小学数学不定方程与不定方程组的解法
-
不定方程与不定方程组
知识框架
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的
分支之一．古希腊的丢番图早在公元
3
世纪就开始研究不定方程
，因此常
称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井
问题就是一个不定方程组
问题，公元
5
世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．
考点说明
在各类竞赛考试中，不定方
程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要
方法贯穿在行程
问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有
着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这
个工具解题。
二、不定方程基本定义
（
1
）
定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）
。
（
2
）
不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一
。
（
3
）
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解<
/p>
三、不定方程的试值技巧
（
1
）
奇偶性
（
2
）
整除的特点（能被
2
、
3
、
5
等数字整除的特性）
（
3
）
余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）
重难点
（
1
）
b
利用整除及奇偶性解不定方程
（
2
）
不定方程的试值技巧
（
3
）
学会解不定方程的经典例题
例题精讲
一、利用整除性质解不定方程
【例
1
】
求方程
2x
－
3y
＝
8
的
整数解
【考点】不定方程
【解析】
方
法一：由原方程，易得
2x
＝
8
＋
3y
，
x
＝
4
＋
3
y
，因此，对
y
的任意一个值，都有一个
x
与之对
2
应，并且，此时
x
与
y
的值必定满足
原方程，故这样的
x
与
y
是原方程的一组解，即原方程的解
3
x
4
< br>
k
可表为：
2
，其中
k
为任意数．说明<
/p>
由
y
取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多
y
k
组解
．
方法二：根据奇偶性知道
2x
是偶数，
8
为偶数，所以若想
2x
－
3y
＝
8
成立，
y
必为偶数，
当
y
＝
0
，
x
＝
4
；当
y
＝
2
，
x
＝
7
；当
y
＝
4
，
x
＝
1
0……
，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解
【
巩
固
】
求
方程
2x
＋
6y
＝
9
的整数解
【考点】不定方程
【解析】
因
为
2x
＋
6
y
＝
2(x
＋
3y)
，所以，不论
x
和
y
取何整数，都有
2|2x
＋
6y
，但
2
9
，因此，不论
x
和
< br>y
取什么整数，
2x
＋
6y
都不可能等于
9
，
即原方程无整数解．
说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解
【例
2
】
求方程
4x
＋
10y
＝
34
的正整数解
【考点】不定方程
【解析】
因
为
4
与
10
的最大公约数为
2
，而
2|34
，两边约去
2
后，得
2x
＋
5y
＝
17
，
5y
的个位是
0
或
5
两
种情况，
2x
是偶数，要想和为
17
，
5y
的个位只能是
5
，
y
为奇数即可；
2x
的个位为
2
，所以
x
的
取值为
1
、
6
、
11
、
16……
x
＝
1
时，
17
－
2x
＝
15
，
y
＝
3
，
x
＝
6
时，
17
－
2x
＝
5
，
y
＝
1
，
x
＝
11
时，
17
－
2x
＝
17
－
22
，无解
x
1
x
6
,
所以方程有两组整数解为：
y
3
y
1
<
/p>
x
1
x
6
,
【答案】
y
3
y
1
< br>
【
巩
固
】
求
方
程
3x
＋
5y
＝
12
的整数解
【考点】不定方程
【解析】
由
3x
＋
5y
＝
12
，
3x
是
3
的倍数，要想和为
12
（
3
的倍数）
，
5y
也为
3
的倍数，所以
y
为
3
的倍数
即可，所以
y
的取值为
0
、
3
、
6
、
9
、
12……
y
＝
0
时，
12
－
5y
＝
12
，
x
＝
4
，
x
＝
3
时，
12
－
5y<
/p>
＝
12
－
15<
/p>
，无解
x<
/p>
4
所以方程的解为：
< br>
y
0
x
4
【答案】
y
0
【例
3
】
求
7<
/p>
x
19
y
213
的所有正整数解．
【考点】不定方程
【解析】
按
照顺序逻辑讨论，从
y
值讨论，由
y=1
开始，当
y=2
时，
x=25
，当
y=9
时，
x=6.
【答
案】
x=25
，
y=2
X=6
，
y=9
【
巩
固
】
求
6
x
22
y
90
的自然数解
【考点】不定方程
【解析】
按
照顺序逻辑思维先考虑
y
的取值，当
y=0
时，
x=15
< br>，当
y=3
时，
x=4.
【答案】
x=15
，
y=0
X=4
，
y=3
二、利用余数性质解不定方程