高中数学竞赛专题讲义之不定方程
-
不
定
方
程
【知识精要】
形如
x
+
y
=4
，
x
+
y
+
z
=3
，
1
1
=1<
/p>
的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次
x
y
不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（
1
）不定方程是否有解？（
2
）不
定
方程有多少个解？（
3
）求不定方程
的整数解或正整数解．
对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：
定理
1
．二元一次不定方程
ax
+
by
=
c
，
（
1
）若其中（
a
，
b
）
c
，则原方程无整数解；
（
2
）若（
a
，
b
）
=1
，则原方程有整数解；
（
3
< br>）若（
a
，
b
< br>）｜
c
，则可以在方程两边同时除
以（
a
，
b
）
，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（
2
）的情形．
如：方程
2
x
+4
y
=
5
没有整数解；
2
x
< br>+3
y
=5
有整数解．
x
x
0
x
< br>
cx
0
定理
< br>2
．若不定方程
ax
+
by
=1
有整数解
<
/p>
，则方程
ax
+
by
=
c
有整数解
，
y
y
y
cy
0
0
x
cx
0
bk
此解称为特解．方程方程
ax
+
by
=
c
的所有解（即通解）为
（
k
为整数）
．
y
cy
ak
0
对
于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：
（
1
）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求
解；
（
2
）
构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；
（
3
）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值
范围，然后再求解．
【例题精讲】
一
二元一次不定方程
例
1
．求方程
4
x
+5
y
=21
的整数解．
x
1
x
21
解：因为方程
4
x
+5
y
=1
有一组解
，所以方程
4
x
+5
y
=21
有一组解
．
y
< br>
1
y
21
x
5
k
又因
为方程
4
x
+5
y
=0
的所有整数解为
（
k
为整数）
，
y
4
k
< br>x
21
5
k
所以方程
< br>4
x
+5
y
=21
的所有整数解为
（
k
为整数）
．
y
21
4
k
x
1
说明：
本题也可直接观察得到方程
4
< br>x
+5
y
=21
的一组特解
，
从而得到
4
x
+5
y
=21
y
5
x
1
5
k
的通解
（
k
为整数）
．
y
5
< br>4
k
练习
1
．求方程
5
< br>x
+3
y
=22
的所有正整数解．
x
1
解：方程<
/p>
5
x
+3
y
=1
有一组解为
y
2
x
22
所以方程
5
x
+3
y
=22
有一
组解为
y
44
x
3
k
又因为
5
x
+3
y<
/p>
=0
的所有整数解为
< br>，
k
为整数
< br>y
5
k
x
3
k
22<
/p>
所以方程
5
x
+
3
y
=22
的所有整数解为
，
k
为整数
y
5
k
44
< br>
k
3
k
22
0
由<
/p>
解得
5
k
44
0
k
22
3
，所以
k
=8
，原方程的正整数解为
x
2
．
44
y
<
/p>
4
5
说明：由此题可见，求不定方程的正
整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通
解）
，然后再求
其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中
k
的取值范
围．
若一次不定方程的特解不易观
察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题
说明这种方法．
< br>
例
2
．求方程
63
x
+8
y
=
－
23
< br>的整数解．
解：
（
1
）用
x
、
y
中系数较大者除以较小者．
63=8×
7+7
．
（
2
）用上一步的除数除以上一步的余数．
8=7×
1+1
（
3
）重复第二步，直到余数为
1
为此．
（
4
）逆序写出
1
的分解式．
1=8
－
7×
1=
8
－（
63
－
8×
7
）
×
1
=8
－
63+8×
7=8×
8
－
63
．
（
5
）写出原方程的特解
和通解．
x
1
所以方
程
63
x
+8
y
=1
有一组特解
< br>，方程
63
x
+8
y
=
－
23
有一组特解
y
8
x
23
x
< br>23
8
k
，所以原方程的所有整数解为
，
k
为整数．
y
8
23
y
<
/p>
8
23
63
k
练习
2
．求方程<
/p>
37
x
+107
y
=25
的整数解．
解：
107=2×
37+33
37=1×
33+4
33=4×
8+1
所以
1=33
－
4×
8=33<
/p>
－（
37
－
1×
33
）
×
8=
37×
（－
8
）
+33×
9=37×
（－
8
）
+
（
107
－
2×
37
）
×
9=107×
9+37×
（－
26
）
x
26
所
以
方
程
37
x
+107
y
=1
有
一
组
整
数
解
为<
/p>
，
原
方
程
的
所
有
整
数
解
为
y
9
x
26
25
107
k
，
k
为整数．
y
9
25
37
k
二
多元一次不定方程（组）的整数解
多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．
下面通过例题进
行说明．
例
3
．求方程
12
x
+8
y
+36
z
=100
的所有整数解．
解：原方程可化为
3
x
+2
y
+9
z
=25
．
3
x
2
y<
/p>
t
将①分为
t
9
z
25
②
③
④
⑤
x
t
2
k
1
x
t
< br>②的一组解为
，所以②的所有整数解为
y
t
3
k
y
t<
/p>
1
t
7
9
k
2
t
7
③的一组解为
，
所以③的所有整数解为
z
2
k
z
<
/p>
2
2
⑥
⑦
k
1
为整数．
k
2
为整数．
x
7
9
k
2
2
k
1
将⑥代入④⑤，消去
t
得
，
y
<
/p>
7
9
k
2
3
k
1
（
k
1
，
k
2
为整数）
．
z
< br>
2
k
2
练习
3
．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字
1
，