进行测试。由于学生在学习去括号法则时已明确了法则的理论依据就是乘法分配律，
因此学生对两
种方法都了解。我们这次测试的目的是调查了解学生在学了“去括号法则”
一段时间后到底愿意选用那
种方法进行去括号。测试时间选在学生学完“去括号法则”结
束
2
个月后，测试对象为该校初
200
7
级七
年级
1
、
2
、
3
三个
班共
140
名学生。这次我们编制了
1
0
道涉及综合运用去括号内容的习题。
3
、研究结果的统计分析
3
．
1
对比试验测试的统计分析
对“去括号
法则”掌握的程度，我们根据学生作对题的个数分为成四类：
（
1
）作对试题
1
到
3
个题的学生为掌握较差（差）
；
（
2
）作对
4
到
7
个题的学生为基本掌握（中
）
；
（
3
）<
/p>
作对
8
到
11
个题的学生为较好掌握（良）
；
（
4
）作对
12
到
14
个题的学生为熟练掌握（优）
。
四类学生所占人数的百分比统计对比如下：
第一次测试不同类学生所用方法对比表（百分比）
作对题的个数
去括号法则（对比班）
乘法分配律（实验班）
1-3
（差）
10
％
9
％
4-7
（中）
10
％
9
％
8-11
（良）
33
％
37
％
可修改
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12-14
（优）
43
％
49
％
用去括号法则所用时间为
9
到
14
分钟；用乘法分配律解题所用时间为
7
到
10
分钟。<
/p>
由统计结果得，做对
1
到
3
个题（差）和
4
到
7
个题（中）两种程度的学生，实验班与对比
班（均以
9
％
比
10
％）差距不大，但做对
8
到
11
个题（良）和作对
12
到
14
个题（优）的两类学生，则实验班明显优
于对比班。
（
37
％
比
33
％和
49
％比
43
％）
。在解题的时间上，实
验班最快的要比对比班快
2
分钟，而最慢
的则更显出优势，实验班比对比班少用
4
分钟。与此可以看出
，用乘法分配律去括号比用去括号法则去
括号正确率高而且解题速度快。
3
．
2
调研测试情况的统计分析
在第二次调
查测试中，对“去括号法则”主要了解学生选用去括号方法的情况。对于解题时是否选择用
“去括号法则”还是用“分配律”
，以如下方式区分
:
解答过程为两步，如：－
a
（
m
－
n
）
=
－（
am
－
< br>an
）
=
－
am
＋
an
，视
为应用“去括号法则”去括号；而解答过程只有一步，如：－
a
（
m
－
n
）<
/p>
=
（－
a
）
×
m
＋（－
a
）×（－
n
）
，
视为应用“分配律”去括号。测试后，我们找到这两种解题过程的学生问其
解题思路
,
他们的回答与我们的设想基本一致。这次有
140
人参加调研测试，其中
117
人选择了乘法分配
律
，有
23
人选择了去括号法则。其扇形统计图如下：
统计图表明，即使学生学习了“去括号法则”
，但到一定的时间后，都不愿意用去括号法则去括号（只有
16
％采用去括号法则）
，而绝大多数学生都不由自主地选择用乘法分配律去括号（
占
84
％）
。测试后我们
与学生座谈时问，
“为什么你们都要选用乘法分配律而不用去括号法则去括号
？”学生们说：
“用去括号
法则去括号要两步才能算出，而用乘
法分配律则一步就能得出结果，解题简单方便，适用快捷，特别是
在综合运用时候用这种
方法节省了很多时间，
当然我们愿意用快的！
”
、
“去括号实际上就是乘法分配律的
应用，而分配律我
们在小学就学过，在脑子里的印象很深，时间一长就只想到利用分配律”
、
“用乘法
分配律只需要运用有理数乘法运算的符号
法则就可以了，而用去括号法则还要记住一套符号法则，久了
容易混淆，因此我们不愿意
用”
。
由以上统计和学生调查可以看
出，乘法分配律去括号明显优于去括号法则去括号。其主要原因主要有以
下几个方面：<
/p>
（
1
）
“去括号
法则”
，增加了记忆负担和出错的机会，容易出错，因此错误率高。而且去括
号法则是在有理数运算符号法则的基础上又增加了一套新的符号规则，容易给学生记忆上造成困难和 负
担。对于学生来说，学习有理数运算的符号法则就已经是一个难点，再增加一套符号法
则，容易给学生
记忆上造成混乱，学习上造成困难，因此解题时容易出错；
（
2
）
“去括号法则”增加
了学习时间和解题长
度，降低了学习效率。因为，去括号法则表述的是括号前系数的绝对
值为
1
时的特殊情况，而对于系数
不为
1
时的还要利用分配律转化才能利用，因此，用去括号法则去括
号，增加了解题长度。同时，这一
内容的学习至少要两个课时才能完成，所以又延长了学
生的学习时间，相应地降低了学习效率；
（
3
< br>）用
乘法分配律去括号的学习是同化而非顺应，易于理解与掌握。因为，学生在小
学已学习并熟练掌握了分
配律，此前又具有有理数的乘法法则的知识，学习用分配律去括
号时直接与学生已有数学认知结构中的
分配律和有理数的乘法法则发生联系，通过新旧知
识之间的相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结
构之中去，因此，学生学习时会感到
自然，容易接受和理解；
（
4
）用乘法
分配律去括号是回归本质，返
璞归真，而且既可减少学习时间，又能提高运算的正确率。
去括号法则本质上是乘法分配律的应用，因
而直接用乘法分配律去括号是回归到本质。用
乘法分配律去括号时没有中间转化的环节，可直达结果，
从而减少了出现错误的机会，提
高运算的正确率。因此，用乘法分配律去括号，减少了解题长度，节省
了学习时间，相应
地提高了学习效率。
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4
结论与建议
综合几方面的实验分析，
我们认为，教材专门一节讲述“去括号法则”的意义不大，相反还浪费了学生
的学习时间
和精力
（至少多出了两个课时的学习时间）
，
< br>人为地造成了学生的学习负担，
而且也增加了教
材的成本
。实验表明：完全可以用乘法分配律取代去括号法则去括号！所以我们建议，初中数学教材的
修订和编写时可以不讲去括号法则，
直接用乘法分配律去括号。
这样既可以避免学生去括号时少犯错误，
减轻学习负担，提高学习效率，又可也节省
学生的学习时间和减少了教材的篇幅，降低教材的成本。
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课堂上如何激发学生学习数学的兴趣
一个数学教师，尤其是新教师，课堂上怎样吸引学生，怎样启发学生，怎样提问学生，怎样管理学
生
,
怎样导入，怎样探究，怎样巩固，都是非常基本的
常用的课堂教学技能。
教与学是师生心灵的交往，
成功的教学不是靠教师单方面的传授。国外有些教科书在述说如何在采访和调查了许多学生的兴趣、 爱
好以后才确定教学内容的呈现途径和形式，希望学生对它产生好感，想读、想了解。我
国出版的教材也
在向这样的方向努力，力求贴近学生的现实。但是，教材毕竟是面向所有
学生的，由于各地各校的发展
水平不同，学生的兴趣爱好、关心的热点也不同，教材很难
作到吸引所有的学生，所以，教师根据学生
的现实情况设计教学，以保持和激发学生的学
习兴趣是非常必要的。
课堂上如何吸引学生的注意力我认为主
要通过联系、挑战、变化、魅力的方式。所谓联系是在教学
设计中要联系学生的客观现实
和数学现实，使教学内容不是空洞无物而是有意义的，是与其已有经验和
知识有联系的。
挑战是指制定的教学任务对学生具有挑战性，平庸拖沓的教学安排不可能吸引学生，教
师
应该尽可能地提高教学效率，让学生感到学习充实，收获大。一个问题解答完毕，谁还有其他创新的
解法？类似具有挑战性的问题都能吸引学生。变化是教师在学生注意力涣散或情绪低落时，改变教学的
形式、
讲授的语速语调等，
重新将学生
的注意力拉回到教学中来的手段，
比如，
上课采用多种教学形式
，
穿插多种教学任务如猜想、观察、听讲、思考、操作、自学、讨论、演算、小组竞赛等
等，最后一种吸
引学生的方式是增加教师自身的魅力，比如得体的仪表、精彩的语言、挥
洒自如的教态、简练漂亮的板
书、亲切的语言、热情的鼓励、信任的目光、敏捷的思维、
娴熟的解题技巧，都会有助于建立良好的师
生关系，
使学生
“亲其师而信其道”
。
教师如果能调动学生
的情感和意志这些精神需要，
效果将会持久而
巨大。有些教师喜
欢越俎代庖，把一点新知识反复的去讲，担心讲不细、讲不透，满堂灌，结果数学课
上教
师一人唱独角戏，
学生觉的学习毫无挑战性，
索然无味。
另一些教师改变了这种满堂灌的教学方法，
以为问题出在教师讲的太多
，于是，增加学生练的时间，或是师生间的频繁问答以减少教师讲的时间，
但结果学生被
教师的问题牢牢的拴住，没有机会按自己的思路解答疑问，遇到新问题不能举一反三，这
样的教学仍然得不到较好的效果。教师要让学生明确他们要解决的问题，任务不明确当然难以完成好任
务。
明确任务以后变可以进入探究，但是，具有
挑战性的问题往往会难住学生，所以，教师课前要为架
桥铺设路作好准备，教师有了解在
探究的问题与学生的现实之间存在多少差距，考虑设计哪些问题或哪
些活动能够化解困难
，
怎样创设问题情景，
怎样问问题可以含蓄地启发学生。
这里要特别强调含蓄地架
桥，如果教师对学
生的提示太直截了当，就失去了启发的本意，所以，最好是通过引导学生先从事某些
活动
，解决某些比较容易着手的问题来帮助学生。比如，利用实物、模型、实例、示意图等直观化手段
启发学生从观察、比较、分析和归纳等活动中得到结论，形成思路。以学生学习用“十字相乘法”分解<
/p>
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因式为例。学生常常对怎样
把常数项分解为两因数或两因式感到困难，有一位教师就给学生布置了这样
一道题：分解
X^2-5x+6=X^2+
（
+
）
x+
（
×
）
，在（
）
内填上哪些整数？便可以用“十字相乘法”
分解因式。因为学生在每道习题中只需要先注
意常数项和一次项中的一个，分别体会到“分”和“凑”
的含义，所以容易理解用“十字
相乘法”的思想方法，原先的困难也就被分解了，变的容易克服了，其
教学效果一定会优
于教师示范、辅以学生大量的操作。教师要记住将学生原先想做而不会做，不懂的正
确做
法，想说而不会说的正确想法用精练的言重述或者重写一遍，这样做能够梳理学生的思路，明确正
误，提示示范。
课堂也可借助提问吸引学生的注意力
，可以及时地得到教学的反馈，可以启发学生的积极思维，提
供形式参与教学、互相讨论
和交流的机会，加深对所学知识的印象。有一些学生就因为一次出色的回答
体验到了从未
有过的成功感受，
从此爱上了数学。
一个新知识刚学完，
为了达到及时反馈和强化的目的，
教师可以问一些简单的问题。
因为简单的问题不具有多少思考性，
因此在课堂提问中所占的比例比较
少，
尤其在一些较好的班级和学习内容有相当难度的课，大部分的课堂提问对学生要有一
定的挑战性，能够
引导学生积极思考甚至热烈的讨论和争辩，学生会觉得问题问得比较有
深度，教师也能够比较准确的反
馈。因为设问的主要目的是启发学生的思维，所以，教师
提的问题应明确易懂，不能太大，如果需要，
可以将这样的大问题改换成一个具体的问题
或者若干个小问题。所提的问题应该表述的很清楚，避免所
提的问题远离学生的生活经验
而给解决问题造成不必要的干扰。
所提的绝大多数问题应该面向全体学生，
发问后教师要适当停留一些时间给学生思考，对学生的回答要认真倾听，予以中肯和明确的评价。如果
学生不能回答，教师必须尽快辩明原因，是问题的难度不适应？师生之间的感情渠道不畅
通？还是班级
的学习风气问题？找出相应的对策。
当然，
作为教师课堂教学的技能，
教师怎样问学生
，
怎样鼓励学生
发问也很值得关注。为此，教师首先要经常鼓励
发问的学生，还要教学生一些产生问题的方法，比如，
认真观察式子、图形或数据，从中
发现某些规律，概括出某些猜想，这些尝试将已有的问题、结论推广
到另一类似的其他情
景，提出某些猜想，这些训练对学生的长远发展非常重要。
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浅谈课堂教学中的问题设计
著名数学教育家波利亚曾说过：<
/p>
“问题是数学的心脏”
，
足见数学问题在
数学中的重要地位。
新的教学
大纲中明确指出：
“练习是数学学习的有机组成部分，是学好数学的必要条件。
”练习之所以成为
中学生
数学活动的主要形式之一，是因为习题中存在多种功能，当学生一旦进入了解题活
动情境中，他就从技
能的或思维的、智力的或非智力的各个方面塑造自己。同时通过解题
训练也能及时地捕捉到学生对知识
的理解程度及教学目标实现与否的信息，
为改进教学提供依据。
那么如何才能根据教材内容设计好问题，
为实现习题的多种功能服务呢？本文就该方面的教学实践谈一些浅见。
1
问题
设计应在启迪思维、解决困惑上多挖掘，为顺利理解和掌握知识创造条件
学生对各种知识理解的难易程度是
不尽相同的。认知心理学认为：学生在学习中之所以产生一些思
维的困惑或理解的偏差，
其主要原因是学生现有的认知水平还不能同化和顺应教学的内容。因而形成了
思维障碍。
造成了知识运用上的脱节现象，而这些又恰恰是课堂教学中应该解决的矛盾。所以教师就要
善于寻找矛盾形成的原因，并以此为切入点，选取合适的习惯，设计好有针对性的问题，为学生顺利地
理解知识、消除困惑、掌握基本解题技能创造条件。
如在利用函数性质解题时，
学生往往不注意考虑定义域，
不自觉地把函数在局部区域所拥有的性质
，
误视为整体的性质造成解题的错误。
例
1
试判断函数的奇偶性。
有学生计算后得出，
又，
得出为非奇非偶函数；
又有学生认为先判断分母，
定义域关于原点不对称，
当然为非奇非偶函数。事实上以上的结论是错误的，对此很多学
生感到困惑不解。为了能解开学生的疑
团，我让学生在定义域和解析式上再作深入的探求
。他们发现求定义域时没有考虑分子，正确的定义域
应为是关于原点对称的，化简得。所
以
f
（
x
）为
奇函数
?
由于问题设计能围绕学生容易引起疏漏和产生困惑的地方展开，引导学生抓住最本质的现
象进行思
维，理清了思路，明确了性质的适用范围，为教学目标的达成做好了铺路搭桥的
工作。
2
问题设计应在知识发生和发展的关联处深化，在探究意识上
提升，为思维向更高层次推进服务
数学课本作为数学知识的载体，具有极强的逻辑性和层次性。教材中每章节的内容都是处
于特定的
知识结构中，知识之间的内在联系以及表述方式犹如一条链于环环相扣，任何一
节的松动就会造成链子
的脱节。知识之间的联系也与这相仿，因而知识之间的关联处是学
生有效理解和掌握教材内容并形成数
学能力的关链部分，
若处理
不好，
则很容易成为制约学生正确掌握教材内容的
“瓶颈”
。
那么如何才能更
好地抓住关联处设计好问
题呢？我的体会是应努力探究教材中潜在的思维题材加以诱导联想，探讨知识
的发生和发
展过程，理顺知识之间的相互关联，从而达到既深化知识，又发展能力的目的。
例
2 <
/p>
关于
x
的二次方程两实根为
a
和β，要使，求θ的取值范围。
为了便于学生探求合理的解题思路
，进行有效的思维活动，教学时我对此题进行剖析，将其分解成
纵向联接的三个子问题：
（
1
）若方程有两实根
a
、β，求
cos
θ的取值范围；
（
2
）用
cos
θ表示，并求时，
cos
θ的取值范围；
（
3
）同时
满足（
1
）
、
（
2
）时的取值范围。
虽然这样做有意将问题
“复杂化”
，
但却符合学生的认知规律，
使教学在学生已有的认知发展水平的
基础上展开。如果不分层次地进行讲
解，虽然学生也能听懂，但由于学生的思维未能深入到整个解题过
程之中，其结果必然是
问题的情境稍加变化，一些学生又将“不识庐山真面目”形成新的思维障碍。因
此若将问
题设计在知识与知识的关联处，是很有利于培养学生分解剖析习题的能力，以此来诱发思维，
往往能收到事半功倍的效果。
3
问题设计应有利于学生自主构建知识网络。为夯实双基。改
善认知结构导航
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如何在数学教学中进行德育渗透
新的课
程标准把德育教育放在十分重要的地位。
那么怎样才能在数学教育教学中更好的
渗透德育教育呢，我认为有下面的一些方法。
新的课程标准把德育教育放在十分重要的地位。新课程的培养目标指导我们，要使学
生具有爱国主义、集体主义精神，热爱社会主义，继承社会主义民主法制意识，遵守国家
法律和社会公德；逐步形成正确的世界观，人生观，价值观；具有社会主义责任感，努力
为人民服务，要使学生成为有理想、有道德、有文化、有纪律的一代新人。这充分说明了
德育教育在整个教育教学中的重要地位，作为基础学科的数学肯定也必须重视德育教育。
那么怎样才能在数学教育教学中更好的渗透德育教育呢，我认为有下面的一些方法。
一，充分发挥教师在教学中体现的人格魅力
。德育过程既是说理、训练的过程，也是
情感陶冶和潜移默化的过程。教师自身的形象和
教师体现出来的一种精神对学生的影响是
巨大的，也是直接的。教师的板书设计、语言的
表达、教师的仪表等都可以无形中给学生
美的感染，从而陶冶学生的情操
。比如，为了上好一堂数学课，老师做了大量的准备，采
取了灵活多样的教学手段，这样学生不仅学得很愉快，而且在心里还会产生一种对教师的
敬佩之情，并从老师身上体会到一种责任感，这样对以后的学习工作都有巨大的推动作用。
< br>
二，充分利用教材挖掘德育素材。在数学教材中，大
部分思想教育内容并不占明显的
地位，这就需要教师认真钻研教材，充分发掘教材中潜在
的德育因素，把德育教育贯穿于
对知识的分析中。例如在教学科学记数法的时候，可以列
出我国近代的一些数据让学生进
行练习，这样一方面学生掌握了知识，另一发面也从中体
会到我们国家取得的辉煌成就。
这样的例子在数学中还很多，只要教师充分挖掘教材，是
可以找到德育教育的素材的。
三，
在教学过程中进行德育渗透。教师在教学过程中，可以采取灵活多样的教学方法
潜移默化
的对学生进行德育教育，比如研究性学习，合作性学习等。在数学中，有很多规
可修改<
/p>
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律
和定律如果光靠老师口头传授是起不到作用了，这时候就可以引导学生进行讨论，共同
思
考，总结。这样不断可以培养学生的各种能力，而且还可以培养他们团结合作的能力等。
拿教学方法来说，我们可以采取小组合作学习法，这种学习法共享一个观念：学生们一起
学习，既要为别人的学习负责，又要为自己的学习负责，学生在既有利于自己又有利于他
人前提下进行学习。在这种情景中，学生会意识到个人目标与小组目标之间是相互依赖关
系，只有在小组其他成员都成功的前提下，自己才能取得成功。还可以从小让他们养成严
肃看待他人学习成绩的习惯。
四，
利用数学活动和其他形式进行德育教育。德育渗透不能只局限在课堂上，应与课
外学习有
机结合，我们可以适当开展一些数学活动课和数学主题活动。例如，学过简单的
数据统计
后，我们可以让学生回家后调查自己家庭每天使用垃圾袋的数量，然后通过计算
一个班家
庭一个星期，一个月，一年使用垃圾袋的数量，然后结合垃圾袋对环境造成的影
响，这样
学生既可以掌握有关数学知识，又对他们进行了环保教育。另外要根据学生的爱
好开展各
种活动，比如知识竞赛，讲一讲数学家小故事等，相信这样一定会起到多重作用
的。
在数学教学中渗透德育教育也要注意它
的策略性，一定不要喧宾夺主，要提高渗透的
自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反
复性。我相信只要在教学中，结合学生思想实
际和知识的接受能力，点点滴滴，有机渗透
，耳濡目染，潜移默化，以达到德育、智育的
双重教育目的。
可修改
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数学课堂教学的探究
新课改的实验教材综合性增强，实践、操作性的活动内容增多，注重培养学生的创新思维。应
用新教材，如何引导学生去学成为关键。这就要求我们的课堂教学模式有所改进，充分考虑学生的
好奇心和荣誉感，鼓励学生多讨论多参与，让学生有机会讲述自己的见解，教师有“度”
的进行课
堂管理。新的教育理念不仅要注重培养学生的学习兴趣，更要尊重学生的学习兴
趣，不能扼杀学生
的学习热情，让学生在打好学习基础的同时，又培养了自身的能力，发
展了自身的特长。基于这种
情况，我在教学中注意采取一些比较新颖的方法，以下即为我
的几点做法：
一、赏识学生可以无限地激发学生的内动力
< br>在日常生活中每个人都渴望获得尊重、肯定、信任、和关怀。赏识教育就是一种以尊重学生人
格为前提，通过表扬、肯定学生的某些闪光点，实现对学生有效激励作用的“正强化”教育，是在
承认差异、尊重差异的基础上看到学生每一点点的进步，用欣赏的眼光发现学生的可贵之处，
使学
生看到自己的闪光点，使学生每天都在进步和成长。老师给以学生什么样的期待，很
大程度上决定
着学生的行进方向。
在
我的教学生活中有一次经历让我终生难忘：我正在全身心地投入在课堂教学时，猛然发现我
的一个学生在桌上趴着睡觉，我脑门一热真想当场“收拾”他一顿，可是我冷静地想了想，在学生
练习时走到他身边小声地对他说：“你很聪明，老师一直对你有很高地期望，努力！”然后，不动
声色地回到讲台，那个学生听了我的话马上坐好，积极地加入到我们的课堂中。记得第一次平
时章
节测试他考的不好，因为他基础就比较差，所以我也没有责怪他，可令我没有想到的
是：他竟然在
放学后找到我，哭着要求我批评他，说他辜负了老师。我心灵受到很大的冲
击，我没有想到他会有
这么强的上进心，我没有批评他，相反就他的卷子找到不足的地方
，鼓励他以后的学习中要仔细，
严谨，好钻研，让他从中找到信心，尤其是老师没有放弃
他。从此，他的数学成绩节节提高。可见，
可修改
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赏识学生不仅诱发和鼓舞了
学生克服困难、积极向上的激情，并且对学生的智力，品德和个性的发
展产生直接影响。
二、多种多样的兴趣激励法进行课堂教学
在课堂教学改革中，首先教师要改变观念，研究教材的使用；更重要的是必须改革传统教学方
法，结合学校特点，发挥优势，深入地探索、研究数学的课堂教学模式，逐步形成自我教学特色。
兴趣是一种巨大的激励学习的潜在力量。在教学中，当一个学生对他
所学的知识发生兴趣时，
就会调动自己的一切潜能积极、主动、愉快地去学习，而不会感
到是一种沉重的负担。对此，我采
取了这样几点做法：
（
1
）从现实生活中的常见问题和学生熟悉的
事物入手简化复杂问题。
在
“从三个方向看”这一节的教学中
,
要从立体
图形抽象出平面图形，学生一下子会感到难以
理解，我就在课上展示粉笔盒、铅笔盒等，
让学生面对实物来解决问题，进而来培养他们的空间想
象力，从而将问题简单化。
感兴趣的、熟悉的话题，学生自然也愿意去了解，以很高的热情去学
习。从而让学生去真正理
解有用的数学的价值。
（
2
）用生动有趣的图案和实物来代替抽象的理论知
识，来调动学生的学习积极性。
相对于数学的推理计算，学生
更容易对直观有趣的图案和实物产生兴趣。在讲解第一章“我们
与数学同行时”时，我将
大量有趣的图片做成课件，又带火车票、汽车票等实物带入教室，让学生
感悟数学就存在
于我们的日常生活中，学习数学能为解决生活中的问题提供很大的帮助，从而调动
起学生
进一步学习的兴趣。
（
3
）用精彩的问题设置吸引学生。
“思维总是从提
出问题开始的。”课堂提问是启发学生积极思维的重要手段，教师要善于运用
富有吸引力
的提问激发学生的兴趣。在讲解“日历中的方程”时，我让学生随便圈出某月日历上一
竖
列上相邻的三个数，将这三个数的和告诉我，我就能猜出这三个数是多少。这个问题一下子把学
< br>可修改
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生调动了起来，学生迫切的想知道我是如何猜出这三个数的，学习热情高涨。这时，我告诉学生，< /p>
我们只需要列一个简单的方程即可解决这个问题，学生自然对列方程产生了浓厚的兴趣，心
情愉快
的接受了新知识，学会解决问题的方法。
（
4
）用数学实验和游戏吸引学生。
在新的实验教材中设置了大量的实验和活动，我对这些资源进行了充分的利用
。这些实验和活
动让每一个学生都参与进来，从中发现数学的一些内在规律并能熟练加以
运用，在玩中学，在做中
学，寓教于乐，取得了很好的效果。例如在讲解有理数的混合运
算时，教材中设置了算“
24
”游戏，
通过这些活动，学生对有理数的混合运算顺序有了较为清晰的认识，并对进一步的学习产生了浓厚
的兴趣，将一个复杂的数学问题不费吹灰之力就解决的很到位。
（
5
）用生动有趣的语言、事例吸引学生。
在具有严密的逻辑性的前提下，
结合教学内容
和学生的实际水平采用生动而富有感染力的教学
语言来激发学生的学习兴趣，从而提高课
堂教学效果。一个笑话、一句生动的话、一个有趣的事例
能给人以美的遐想，更重要的是
能唤起学生的学习兴趣，增强他们克服困难，奋发进取的信心。比
如，在讲解“点动成线
、线动成面”时，我拿出一个乒乓球向空中一扔，乒乓球划出了一道弧线；
然后我又打开
了教室中的吊扇，吊扇徐徐转动，逐渐形成了一个面。然后我告诉学生，这分别就是
“点
动成线”和“线动成面”，学生的兴趣一下子就被我调动了起来。
此外在教学中我充分注意因材施教，对不同的学生设置不同难度的问题，使每一个层次的学生
都体验到答对问题的喜悦，发现规律的兴奋，而对知识不封顶，充分鼓励学有余力的学生去进一步
探索思考，对学生的每一点进步都提出表扬，对学生的新发现、新方法尽可能的加以肯定，并给
予
推广，让学生在学习中体验成功，体验成功的喜悦，从而以更大的热情投入学习。
随着课改实验的不断深入，我越来越感觉到教师应真心、真诚地赏
识学生和理解、钻研教材，
去探索采用各种新颖的教学方法，并转变评价观念。通过评价
及时给予表扬和鼓励，珍视学生取得
的每一分努力，欣赏学生的每一个创造，肯定学生的
每一分努力；通过评价和鼓励，使学生能够认
可修改
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识自己在学习过程中的优势
和不足，
促进和指引学生更好地学习和发展；
同时还要不断的完
善自己，
提高自身的教师素养，才能更好的参与到课改实验中，培养新时代的合格人才。
可修改
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数学课堂教学中的“设疑”艺术
课堂
教学是一门艺术，也是一门学问。如何把“素质教育”贯穿在每一节课中，更是
值得探讨
的课题。教学要面向全体学生、全面提高学生的素质，关键在于充分调动全体学
生的学习
积极性，
促使学生主动发展。
如果教师在教学中像姜太公钓鱼那
样，
“愿者上钩”，
绝对是达不到理想的效果的。
《学记》中说“虽有嘉肴，弗食，不知其旨也；虽有至道，弗
学，不知其善也
。是故，学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然
后能自强也。故
曰：教学相长。”不管你的课讲得如何好，学生的积极性没有调动起来，
思维关闭着，其
它的一切是很难注入到学生的心坎的。
怎样才能充分调动学生的学习积极
性，
使学生主动发展呢？可以概括为
12
个字：
即“质
疑、引趣、动情、导思、求变、务本”。这里把
“质疑”放在第一位，是强调了它的重要，
但它只是教学的一种手段，是引导学生发现智
慧的引线；“导思”才是教学的目的，才是
获得智慧打开知识大门的钥匙。全国特级教师
于漪谈自己的教学经验时说：“教学过程实
质上就是教师有意识地使学生生疑、质疑、解
疑、再生疑、再质疑、再解疑……的过程。
在此循环往复、步步推进的过程中，学生掌握
了知识，获得了能力。”当学生学到关键的
地方时，我们就要“钓”学生的学习胃口，把
学生的士气鼓起来，使他们摩拳擦掌，跃跃
欲试。这样，就会把学生引导在知识的原野上
跋山涉水，领导他们去邀游知识的迷宫。下
课了，他们还会主动去问，去复习，去回味，
去找参考书看，去独立钻研和思考。“设疑”
无疑是一种最好的“钓法”。
所谓设疑，就是把课文中的重点和难点用问题的形式提出来，让学生去思考
。教师在
编制这些问题时，要多动脑筋，尽量编得生动有趣，吸引学生，使学生一听到问
题，就都
想一试锋芒。
设疑大致可分为三个阶段。即：
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一、授前设疑，集中注意力，导入
新课。如，我在讲授数学中的解二元一次方程组时，
进入新课前在黑板上板书了一首自编
的顺口溜：“学生若干房若干，分配住房作了难。每
间房子住
4
人，还有
8
人在外面；每间房子住
8
人，还有
1
间没
有人
。动动脑筋算一算，
学生多少房
几间？”学生看后，群情激奋，不用吹灰之力便列出了二元一次方程组，可是
怎么把它解
出来得到答案呢？于是我就很顺利地导入了解二元一次方程组的新课，大家听
起来格外起
劲，注意力特别集中。
二、课
中设疑，引发思维，培养能力。课中设疑一般应是本节课的重点和难点。既可
以让学生独
立思考，也可用讨论式，还可以根据本班学生的实际情况来单独提问，活跃课
堂气氛，调
动学生的感情和积极性，让学生学得生动、活泼，也使一节课波澜起伏，跌宕
有致，“文
似看山不喜平”！编的问题也应略高于课堂上讲授的内容，使学生能举一反三。
学生通过
自己的能力解决了这个问题，领略到成功的欢愉，使他们对自己的能力有了充分
的信心。
别林斯基说：“教学方法应该使学生自觉地掌握知识，使他们发展积极的思维”。
让学生
自己去寻求问题的正确解答，这不仅对他们领会知识和掌握技巧，而且对他们的发
展都具
有重大意义。当他们尝到成功的乐趣后，对学习的热爱就是很自然的事了。
三、课后设疑，温故知新，巩固提高。课后设疑一般难度应大
一点，使学生通过自学
后又能够解决的问题。苏霍姆林斯基说过：“有经验的生物、物理
、化学、数学教师，在
讲课的时候，好像是微微打开一个通往一望无际的科学世界的窗口
，而把某些东西有意地
留下来不讲”，正是这个道理。
青少年的本性就是好奇好胜，正是利用他们的这种心理特点，用“设疑”的方法去
“钓”他们的学习“胃口”，才使学生在学海中具有“海阔凭鱼跃”那样一种良好的“竞
技状态”，使学生有信心，有毅力，有旺盛的学习热情和求战情绪，斗志昂扬地去攻占学
习道路上的一座座难关。
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新课程教学过程中数学史方面的教育教学
摘要：
数学史对于揭示数学知识的现
实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，
化史和科学进步史上的地位与影
响进而揭示其人文价值，都有重要意义。
在课程改革前的中小
学数学教学大纲和教材中，
数学史主要起两方面作用：
通过介绍
中国古代数学
成就进行爱国主义教育；通过提供少量“花絮”提高学生的学习兴趣。
在新一轮中学数学课程改革中，
数学史首
先被看作理解数学的一种途径。
教材中应当包含一些辅助
材料，
如史料、进一步研究的问题、
数学家介绍、背景材料等，还可
以介绍数学在现代生活中的广泛应
用
(
如建筑、计算机科学
、遥感、
CT<
/p>
技术、天气预报等
)
，这样在对数学内容
的学习过程中，不仅可以
使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，
还可以使学生体会数学在人类发展历史
中的作用和价值。义务教育阶段各科课程标准都围
绕三个基本方面：知识与技能，过程与方法，情感态
度与价值观，对于理科课程，还包括
理解科学、技术与社会之间的关系，尝试科学教育与人文教育的融
合。
< br>
数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，
对于引导
学生体会真正的数学思维过程，
创造一种探
索与研究的数学学习
气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学
进步史
上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。
一、在
新一轮中学数学课程改革中，数学史首先应被看作理解数学的一种途径
1
、认识数学的发展规律，了解榜样的激励作用，减少学生数学学习时走“弯路
”。
数学史让我们认识数学发展的
规律，了解昨天，指导今天，预见明天。从前人研究数学的经验教训
中获取鼓舞和力量，
以指导和推动我们今天的数学学习和研究，少走弯路。
医治学
生“专爱碰壁”毛病的良药之一就是让他们学一些数学史和科学史，不要把宝贵的青春浪费
在徒劳的“研究”上。平时的教学中，要结合数学史教育，引导学生把精力用在基础知识的学习和基本
技能的提高上，多做一些有意义的探究活动，以适应新课改学习方式的需要。
创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神
，对于揭示数学在文
可修改
许多大数
学家在成长过程中遭遇过挫折，
不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，
介绍一些
大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，
不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会
(
这往往
能够获
得比从正面讲解更好的效果
)
，
而且知道大数学家也同样会犯错误、
遭遇挫折，
对学生正确看待学习过程中
遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作
用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探
索者的失败与成功还可以使学生体会
到，数学不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它
有着丰富的人文内涵
。
2
、了解数学理论发展的历史背景
，加深理解数学理论、公式、定理和数学思维。
一般说来，
历史不仅可以给出一种确定的数学知识，
还可以给出相应知识的创造过程。
对这种创造过
程的了解，可
以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣
无缝，同时也相对地失去了生气与天然性、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们
创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。它既可以激发学生对数学的兴趣，培
养他们的
探索精神，而历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌
握所学的内容。
写在书本上的数学公式、定理、理论都是前人
苦心钻研经过无数次的探索、挫折和失败才形成的，是
在当时社会生产、人们的哲学思想
、数学家的独创精神联系在一起的活生生的数学。但是，我们从书本的
条文上，已看不到
数学成长、发展的生动的一面，而只看到数学的浓缩的形式，这就妨碍我们对这些数学
理
论的深刻理解。如在七年级教空间与图形部分前，可以向学生介绍有关的数学背景知识，特别介绍欧几
里得的《几何原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。
3
、抓住数学历史名题，丰富教学内容，展现学习数
学新途经。
对于那些需要通过重复
训练才能达到的目标，
数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富有趣味
和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问题是真实 的，
因而更为有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数
学内容的现实背景，
或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法
都是重要的；许多历史名题的提出与
解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一
个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题曾难
住过许多有名的人物，学生会感到一
种智力的挑战，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好
的情感体验无疑是十
分重要的；最后，历史名题往往可以提供生动的人文背景。
向
学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是一个静止的、已经完成的领域，
而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、犯错误、修正错误中发展进化的，数学进步是对
传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数
学问题将是激动
人心的事情。
数学中
有许多著名的反例，
通常的教科书中很少会涉及它们。
结合历史
介绍一些数学中的反例，
可以
从反面给学生以强烈的震撼，加深
他们对相应问题的理解。
二、数学史与中学数学教育的内容整合
在中学数学教育中有必要进行数学史的教学。结合整个中学数学教材内容，通盘计划，全面安排；应
以历史唯物主义观点选取数学史料对学生进行介绍；还应注意学生的可接受性原则。引进和讲授数学 史的
方法可以多样化，如结合新教材进行简短的历史史料插话；利用一堂课的大部分时间
进行专门讲授；成立
课题组进行探究，有计划有组织地实施课题的各项工作；组织专门的
数学晚会、数学壁报、数学报告会以
及伟大数学家生忌纪念会等形式进行介绍。具体说来
，数学史与中学数学教育的内容整合可从以下几方面
入手：
<
/p>
1
、在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将
促成代数兴起与发展的重要人物和
有关史迹的图片呈现在学生的面前，也可以介绍一些有
关正负数和无理数的历史、一些重要符号的起源与
演变、与方程及其解法有关的材料
(
如《九章算术》、秦九韶法
)
、函数概念的起源、发展与演变等内容。
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2
、
在空间与图形部分，
可以通过以下
线索向学生介绍有关的数学背景知识
:
介绍欧几里得
《几何原本》
，
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数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数
学对推动社会
发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学
的思想体系，数学的美学价
值，数学家的创新精神等等。数学课程应帮助学生了解数学在
人类文明发展中的作用，逐步形成正确的
数学观。为此，中学数学课程提倡体现数学的文
化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习
要求，同时设立“数学史选讲”等
专题，让数学史与中学数学教育有机整合。
可修改
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重视数学史在数学教育中的作用
为了
全面了解数学科学，探索数学发展的规律，达到数学教育的目的，应该开展数学史的教学
与研究，进一步认识数学史在数学教育中的地位和价值，充分发挥数学史知识在进行素质教育方面
的重要作用。
数学史不仅具有沟通文、理的性质，而
且有助于深刻理解数学的文化内涵，对于培养文、理兼
通，
“学
、才、识”兼备的数学专业人才有重要意义。
“学、才、识”即知识、能力以及见识和思
想，
其中“识”更是引导知识和能力走向何方的根本性问题。如果数学教育只停留在数学
理论本身的学
习上，甚至对数学理论的实质也没有深入探究，学生就不可能理解依托于数
学知识体系之上的数学
思想和信仰，贯穿于数学研究活动中的科学精神（包括科学的实证
精神、理性精神、批判精神）和
数学的美感及鉴赏能力，与数学的社会功能密切相关的伦
理准则等数学文化的底蕴，更不会形成
“才”与“识”
。因此，
学习数学史是以“素质教育”为目标的数学教育的内在要求，它对于培养
学生的人文主义
精神以及数学观念、数学能力、数学整体意识有特殊意义。
1
、认识数学的发展规律，了解榜样的激励作用，减少学生数学学习时走“弯路”。
数学史让我们认识数学发展的规律，了解
昨天，指导今天，预见明天。从前人研究数学的经验
教训中获取鼓舞和力量，以指导和推
动我们今天的数学学习和研究，少走弯路。医治学生“专爱碰
壁钻牛角尖”毛病的良药之
一就是让他们学一些数学史和科学史，不要把宝贵的青春浪费在徒劳的
“研究”上。平时
的教学中，要结合数学史教育，引导学生把精力用在基础知识的学习和基本技能
的提高上
，多做一些有意义的探究活动，以适应新课改学习方式的需要。
许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介
< br>绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，
不仅可以使学生在数学方法上从反面
获得全新的体会
(
这往往能够获得比从正面讲解更好的效果
)
，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学
生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的< /p>
可修改
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曲折与艰辛以及那些伟大的
探索者的失败与成功还可以使学生体会到，
数学不仅仅是训练思维的体
< br>操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富的人文内涵。实践经验证明，向学生介绍一些数学家
的生平或者历史上数学进展中的曲折历程，以及在教学中提供一些历史上的真实“问题”
，还可以
激发学生的学习兴趣，促进数学专业课程教学。
2
、了解数学理论发展的历史背景，加深理解数学理
论、公式、定理和数学思维。
数学
史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清数学概念、数学思想和方法的发展过程，
增
长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导。著名数学家外尔
（
H?Weyl
，
1885
－
1955
）
认为：
“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、
方法和
结果，
我们就不可能理解近
50
年来数
学的目标。
”如果教材是根据现代数学的分科来编写，并主要是按照
公理化的思想方法而不是知识的发生过程编排体系，就会使学生在学习数学知识时，常常知其然而
< p>不知其所以然，尤其会对数学概念的发展过程，定理证明的发现过程以及数学各分支之间的联系知< /p>
之甚少。因此，让学生了解数学的发展历史是促进数学学习的必要途径。
< br>
具体地，数学史的作用可以概括为：
（
1
）对数学给出一个整体框架，对数学有一个整体图景，
能认识到各分支之间的相互关系。
（
2
）对数学问题、概念、理论和方法的来龙去脉有一定认识。对
引入它们的动机与产生的
后果有所了解，
以上两点使我们对于某分支在整个数学中的定位能够初步
理解。
（
3
）总结历史上的经
验、教训，借鉴解决问题的各种途径、方向。
（
4
）对数学发展趋势有一
定的估计和预测。
历史不仅可以给出一种确定的数学知识，
还可以给出相应知识的创造过程
。
对这种创造过程的
了解，可以使学生体会到一种活的、真正的
数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天
衣无缝，同时也相对地失去了生气
与天然性、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以
引导我们创造一种探索与
研究的课堂气氛，
而不是单纯地传授知识。
它既可以激发学生对
数学的兴
趣，
培养他们的探索精神，
而
历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握
所学的内容。
如在七年级教空间与图形部分前，
可以向学生介绍有关的数学背景知识
，
特别介绍欧
可修改
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几里得的《几何原本》，使
学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。
3
、
抓住数学历史名题，丰富教学内容，展现学习数学新途径。
对于那些需要通过重复训练才能达到的目标，
数学历史名题可以使这种枯燥乏味的过程变得富
有趣味和探索意义，从而极大地
调动学生的积极性，提高他们的兴趣。对于学生来说，历史上的问
题是真实的，因而更为
有趣；历史名题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数
学内容的现实
背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要
的；
许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家
探索过的问题，或许这个问题曾难住过许多有名的人物，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习
< p>中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的；而且，历史名题往往可以< /p>
提供生动的人文背景。向学生展示历史上的开放性的数学问题将使他们了解到，数学并不是
一个静
止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、
犯错误、修正错
误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规
思维，使他们感受到，抓
住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情。
数学中有许多著名的反例，
通常的教科书中很少
会涉及它们。
结合历史介绍一些数学中的反例，
可以从反面给学
生以强烈的震撼，加深他们对相应问题的理解。
４、理解数学
中蕴涵的精神、思想、观念、意识，努力提高数学素养
随着人
类社会由工业社会向信息社会的转化，人才观以及成才观也都在发生深刻变化。社会进
步
对数学工作者的需求并不是他们能利用数学的运算去录求解答，
而是借助他们能在复杂错
综的境
遇中，去找寻有条理的分析，有助于最后的决策，即他们的数学素养。数学素养包
括知识、才能和
思想三个方面，
即数学科学知识、
数学能力和数学思想素养。
这三个方面彼此联系，
层
次由低到高。
形成数学素养的关键是要在知识传授、才能培养以及有目的、有计划的素质
教育中让学生理解数学
中蕴涵的精神、思想、观念、意识等内容，并培养他们运用数学的
思想和方法去处理数学问题和现
实问题的意识。而数学的思想和方法、数学研究中的科学
精神以及数学的美，首先是从数学的发展
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史中总结归纳出来的。因此
，学习数学史对于深刻理解数学的内容、思想、方法、语言及其应用，
对于提高教师的数
学素养，具有重要的现实意义。
可修改
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开放了教学，开放了空间
———
“认识人民币”教学案例与分析
案例描述：
“认识人民币”是苏教版
实验教材小学数学一年级下册第
5
单元内容，共
3
课时，本
节“认识
1
元以内的人民币”为起始课。教学内容是认识
1
元、
1
角、
1
分、
2
角、
2
分、
5
角、
5
分。
《数学课程标准》指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生<
/p>
活经验和已有的知识出发，对教材进行分析，有创造性地设计教学过程。”依据这一理念，
结合学生对人民币的认识已有的基础，对教材的呈现可做如下调整：把
< br>1
元、
1
角、
< br>1
分、
和
5
角、
2
分的认识融合在一起，以购物活动为主线，寓教学于
游戏中，激发学生学习的兴
趣，使学生体验成功的喜悦。
一、情境引入，感知人民币
电脑播放小朋友在超市购买物品的情景，然后定格在小朋友和
售货员付钱找钱的画面上。
二、探究新知，认识人民币
（一）分一分。
1
< br>、瞧，我们国家的人民币有这么多样式呢！
（电脑出示所有人民币）你能给他们分
一分类
吗？
让学生从学具盒中拿出人
民币，请学生给人民币分类，同桌可以互相讨论。
让学生说说你是怎么分类的。
学生可能出现的情况：
把硬币分为一
类，纸币分为一类。把分币分一类，角币分一类，元币分一类。
对策：
金属制成的钱币叫硬币，
按照这种分法可以看出
，人民币的单位纸制的钱币
可修改
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叫纸币。有
元、角、分。还有不同的分法吗？
2
、根据学生回答情况板书：
硬币、纸币、元、角、分。
3
、
请小朋友看一看你认识哪些人民币？不同面值的人民币有什
么特点？你有什么好办法
能很快的认出它们？然后再同桌相互说一说。
< br>
（学生活动）
4
、学生介绍自己认识的人民币？介绍自己是怎么识别的？（他们介绍时，要求其他学生注< p>
意听、看，并相应的拿一拿。
）
5
、师生评价。
（二）
、找一找。
< br>1
、刚才我们认识了
1
元、
1
角、
1
分钱的人
民币。玩具的价钱是
1
元，我们来看看，小朋友
是怎样付钱的？
（电脑演
示小朋友付十张
1
角的情景）
2
、我们也来数出十个
1
角！使学生明白十个
1
角
是
10
角？
10
角就是
1
元呢？再让他们拿
出一张<
/p>
1
元和
10
角比
一比，谁多？谁少？
3
、学生总结：
1
元等于
1
0
角
（三）换一换
1
、
（电脑出示人民币）请你从信封找出
5
< br>角、
5
分、
2
< br>角、
2
分，走下去自由选择一位好朋
友互相说一说、认一认。
看来
同学们学得不错，继续加油哇！老师这儿还有两个题目等着你们来解答呢！
（电脑出示<
/p>
“试一试”图）一张
1
元可以换几张
5
角？几张
2
角可
以换一张
1
元？
2
、哪些小组愿意开小银行给大家换
钱呢？
（唐老鸭银行、米老鼠银行、阿凡提银行，请其他组的
同学拿出
1
元钱，想一想是换
5
角
呢，还是
2
角？想
好了吗？请大家任意选一个银行换一换！
）
可修改
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三、应用创新，体验生活
1
、
（学生在书上完成“想想做做”第
2
题）
2
、
（电脑出示“想想做做”第
< br>3
题）这里有一张
5
角币、二张
2
角币、五个
1
角币，从中拿
出
5
角，怎样组合？哪
些小朋友能上台把你的组合法展示给大家看一下？
3
、同学们说得太好了！确实，既可以拿一种人民币凑成
5
角，也可以取二种人民币凑成
5
角。看来，只要动脑筋、大胆尝试，同一个问题就可以用许多方法来解决。
4
、小朋友买回了玩具，又突然想起
要给妈妈寄一张生日贺卡，于是他又来到了邮局。
（电脑演示）小朋友：阿姨，我买一张邮票。
阿姨：一张邮票的价钱是
8
角。
小朋友：啊？
在人民币中，有
1
角、
2
角、
5
角，就是没有
8
角的呀，这怎么办呢？
是呀，怎样付
8
角呢？
你有办法吗？
5
、小朋友寄完了贺卡，发现他的钱还剩下
1
元，小朋友决定
为自己添置一些物品。可是小
朋友只有
1
元钱，能买哪些物品呢？
（商店购物活动）
四、全课总结
，巩固深化
今天我们认识了一些常用
的人民币。回家后，请把学到的知识讲给爸爸妈妈听。最后，说
说你这节课最大的收获是
什么？
案例反思：
1
、创设氛围，探究学习数学的原动力
从本节课的教学可知，学生在生活中已经储备了“人民币”的相关知识，教师就需要
根据学生的实际情况设计教法，融抽象知识于生动形象的课堂教学活动中去。教学之初，
教师先安排一段商店购物的录像，引起了学生的好奇心，设置了学生再熟悉不过的买玩具
可修改
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情境，激发起学生对数学的强烈兴趣，从而开发出学生自主探究学习数学的原动力。
2
、真诚评价，体验自主探究学习的成功
学生在学习的过程中，经受了太多的挫折感和失败感，而给学
生真诚的评价，创新就
由此激发。学生对于教师都带有崇敬之情，一句赞语，一个目光，
一个肯定都能让他们欣
喜不已。
1
元<
/p>
=10
角，学生对于几种组合已经心中有数，但教师一语激起千层
浪，＂还有不
同的拿法吗？＂当学生说出时，教师能及时给与肯定，用一种特殊的方式＂
握手＂，给了
学生高度的评价。被握者满面红光，异常激动，看到的小朋友也是羡慕不已
。于是，一个
个别开生面的方法不断产生，思维的火花不断冒出，体会到了学习的成功。
3
、实践操作，培养自主探究学习的
能力
卢梭认为，要让学生获得知识经验和发展，就必须教他们
参与各种实践活动。新课程
改革也视学习为“做”的过程、
“经
验”的过程，凸现学生学习的实践性特点。在本节课的
教学中，教师进行了大量的准备，
给学生准备了钱箱、信封等。学生从钱箱中找钱、亲自
动手分一分，最后还设计了一个模
拟购物活动，使学生在做中加深了对人民币的整体系统
认识，在不停的活动中、游戏中将
已有的经验数学化、系统化，而且培养了学生思维的广
阔性和创新性，掌握了数学学习的
方式，使学生心中充满激动与挑战，获得内心的充实和
满足。
从上述案例中体会到，学生学习方式的转变关键在于教师。教
师要不断更新教学观念，
真正树立以学生为主体的教学理念，相信学生，给学生充分的探
究空间，以发挥学生学习
的自主性、创造性。只有在教学中教师找准了位置，转变了角色
，才能真正成为学生学习
的组织者、引导者和参与者。
可修改
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试论灵活设问与创造性思维的培养
摘要
：通过对新课程标准下设问和创
造性思维的理解，阐述了二者之间的辨证关系以及在数学教学
中如何将二者有机结合起来
，并结合实例进行了深入说明。
关键词：设问，创造性思维，发散思维
最新颁布的数学新课程标准要求教师要“通过研究性、探究性的学习，培养学生具有创新能力、实践能
力和终生学习的能力”
。
其中，
创新能力的培养应是培养目标中的核心。
而创新能力的培养中，
创造性思
维的培养又是核心中的核心。
所谓创造性思维，是指有创建的思维，即通过思维，不但能揭示客观事物的本质及其内在联系，而且在
此基础上能产生新颖的、前所未有的思维成果。它是智力水平高度发展的产物，是后天培
养与训练的结
果。创造性思维以新颖独特的方法解决问题，具有发散性和收敛性、灵活性
和多变性、独特性和新颖性
的特点。
在研究性学习过程中，鼓励教师在教学中“要提倡灵活多样的教学方式，尤其是采用启发式和讨论式的
设问，充分发展学生的个性，发展其思维能力，激发想象力和创造潜能”
，
“避免烦琐的分析和琐碎机械
的练习”
。可见，灵活巧妙的设问，不仅具有活跃课堂气氛的功能，更具有培养学生创造性思维的作用。
< br>
通过以上对设问和创造性思维的理解和界定，可以看出，在数学教学中，教师通
过课堂的灵活设问，对
培养学生的发散思维和集中思维，启迪直觉思维，培养创造机智等
具有重要的意义。
1
、
创设良好的课堂氛围和设问情境，
为灵活设问的效能最大化创造前提
我国的传统教育比较注重学
生求同思维的养成，往往容易忽视对学生求异品质的塑造。因此，我们在课
堂教学中，应
充分利用一切可供想象的空间，充分发挥学生的想象力，培养学生的创造力。
具体而言，我们要提倡建立“畅所欲言，各抒己见”的课堂氛围，为学生提供独立活动、自我表现
的机
会和条件；
应鼓励学生对老师的提问产生质疑，
能够提出自己不同的观点和看法；
应鼓励学生由此及彼，
< br>从一个问题衍生开来，提出崭新的、有创造性的问题。只有这样，教师的设问才会最大可能地激发学生
的创造性思维。
要鼓励学生拥有坚持己见
的自信和勇气，引导学生为证明自己的观点找证据，求事实；但同时应引导学
生既要敢于
坚持己见，又要善于接纳别人正确的观点，从而在对某个问题的讨论中获得最大收益。
要创设合适的问题情境，
激发学生探讨数学问题的兴趣。
学习兴趣和求知欲是学生能否积极思维的动力。
在数学问题情境中，新
知识的需要与学生原有的数学水平之间存在着认识冲突，而这种冲突正是诱发学
生数学思
维的积极性和创造性所必需的。
例如：
对于分式的化简，就可设计如下的诱发过程以引导学生：
大多数学生对分式的加减运算都懂得先通分后加减，但这一方
法对本题不适用，教师可问学生能否用其
它方法对它进行化简。譬如，分别观察分式的分
子、分母，寻找形式上的特点。通过教师这一引导性的
提问激发起了学生的兴趣，学生的
思维便活跃起来，积极对该式进行观察、分析。原来
：可化为
；可化
为，从而达到了化简的目的。
2.
多角度、多层次、多方位设问，培养学生发散思维
发散思维是创造性思维的主导成分，又是创造性思维的核心，它着眼于探索未知的事物，发现事物间 的
新关系，寻找多方面解决问题的方法。因此，将一个问题从不同角度、不同层次进行设
问，也可训练学
生的发散思维，进而培养学生的创造性思维。具体而言，思考问题时，根
据同一来源材料，以比较丰富
的知识为依托，沿着不同的方向去思考，以探求不同方向的
解答，即通常所说的“一题多解”
、
“一题多
< br>变”
。
又例：解方程
设问
1
：能否用换元法求解？
设，则，解得，然后求解；
可修改
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设问
2
：能否根据方程特点，用一元二次方程求解？
可利用一元二次方程中“根与系数的关系”构造出一个一元二次方程，解得，然后求解；< p>
设问
3
：能否构造倒数
方程求解？
将原方程变为
:
，然后直接求解。
3
.
启发引导，保持创造性思维的持续性
在合适的问题情境中，学生思维的积极性被充分地调动起来，
但应该怎样保持这种积极性，使其持续下
去而不中断呢？
3
．
1
要给学生思考的时间
数学学习是通过思考进行的，没有学生的思考就没有真正的数学学习，思考问题是需要一定的时间的。
值得研究的是，教师提出问题后，应该给学生多少思考时间。实验表明，思考时间若非常
短，学生的回
答通常也很简短，但若把思考时间延长一些，学生就会更加全面、较为完整
地回答问题，这样，问题回
答的准确率就会提高。当然，思考时间的长短，是与问题的难
易程度和学生的实际水平密切相关的。目
前，在课堂学习中，教师往往是提出问题后，几
乎不给出思考时间，就要求学生立刻作答，而一旦学生
不能立刻说出答案，教师便不断重
复其问题，催促答案或者干脆另外提出一些问题来弥补这个
冷场
。
其实，这恰恰是在干扰学生表面看似
平静，实则活跃的思维过程。
3
．
2
教师启发要与学生的思维同步
教师提出问题后，一般应让学生先作一番思考，必要时教师可作适当的启发引导。教师的启发
要遵循学
生思维的规律，
因势利导，
循
序渐进，
不能强制学生按照教师提出的方法和途径去思考问题，
喧宾夺主。
例如：初中学生在学习“三角形相似的判定”这一
内容时，教师可选用如下的例题。
可修改
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暴露数学思维活动过程加强学生思维能力的培养
现在数学教育不仅要让学生“学会”，即掌握知识而且不要让学生“会学”，即掌握
< br>思想方法，发展思维，形成能力。要会学，最根本的一条就是暴露数学思维活动过程，展
< br>现数学知识的发生和发展，使数学教学成为数学活动的教学。
我们知道，数学家在介绍自己的发现时，从来都不是按
照这项工作的过程进行的，而是
略去过程，通过必要的的订正、改进、修饰和改组等，以
尽可能完美的形式表达出来，公
布于众。现在的中学数学教科书就是以这种形式表现的数
学。教材所表现的是经过逻辑加
工的数学形式，呈现为概念――定理――（法则、公式）
――例题（习题）组成的纯数学
系统。展现在学生面前的是一副经过千锤百炼“完美无缺
”的、具有确切的概念、最少的
公理是严谨的论证方法的“逻辑链”。而对数学中基本概
念和思想方法的产生形成、发展
直至完善所走过的曲折而迂回的道路和痕迹都看不见了；
数学定理的发现、证明思路的猜
测和证明方法的尝试、评析也全然不见了，给人以一种假
象；数学是一种完美的规则系统。
这种完美的形式在一定程度上颠倒了数学发现的过程，
掩盖、埋没了数学发现、数学创造、
数学真实应用的思维活动。如果教师在教学中照本宣
科，以“就是这样”的观点把教材内
容塞灌给学生，无疑将会抑制学生的探索、发现、创
新思想，阻碍学生思维的发展和能力
的提高，学生得到的仅仅是死的数学知识。要提高数
学教学质量，发展学生的思维和能力，
数学教学中，教师必须以改革创新的精神，揭开数
学的“完美的面纱”，精心重
组教学
内容，
将凝结于教材中的科学活动过程展开，
使知识由静返动，
把演绎体系背后存在着
丰
富内容挖掘出来，按照数学活动的结果，通过“似真的”并导致该结果的发现和革新的思< p>
维活动为学生创设问题情景，引起认知冲突、构建。在知识内容的体现上展现其发生发展< p>
过程，教学生发现、创造，使数学完成了的形式变为待建立的形式。主学生在展开的活动< p>
可修改
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中将客观形态的知识内化为主观形态的知识，形成“我的数学”。这样学生的学习过程与
数学家的研究过程就具有基本的相似之处；二者都是在已有认知的基础上，运用科学方法，<
/p>
探索未知领域，得出新的结论；都是一种主客体相互作用的思维活动过程。
斯托利亚尔指出：
“数学教学是数学活动
（思维活动）
的教学而不仅是数学活动的结果――
数学知识的教学。”因此，数学教学不仅要反映数学活动的结果――理论，而且还要反映
得到这些理论的思维活动的过程。从现代人才观念上来说，后者尤为重要。教学中那种不
讲背景和条件，不讲思路和过程，忽视数学思想方法的做法，赞成了学生能听懂教师课堂
上讲的例题，熟记概念和定理，但课后不会解与例题同类型或稍加变化的题目。原因就在
于教师没能展开思维活动的过程，展现思想和方法，调动学生的思维，只是告诉了学生解
答的结果。演示了一遍解答的过程。但为什么要这样解。这个思路是怎样得到的，却没有
告诉学生，致使学生在解题时由于不会思考方法。我们要教给学生的不是死记现成的材料，
而是要通过展开的思维活动发现数学真理，反映数学思想和方法，揭示知识的精神裨。主
此，在数学教学中，要特别注意：数学概念、法则、性质、公式、公理、定理的提出过程；
解（证）题思路的探索过程；解（证）题方法和规律的概括、发展过程；数学知识的应用
过程；知识结构的建立、推广、发展过程。在过程中展开的思维并加以正确引导，走科学
家追求趔的道路，逐步形成一种主动弄清问题的内心需要和向未知领域探索的精神，在学
习中懂得应做什么和应该怎样做。
在概念教学中，要认识
引入的必要性。若能结合数学史谈其必要性，将对培养创造性思维
有促进作用。比如，为
什么要讲有理数域扩充到实数域，再扩充到复数域，扩充的办法为
什么是这样，这样做的
合理性在地方，又是怎样想出来的，经历了哪些主要坎坷，对数学
的发展起了什么作用等
。引入概念时，或者是从实际例子出发，对感性材料进行分析，逐
步抽象概括出概念来；
或者是通过所学概念与学生认知结构中的某个适当概念实现同化来
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学习概念，例如
“一元二次方程”、“平行四边形”等概念的不是通过同化方式来学习的。
前者要经历观
察、比较分析、抽象、概括等思维活动过程中，最好把概念的形成和概念的
同化结合起来
，以达到既能了解形成概念背后的丰富事实，又能促进新概念和原认知结构
中知识的联系
的目的，使概念教学不仅解决“是什么”的问题，还要解决“是怎样想到”
的问题，以及
有了这个概念以后又是如何建立、发展理论的问题，把概念的来龙去脉和历
史背景弄清楚
。数学定理的教学应是“发现定理、寻求证明、作者证明、运用定理”的思
维活动过程的
教学，而不是再现和熟记现成的证明的教学。斯托利亚尔说：“我们必须先
发现定理然后
再去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出证明。”要为学生
发现的情景和
环节，引导学生弄清定理的来源，反映数学的创造和建立的过程。寻求证明，
首先要分清
定理的条件和结论，要证明的例题是什么，怎样叙述的，对这样的叙述完全了
解吗，要证
明的例题还有没有另外的叙述方法；等概念的结论各包含哪些事项，它们的关
系怎样；明
晰书籍什么、求证什么。其次，要思考由什么样的前提才能推出要证明的例题，
即由给定
范围内的哪些已学过的命题（定义、公理、前此定理等）可以推出这个命题。利
用综合法
寻求证明的起点比较困难，这是因为怎么能想得到证明
（每一
个）必须从哪一
个定义、公理或前此定理开始呢？怎么能想出由哪一个命题可以推出要证
明的命题呢？必
须借助“倒推法”即分析法才能找到证明的起点。再次，弄明白证明中的
逻辑结构和手忙
脚乱的揄规则，加强逻辑揄能力训练。作出的证明要清楚、简明，并进行
评价分析，深化
思想方法。对于定理的作用、用途、应用范围和条件、与其他知识的关系
、应用时应注意
的问题等，教师也必须创设一系列情景，让学生主动探索，发现新问题。
在解题教学中，
要注意使学生独立思考、标新立异，从例子和已知知识中发现和提出新数
学问题，学会怎
样分析、怎样判断、怎样推理、怎样发现、怎样解决问题。通过深化和减
弱条件，，通过
加强结论、一般化、推广、特殊化、类比等引出或转化成别的问题，寻求
一题多变、一题
多解、多题一解、这问题同其他问题的联系和区别。教师不仅要按思考成
熟的方法讲解，
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还要把自己猜测的
心理活动坦率的告
诉学生，必将有利于沉重的想象能力、直觉思维能
力
培养和灵感的产生。
在数学教学中，
暴露数学思维活动的过程，展现知识的发生和发展是否可能？美国心理学家布鲁纳在考
察
了教学心理学后说：
“智力活动到处都是一样的，无论在科学的前沿或是在三年级都是一
样”
。实践证
明，当学生在专门创造的教学环境中发现了什么东
西，他是象第一次发现一样来思考的。
浅论数学直觉思维及培养
中学数学教学大纲
(
试验修订本
)
将培养学生的三大能力之一
逻辑思维能力
改为
思维能力
，
虽然只
是去掉两个字，概念的内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维 能
力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是直觉思维能力的培
养由于长期得不
到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯
燥乏味的；同时对数学的学习
也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。
过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思
维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会
发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。
一、数学直觉概念的界定
简单的说，数学直觉是具有意识的
人脑对数学对象
(
结构及其关系
)
的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明：
(1)
直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对
象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形
的两个底角相等，两个角
相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明，只是
一种直观形
象的感知。
而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。
庞
加莱说：
直觉不必建立在感
觉明白之上
．感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地
思考多角形，
多角形把千角形作为一个特例包括进来。
由此可见直觉是一种深层次的心理活动，
没有具
体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。
正如迪瓦多内所说：
这些富有创造性的科学家与众不
同的地方，在于他们对
研究的对象有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是
所谓
'
直觉'……，因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中
是看不见的。
(2)
直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为
逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其
实这是一种误解，逻辑思
维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于
分析，从侧
重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分
?
数学直觉
是否具有逻辑性
?
比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西，
人们对各种事件作出判断与猜想
离不开
直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人
们对生活现象与世界
运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。
数学最初的概念都是基于直觉，数
学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解
决也离不开直觉，下面我们就以数学问题的证明
为例，来考察直觉在证明过程中所起的作
用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多
< br>演绎推理元素
，一个成功的数学证明是这些基本运
算或
演绎推理元素
<
/p>
的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算和
演绎
推理元素
就是这条通道的一个个路段，
当一个成功的证明摆在我们面前开始，
逻辑可以帮助我们确信沿
着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却
不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可
可修改
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以构成一条通道。事实上，
出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。
庞加莱认为，
即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这
些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。
就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而 下
意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育
过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，
直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能
没有被激发出来，
学习的兴趣没有被调动起来，
得不到思维的真正乐趣。
《中国青年报》
曾报道，
约
30
％
< br>的初中生学习了平面几何推理之后，
丧失了对数学学习的兴趣
，
这种现象应该引起数学教育者的重视与
< br>反思。
二、直觉思维的主要特点
直觉思
维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，
笔者以为直觉思维有以下三个主要特点：
(1)
简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经
验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅
速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理
的中间环节，而采取了
跳跃式
的形式。它是一瞬
间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的
灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却
清晰的触及到事物的
本质
。
(2)
创造性
现代社会需要创造性的人才，
我国的
教材由于长期以来借鉴国外的经验，
过多的注重培养逻辑思维，
培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整
体上的把握，
不专意于细节的推敲，
是思维的大手
笔。
正是由于思维的无意识性，
它的想象才是丰富的，
发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。
伊恩．
斯图加特说：
直觉是真正的数学家赖以生存的东西
，许多重大的发现都是基于直觉。欧几
里得几何学的
五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路
上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分了环状结
构更是一个直觉思维的成功典范。
(3)
自信力
学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，
其二是来自数学本身的魅力。不可否
认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自
数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现
伴随着很强的
自信心
。相比其它的物资奖励和情感激
励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用
通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉
获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强
大的学习钻研动力，从而更
加相信自己的能力。
高斯在小学时就能解决问题
…… +9
9+100＝
?
，
这是基于他对数的敏
感性的超常把握，
这对
他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而
现在的中学生极少具有直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，
不能从整体上驾驭问题，也
就无法形成自信。
三、直觉思维的培养
一个人
的数学思维，
判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。
徐利治教授指出：
数学直觉
是可以后天
培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。
数学直觉是
可以通过训练提高的。
(!)
扎实的基础是产生直觉的源泉
直觉不是靠
机遇
，直觉的获得虽然具有偶然性，
但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知
识为基础。
若没
有深厚的功底，
是不会进发出思维的火花的。
阿提雅说：
一旦你真正感到弄懂一样东西，
而且你通过大
量例子以及通过与其它东两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验．对此你就会产生
一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。
< br>阿达玛曾风趣的说：
难道一只
猴
了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗
?
(2)
渗透数学的哲学观点及审美观念
可修改
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直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建邻的把握事物的本质
。这些哲
学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如
（
a+b
）
2= a2+2ab-b2
，
即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论
的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养
数学事物间所有存在着的和谐关系及
秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也
越强。狄拉克于
1931
年从数学对称的角度考虑，大
胆的提出了反物质的假说，他认为真空中的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，
他曾
经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么这个方程的正确性是可疑的。<
/p>
(3)
重视解题教学
教学中
选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选
择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉
思维的发展。
实施开放性问题教学，
也是培养直觉思维的有效方法。
开放性问题的条件或结论不够明确，
可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想
，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。
(4)
设置直觉思维的意境和动机诱导
这就要求教师转变教学观念，把主
动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成
分及时给予鼓励，爱护、
扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维
的悟性。教
师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
跟着感觉走
是教师经常讲的一句话，其实这句
话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上
升为一种思维观念。教师应该把直觉思
维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，
从整体上分析问题的特征
；重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，
对渗透直觉
观念与思维能力的发展大有稗益。
四、结束语
直觉思
维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思．斯图尔特曾
经说过这样一句话，
数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙
的结合在一起，
受控制的精神和富有灵感
的逻辑。
受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的
方向。
如何使数学教学成为数学活动的教学
前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书
中指出：“数学教学是数学活动的教
学（思维活动的教学）
。”
这种提法，是符合数学教育发展要求的，在数学教育改革的今天，使数学教学
成为数学活
动的教学非常必要。
所谓数
学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。
按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去研究
不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。
那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个
问题呢？下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑学生现有的知识结构
知识和
思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。
什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理
、定理、公式、方法等，它们之间存
在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描
述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，
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这就是知识结构。在教学中
只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是
否够用，用什
么样的教法来完成数学活动的教学。
例如：在讲解一元二次方程
[a(x)2
＋
bx
＋
c
＝0
a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等
等，那么上课前教师要清楚这
些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。
二、考虑学生的思维结构
数学教学是数学思维活动的教学，
进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。
心理学早已证明，思维能力及智力
品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的
年龄阶段上是不相同的。
斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水
平，在这五
个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学
成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。
1
．中学生思维能力之特点
我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽
管思维能力的几个方面的发展有所先
后，
但总的趋势是一致的。
初一学生的运算能力与小学四、
五年级有类似之处，
处于形象抽象思维水平；
初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻
辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处
在由经验型水平向理论型水平的急剧
转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四
项指标来看，初二年级
是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关
键时期。
高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。
总的来说，中学生思维有如下特点。
首先，整个中学阶段，学生的思维
能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中
学生的思维和高中学生的
思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大
程度上还属
于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理
论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只
有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次，
初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由
经验型水平向理论型水平转化，
到高中一、
二年级，
这种转化初步完成，
这意味着他们的思维趋向成熟。
这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的
发展。
2
．学习数学的几种思维形式
（
1
）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论
或答案，要求使之成立各种条
件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过
来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的
题目。后者就属于逆向型思维。
< br>（
2
）
造例型思维。
某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，
也常常要用反例证明其不合
理性。
根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如
：试求其反函数等于
自身的函数。
（
3
）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。
（
4
）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可
推知的问题或结论，由学生自
己去探索。比如让学生观察
y
＝
sinx
的图象，说出它的主要性质，并
逐一加以说明。
了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中
，结合教材的特点，运用有效的教学
方法，思维活动的教学定能收到良好效果。
三、考虑教材的逻辑结构
我们现
有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。
如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化
。比方说，指数、对数、开方三种不
同形式都可表示为：
a
、
b
、
N
之间的关系
a
的
b
次幂等于
N
，是否可以把它们安排在一起学
习。再比方
说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题
、等积问题，在讲解时，
可用一个方程表示不同问题，
使他们得
到统一，
只是问题形式不同而已，
其方程形式没有什么本质差异
，
可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干
。因为这些问题
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具体不同的思维形式，要受
小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。
数学思维活动的教学，就是要尽量
克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思
维能力，完成学习任务。
在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，
对它
应有一个总的认识。
1
．初等
数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、
摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。
2
．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部
分，
各部分又相互渗透，相互为用。
3
．初等
数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和
基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长
起来的。
4
．初等数学的普通教育价值。对中
小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5
．与高
等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究
和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时
对数学活动教学的模式来说也是恰到好处
的。比方说，特点
1<
/p>
，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点
2
、
3
，对数学标准的逻辑组织化
也很适宜；特点
4
、
5
，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。
数学活
动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，
不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。
四、考虑积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目
前使
用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议
论引导教学法、启
发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为
一句话，那就是：积极的教学法。
其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力
。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学
生独立解决一些问题，注意能力的培养。
从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某
部分内容确实有事半功倍功
能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平
的差异，兴趣
的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。
我们主
张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑
上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法
较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。
< br>
数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般
来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以
推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中
的应用，尤其
是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识
，增进技能，从而发展他们
的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面
的知识，比如我国古代科学家的重大贡献
及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。<
/p>
另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有
独
立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。
< br>
究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料
让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结
合起来，达到启发思维的目的。
从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活
动教
学的效果。
为使数学活动教学收到良好效果，
目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚
南在总结过去经验基础上
，提出几种有效的方法。
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首先，重视结论的探求过程。数学
中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、
练习、归纳等方法发现命
题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将
结论内容具
体化。
其次，是沟通知识间的内在联系。她认为：数学有着严密的体系，学生揭示数学知识之间
纵横交错
的内在联系，是学生主动思维活动的过程，可引导学生按知识的发生、发展、变
化关系或逻辑关系整理
出一个单元的知识结构和基本的研究方法，进行知识的引申、串变
，提高学生灵活运用知识的能力。
第三，是注重数学语言的表达。
以上的
做法确实收到了良好效果，
但要结合自己的教学实际，
灵活运用
，
完成数学活动教学的任务。
如何培养学生的猜想和直觉能力
近期《中学数学教学参考》刊登了不少较好的文章，特别是，
与数学教育总的改革形势相呼应，其
中更包括了一些由身处教学第一线的教师所撰写的颇
具新意的文章．
例如，
本刊第
10
期上所发表的张蕴
禄同志的文章
（以下简称
“张文”）
，
就围绕如何培养学生的猜想和直觉能力这一十分重
要的问题提出了
一个与传统观点很不相同的见解：“能否少问学生几个‘为什么
’”．
事实上
，正如人们现已普遍认识到的，我们应当把培养学生的创新能力作为数学教育的一个基本目
标．
但是，
如果我们的教师不具有任何的创新意识，
而只是束缚于各种传统的观念
或教学模式中，
那么，
上述的目标自然就不可能顺利地得以实现．
(
也正是在同样的意义上，笔者以为，我们并应充分肯定《中
学数学教学参考》
在这一方面所发挥的重要的导向作用；
而且，
与全国诸多的同类刊物相比，
《中学数学
教学参考》更在创新上表现出鲜明的特色．对此读者也可作出自己的判断．
)
然而，在充分肯定创新精神的同时，笔者以为，我们又应注意作出适度的平衡，特别是应当防
止因
“标新立异”而由一个极端走向另一个极端．
以下就从这样
的角度对如何培养学生
的猜想和直觉能力的
< br>问题作出进一步的分析，或者说，即是对“张文”所提出的观点作一必要的补充或澄清．
< br>
首先，笔者以为，这是“张文”的一个基本立足点，即我们应
当注意培养
(
应当指明，在
“张文”
原来的意义上，使用“保护”这样一个术语也许是更为恰当的<
/p>
)
学生的猜想能力、
< br>想象能力和直觉能
力．这一基本主张当然无可非议；而且，笔者也认为学生
(
至少是一部分
同
学
)
对于某些问题能作出很好
的猜测，
或者说具有很好的直觉能力；再者，“在数学中
(
又
)
确实有许多‘只可意会、不可言传’的东
西，
要说明为什么有时是很困难的”．
但是
，
现在的问题是，
我们能否由此而引出这样的结论，
即应“少
问学生几个‘为什么’”?
我想对
于直觉的“易谬性”在此不用作过多的强调；
但是，
如果不是坚
持提出“为什么
”，
学生又
怎么可能很好地形成“证明”的意识呢
?
我们又
怎么能够深切地认识到“证明”
的必要性及其积极意义
呢
?
事实上，在笔者看来，除历史，特别是中国古代数学发展的历史以外，美国自
80
年代以来
在“问
题解决”这一方向上所进行的改革实践也已为上述的结论提供了进一步的论据．具体地说，在所
说的改
革实践中人们经常可以看到这样的现象，即学生们
(
甚至包括教师
)
只是满足于用某种方法
(
包括观察、实
验和猜想
< br>)
求得了问题的解答，
却不再对此进行进一步的思考和研
究，
甚至未能对所获得结果的正确性作
出必要的检验和证明．这
种现象当然引起了人们特别是数学家的极大不安．例如，美国加州大学的伍鸿
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熙教
授就曾强调指出，
对于直觉与非形式的强调是无可非议的，
但是
，
我们并不能以此去取代数学证明，
而只能作为后者的必要补充
；
而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，
他
们
(
指学生们
——注
< br>)
很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何
去解决问题更
糟，因为，“证明正是数学的本质所在”．
(
详见另文：
《关于“大众数
学”的反思》
．载：
《数学教育的
< br>现代发展》
．南京：江苏教育出版社，
1999)
当然，
应当明确的是，
“张文”并没有任何
否定证明的意思，
勿宁说，
他所强调的主要是
< br>
这样一点：
“数学教学应重视数学猜想和数学直觉思维
．特别是在猜想阶段，在不知道结论是什么的阶段，尽量少
问学生‘为什么’．”但是，
在笔者看来，这事实上即就涉及到了如下进一步的问题，即应如何去培养
学生的猜想和直
觉能力
?
特别是，
所说的这两种能力究
竟应被看成是一种天赋，
还是有一个后天发展的过
程
?
另外，多问“为什么”是否就会抑制学生猜想和直觉能力的发展
?
就前一个问题而言，我想大多数数学工作者，包括数学教师都会由自己的亲身体验对此作出明确的< /p>
答复，
也即认为应当肯定猜想和直觉能力的发展性和可培养性．<
/p>
例如，
对于一个专业的数学工作者来说，
他所具有的数学直觉显然已不再是一种素朴意义上的原始直觉，而是一种精致化了的直觉，也即是通过
多年的学习和研究才逐渐养成的；另外，也正是基于这样的认识，我们才能谈到“学会猜想”，或如 波
利亚所提倡的那样，如何帮助学生去“学会合理的猜想”．
显然，
如果承认上述的立场，
那么，
一个必然的结论就在于，
作为一个教师，
我们
不仅应当注意“保
护”学生已有的猜想能力和直觉能力，
而且应
更加注意帮助学生学会合理的猜想
方法，
并使他们的直觉
不断得到发展和趋向精致．
进而，
笔者认为，
必要的反思则又正是培养和发展猜想与直觉能力的重
要一环．
事实上，
按照不少
著名学者
(
如皮亚杰
)
的分析，这正是数学思维的一个重要特点，即其主要地建立在所
谓的“自反抽象”
之上
(
对此应与其他自然科学中的“经验抽象”明确地加以区分
)
< br>，从而也
就是与反思的活动直接相联系
的．特殊地，又由于经常地自问“为什么”正是所说的“反思活动”的一个基本形式，因此，在这样的<
/p>
意义上，
笔者以为，
为了很好地培养学生
的猜想和直觉能力，
我们就不仅应当经常地问学生“为什么”，
而且更应努力促进学生由“被动状态
”向相应的“自觉状态”
的转变，也即由被动地去回答老师关于
“为什么”的问题而发展成为经常地向自己提出“
为什么”．
值得提及的是，上述的转变不仅对
于培养和发展学生的猜想和直觉能力有着十分重要的意义，而且
对于发展学生的元认知能
力也是十分重要的，
而后者事实上也应被看成数学教育
乃至一般教育的一个重
要目标（对此可参见另文：
《对于波利亚的“超越”》
，载：
《数学
< br>
教育的现代发展》
，或《认知科学、建
构主义与数学教育》
．上海：上海教育出版社，
199
8
）
<
/p>
最后，笔者并愿指出这样一点，尽管这“有时是很困难的”，但是，一个好的猜想
(
或者
说，一个
“合理”的猜想
)
又总是有“道理”可言的
——当然，后者并不能简单地被等同于严格的证明，勿宁说，
这主要是指一些启发性的原
则．例如，就“张文”中所举出的关于幻方的例子而言，“为什么先确定中
间位置上的数
?
这一位置又为什么填
5?
为什么对角线上填写
6
和
4?”对此我们事实上就都可从启发法的角
度说出一定的道理
(
详见另著：
《问题解决与数学教育》
．
南京：江苏教育出版社，
1994)
．另外，按照文中
所提及的特殊的“猜测情境”
(图
2)
，学生们猜测半球的体积为
(
进而，球的体积
为）应当说也是十分自
然的，因为，这显然就是教师所企望的一个结果，而任何有经验的
教师又都清楚地知道，学生往往能由
自己的学习经验总结出如下的“启发性原则”：按教
师所暗示的思路去寻找解答往往最为有效和最为可
靠．
当然，就后一例子而言，笔者在此所要强调的无非是这样一点：为了培养学生的猜想和直觉能
力，
我们不能在“启发”的道路上走得过远．具体地说，与直接出示图
< br>2
相比，
笔者以
为，以下的做法更为
恰当，
即提出如下的一些问题或
建议：
“如果你不能解决所提出的问题，
可先解决一个与此有关
的问题．
你
能不能想出一个更容易着手的有关问题
?
一个更普遍的问题，一个更特殊的问题?……”从而让学生主动
地去联想起已掌握的各种体积计算公式，并以此为依据去对新的问题作出猜想．当然，正如人们所熟 知
的，所说的问题和建议又正是波利亚所给出的“怎样解题表”的重要组成成分．
另外，更为一般地说，我们在此事实上涉及到了数学方法论的
研究对象或主要特征．这就是指，数
学方法论所关注的主要是数学发现、
创造过程的“理性重建”，
也即是希望能通过
方法论的分析使数学
可修改
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中的发明、创造活动成为“
可以理解的”、“可以学到手”和“可以加以推广应用的”；进而，笔者认
为，这又正是
我们改进数学教学的一个重要手段，即是应当以思想方法的分析去带动具体知识内容的教
学．
由于数学启发法的核心即是一些定型的问题和建议，因此，在
笔者看来，这事实上也就更为清楚地
表明了这样一点：
为了培养
和发展学生的猜想和直觉能力，
我们不仅不应少问、
而是应多问
学生几个“为
什么”．当然，又如波利亚所指出的，这里的关键即在于“运用得
当”；特别是，正如“张文”中所指
出的，我
们不应“每一步、每一个问题都问学生几个为什么．”另外，更加重要的是，就如上面所提及
的，我们又应十分注意帮助学生养成自问和反思的习惯．
可修改