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2021年2月13日发(作者：赵本山小品相亲3)

一次不定方程（组）及方程的整数解问题

【写在前面】

不定方程（组）是数论 中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现

.

对于不定

方程（组）

，我们往往只求整数解，甚至是只 求正整数解，加上条件限制后，解就可确定

.

有时还可以解决计

数、求最值等方面的问题

.

二元一次不 定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化

为二元一次不定方程 问题加以解决

.

【本讲重点】

求一次不定方程（组）的整数解

【知识梳理】

不定方程（组）是指未 知数的个数多于方程的个数的方程（组）

，其特点是往往有无穷多个解，不能唯

一确定

.

重要定理：

设

a

、

b

、

c

、

d

为整数，则不定方程

ax



by



c

有：

定理

1

若

(

a

,

b

)



d

,

且

d

不能整除

c< /p>

，则不定方程

ax



by



c

没有整数解；

< p>

x

定理

2

< /p>

若

(

x

0

,

y

0

)

< p>
是不定方程

ax



by< /p>



c

且的一组整数解（称为特解）

，则







x

0



bt

< p>
,

（

t

为整数）是方



y



y

0



at

程的全部整数 解（称为通解）

.

（其中

(

a

,

b

)



d

,

且

< br>d

能整除

c

）

< br>.

定理

3

< br>若

(

x

0

,

y

0

)

是 不定方程

ax



by

< br>

1

，

(

a

,

b

)



1

的特解，则

(

cx

0

,

cy

0

)

是方程

ax



by



c

的一个特

解

.

（其中

(

a

,

b

< br>)



d

,

且

d

能整除

c

）

.

求整系数不定方程

< p>
ax



by



< p>
c

的正整数解，通常有以下步骤：

（

1

）

判断有无整数解；

（

2

）

求出一个特解；

（

3

）

写出通解；

（

4

）

有整数

t

同时要满足的条件

（不等式组）

，

代入命题

（< /p>

2

）

中的表达式，

写出不定方程的正整数解

.

解不定方程（组）

，需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：

（

1

）分离整系数法；

（

2

）穷举法；

（

3

）因式分解法 ；

（

4

）配方法；

（

< p>
5

）整数的整除性；

（

6

）奇偶分析；

< /p>

（

7

）不等式分析；

（

8

）乘法公式< /p>

.

【学法指导】

【例

< br>1

】

求下列不定方程的整数解（

1

）

2

x

< /p>

6

y



8

；

（

< p>
2

）

5

x



10

y



< br>13

.

【分析】

根据定理

1

、定理

2

确定方程的整数解

.

【解答】

（

1

）原方程变形为：

x< /p>



3

y



4

，

观察得到< /p>





x



1

,



y

< p>


1

是

x



3

y



4

的一组整数解（特解）

，

根据定理

2

，





x



1



3

t

,



y



1



t

(

t

是整数

)

是原方程的所有整数解

.

（

2

）∵（

< br>5

，

10

）

=5

，但

5

不能整除

13

，

∴根据定理

1

，原方程的无整数解

.

< br>【点评】

先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解

.

求出的特解不同，同一

个不定方程 的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的

.

【实践】

求下列不定方程的整数解（

1

）

7

x



14

y



211

；

（

< p>
2

）

5

x



14

y



< br>11

.

x

答案：

（

1

）无整数解；

（

2

）







5



< br>14

t

,

(

t

是整数

)



y



1



5

t

【例

2

】

求方程

7

x



19

y

< /p>

213

的所有正整数解

.

【分析】

此方程的系数较大，

不易用观察法得出特解

.

根据方程用

y

来表示

x

,

再将含

y

的代数式分离出整系数

部分 ，然后对分数系数部分进行讨论，赋予

y

不同的整数，寻找一个 使分数系数部分成为正整数的

y

0

，然 后

再求

x

0

， 写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解

.

【解答】

∵（

7

，

19

）

=1

，根据定理

2

，原方程有整数解

.

由原方程可得

x



213



19

y

7



210



14

y



3



5

y

7



30



2

y



3



5

y

7

，

由此可观察出一组特解为

x

0

=25

，

y

0

=2.

∴方程的通解为





x



25< /p>



19

t

,



y



2



7

t

(

t

是整数

)

.

< p>


25



19

< p>
t



0

,

其中





< br>2



7

t



0

25



t





,

25

2



19

∴



∴





t





19

7



t

< p>


2



7



∴

t





1

,

0

代入通解可得原方程的正整数解为





x



6

,



y

< /p>

9

.



x



25

,

或





y



2

.

【点评】

< p>
根据定理

2

解这类方程，若未知数的系数较大不容 易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示

另一个未知数，再利用整数的知识，这是 解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法

.

这样就 容易

找出一组整数解来

.

< p>
【实践】

求方程

31

< /p>

47

y



265

的正整数解

.

答案：

x=4,y=3.

【例

3< /p>

】

大客车能容纳

54

人，小客车能容纳

36

人，现有

3 78

人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每

个人都能上车 且各车都正好坐满

.

【分析】

本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可

.

【解答】

设需要大客车

x

辆，小客车

y

辆，根据题意可列方程

54

x

< br>

36

y



378

，即

3

x

< br>

2

y



21

.



x



1

,



y



9

又

（

3

，

2

）

=1

，

< p>
根据定理

2

，

原方程有整 数解

.

易知



是一个特解，

通解为





< p>
x



1



2

t

,



y



9



9

t

(

t

是整 数

)

由题意可知





1



2

t



0

,< /p>



9



9

t



0

解得

t< /p>



0

,

1

,

2

,

3

< p>
.

相应地



< p>


x



1

,



x



3

,



x



5

,



x< /p>



7

,







y

< p>


9

.

y



6

.

y



3

.

y



0

.



< /p>





答：需要大客

1

车辆，小客车

9

辆；或需要大客车

3

辆，小客车

6

辆；或需要大客车

5

辆，小客车

3< /p>

辆；也可以只要大客车

7

辆，不要小客车

.

【点评】

一般来说实际问题通常取 正整数解或者非负整数解

.

【实践】

某次考试共需做

20

道小题，对

1

道得

8

分，错一道 扣

5

分，不做不得分

.

某生共得

13

分，他没做的

题 目有几道？

答案：

7

【例

4

】< /p>

某人的生日月份数乘以

31

，生日的日期 数乘以

12

，相加后得

347

，求此人的生日

.

【分析】

< br>本题的隐含条件是：月份的取值

[1

，

< br>12]

，日期的取值

[1

，

31].

【解答】

设此人生日的月份数为

x ,

日期数

y.

根据题意可列方程

31x+12y=347.

〈方法一〉

〈方法二〉

特解：





x



5



y



16



x



5

< p>


12

t

通解：



(

t

是整数

)

y



16

< p>


31

t





12

y< /p>



347



31

x



12

|< /p>

(

347



31

x

)



347



31

x< /p>

(mod

12

)



1



x

< /p>

12



1



5



12

t



12











1



y



31



1



16

< br>

31

t



31



解得

t



0



x



5





< /p>

y



16

是符合 题意解

.



11



7

x

( mod

12

)



x



12

t



5

(

t

是整 数

)



1

< /p>

x



12



x



5

把

x



5

代入原方程得：

y



16

< /p>

1



12

t



5



12



t



0

< p>
答：此人的生日为

5

月

1 6

日

.

【 点评】

求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解

.

其中方法二是利用了同余的知识

.

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