奥数题：不定方程
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不定方程
知识梳理：
一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的
分支之一．
古希腊的丢番图早在公元
3
世纪就开始研究不定
方程，
因此常称不定方程为丢番图方程．<
/p>
中国是研究不定方程最早的国家，
公元初的五家共
井问题就是一个不定方程组问题，公元
5
世纪的《张丘
建算经》中的百鸡问题标志着中国对
不定方程理论有了系统研究．
宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起
来．
考点说明
在各类竞赛考试中，
不定方程经常以应用题的形式出现，
除此以外，
不定方程还经常作
为解题的重要方法贯穿在行程问题、
数论问题等压轴大题之中．
在以后初高中数学的进一步
学习中，
不定方程也同样有着重要的地位，
所以本讲的着重目的是让学生
学会利用不定方程
这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义
1
、定义：
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程
（组）
。
2
、不定方程的解：
使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解
不唯一。
3
、研究不定方程要解决三个问题：
①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有
的解
三、不定方程的试值技巧
1
、奇偶性
2
、整除的特点（能被
2
、
3
、
5
等数字整除的特性
）
3
、余数性质的应用（和、差、积
的性质及同余的性质）
例题：
模块一、利用整除性质解不定方程
【例
1
】
求方程
2x
－
3y
＝
8
的整数解
< br>
练习：
求方程
2x
＋
6y
＝
9
的整数解
【例
2
】
求方程
4x
＋
10y
＝
34
的正整数解
练习：求方程
3x
＋
5y
＝
12
的整数解
模块二、利用余数性质解不定方程
【例
3
】
求不定
方程
7
x
1
1
y
1288
的正整数解有多少组？
【例
4
】
求方程
3x
＋
5y
＝
31
的整数解
练习：解方程
7
x
4
y
89
，
（其中
x
、
y
均为正整数）
模块三、解不定方程组
1800
a
1200
b
800<
/p>
c
16000
【例
5
】
解方程
（
其中
a
、
b
、
c
均为正整数
）
a
b
c
15
1
5
x
3
y
z
100
练习：解不定方
程
(
其中
x
、
y
、
z
均为正整数
)
3
x
y
z
100
二元一次方程组的解法
代入消元法
代入法是通过等量代换，
消去方程组中的一个未知数，
使二元一次方程组转化为一元一<
/p>
次方程，
从而求得一个未知数的值，
然后
再求出被消去未知数的值，
从而确定原方程组的解
的方法
.
代入消元法是解二元一次方程组的基本
方法之一
.
“消元”体现了数学研究中转化的重
要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，
也是今后解其他方程
（组）经常用到的方
法
.
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，
将这个方程中的一个未知数，
例如
y
，
用另一个
未知数如
x
的代数式表示出来，即写成
y
ax
b
的形式；
②
y
ax
b
代入另一个方程中，消去
y
< br>，得到一个关于
x
的一元一次方程；