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2021年2月13日发(作者：巨海豚)

数与形——携手并肩的搭档

奥涅格曾说：“正如树枝和树干连在一起那样，脱离树枝的树 干很快会枯死。”处处都有且需要合作，数学

也不例外。

何为数学？数学是以抽象的形式，追求高度精确，成为人类精密思维的一种典范。数学分为代 数和几何两大

类，表面看似他们毫不相干，相差甚远，其实，它们是互相依存，密切相连 ，携手并进的最佳搭档，数形结合在

解题中胜似如虎添翼。

< /p>

数学家华罗庚有首短诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。。。。。。数形结合百 般好，隔离分家

万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离！”其可见数形结合 求解策略的重要和优越性。

对于数形结合，函数表现得最为淋 漓尽致。函数关系式鲜明地展现了代数的奇妙和不可争辩的计算，而函数

图像则是将数美 轮美奂地在图中表示。

当然，在我们的学习中数形搭档的配合 对解题的推波助澜的例子也是信手拈来。如：

直线

< p>
y=ax(a

＞

0)

与双 曲线

y=

3

交于

A< /p>

（

x

1

,

y

1

），

B

（

x

2

，

y

2

）两点，则

求

4

x

1

y

2



< br>3

x

2

y

1



x

该题如果用代数的方法，联立方程 组求点坐标，再求值，这不仅要有很高的计算能力而且步骤繁多且复杂。

但如果认真分析 本题，绘出草图，会发现直线、双曲线在坐标系下的两个交点是关于原点或中心对称的。这个发

< br>现带来的信息就是

A

、

B

两点的横坐标与纵坐标分别互为相反数，

y



ax

< /p>

即

x

1





x

2

,

< p>
y

1





y

2

.

于是，

4

x

1

y

2< /p>



3

x

2

y

1



4

< p>
x

1

(



y

1

)



3

(



x

1

)

y

1

< /p>



x

1

y

1

，

由于点

A

（

x

1

,

y

1

）在双曲线 上，

y



3

所以

y

1



即

：



x

1

y

1





3

x

1

3

x

B

A

通过数形结合方法解题，

脉络清晰分 明，

简单明了。

其实，

数形结合策略也 可防误求优，

如：

对非负实数

x

“

四

舍

五

< p>
入

”

到

个

位

的

值

记

为



x



，

即

：< /p>

当

n

为

非

负

实

数

时

< p>
，

如

果

n



3

1



x



n



2

,



x

< /p>



n

；

像

2



0



< p>




0

.

48





0

< br>；



2





2

；



0

.

68



< /p>

0

；



1

.

493





1

„„，试求：满足



x





4

x

的所有非负实数

< br>x

的值。

初看此题难免会一头 雾水，可当我们把思绪从题目的代数转向几何，可以认识到

达式，如果能在同一坐标系画 出

y





x< /p>



与

y=

4< /p>

x

是一个正比例函数的表

3

4

x

的图像，它们的交点即为所求的，（如下图）

3

4

3

3

3

3

1

),(

< br>，

2

)

所以

x=0,

，

.

Y=

< /p>

x



的图像与

y =

x

的图像交于点

(0,0 ),(< /p>

，

3

4

2

4

2

该题从“形”的角度，思维跳跃，利用数 形结合成功化繁为简。

在实际的生活中，数形结合这两携手并 进的搭档的身影也是随处可见。就以建筑设计为例，这既需要进行一

番周密的计算，也应 有一副简略的大概轮廓构图。如果只计算不构图，而凭空臆想，那只能是空谈；只构图不计

算，那就显得毫无意义可言。

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