二元二次不定方程解法探讨
-
对二元二次不定方程解法
的探讨
院
－
系：
教师教育学院
专
业：
小学教育
年
级：
2009
级
学生姓名
:
张建丽，董雪娇，杨汝，李
蓓
学
号：
第十四组
导师及职称：
杜先存
20
11
年
12
月
1
二元二次不定方程解法探讨
摘要：
在实际生活中，
许多问题往往归结为不
定方程求解。
同时，不定方程与其它学科如组合数学、运筹学、几何等也
有着密切的联系，故研究不定方程有及大的实用价值。本文
主要介绍二元二次不
定方程的解法。
关键词：不定方程，二元二次，解法。
二次不定方程的一般形式：
Ax
Bxy
Cy<
/p>
Dx
Ey<
/p>
F
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
,
A
B
D
,<
/p>
B
C
E
（
皆非零）
，以此
形式
2
2
来研究其解法。
一、二元二次不定方程解的情况
：
（
1
）无解
例
x
2
1
xy
y
2
3
x
4
y
6
0
的整数解。
解：
x
1/
2
y
3
3
y
2<
/p>
22
33<
/p>
2
因为
x
是整数，故
3
y
22
y
33
必须是完全平方
数，
为了找出
y
取哪些整数值时
为完全
平方数，
不妨对
作
< br>如下变形：
3
y
< br>11
2
y
3
或
3
y
<
/p>
9
32
y
9
12
2
2
由此可知当且仅当
9
＜
y
＜
2
时
才可能非负，对
9
＜
y
＜
2
的整数逐一检验，
相应的
均非完全平方数，
故
方程无解。
2
（
2<
/p>
）有限组解。
例
x
2
xy
y
3
x
4
y
6
0
2
解：看成
x
的二次方程得：
x
1/
2
因
y
3
3
y
2
10
y
33
2
或
3
y
3
28
y
3
24
2
< br>3
y
6
26
y
6
<
/p>
15
故只有
6
＜
y
＜
3
时，
才可能非
负，对
6
＜
y
＜
3
的整数逐一检验
只有
y
< br>4
、
2
时，
25
、
1
才是完全平方数，故原方程
x<
/p>
2
x
3
有且仅有四组整数解：
y
4
y
4
x
3
< br>
x
2
y
2
y
2
（
3
）有无穷多解
例
求
x
2
xy
2
y
< br>x
8
y
6
0
的
整数解。
故
由
2
解：因式分解得：
x
2
y
2
x
< br>
y
3
0
x
2
y
2
0
或
x
y
3
0
易知原方程有无穷多组整数解。
二、二元二次不定方程的解法：
< br>（
1
）一般方法（又名判别式法）
：将它看作某一未知数（如
x
）的一元二次方程，由求根公式
求解，并由“另一未知数
3
（如
y
）的取值必须使被开方数为平方数”
的原则找到该未
知数
y
的取值（可将<
/p>
变形或解
0
缩小
y
的取
值范围，
再试验。
）从而求出另一变元
x
进而取得原方程的整数解。
（
2
）特殊解法：对特殊的二元二次不定方程式可化为二元
二次不定方程的方程往往有特殊解法，有观察法，因式分解
法，分离分式法
，奇偶分析法，换元法，配方法，同余法等。
（一）
、因式分解及因式组合法
2
< br>
。对于可化为
xy
a
(
xy
a
是整数的形式的不定方程可用因式分解及因式组合求
解
)
。
例
若
x
＞
y
，求
x
9
y
135
的整数解。
解：
分解因式得
2
x
3
y
x
3
y<
/p>
3
5
，
有整数解
2
2
且满足<
/p>
x
＞
y
的方程组
x
3
y
<
/p>
3
x
3
y
45
x
3
y
45
x
< br>3
y
3
x
3
y
9
x
3
y
15
x
3
y
< br>15
x
3
y
9
解之得整数解：
（
24,7
）
（
24
，
-<
/p>
7
）（
12,1
）
(12,
1)
二．判别式法
3
。巧用判别式，简便快速解题。
2
2
x
y
x
xy
y
例
求不定方程
的整数解
.
解：将方程整理成关于
x
的一元二次方程
x
2
(
y
1)
x
(
y
y
)
0
4
2
判别式
(
y
1)
2
2
4(
y
y
)
2
4
即
<
/p>
(
y
1)
3
因为
y
为整数，所以
y
0,1,2
把
y
0
代入原方程中，得
x
0
或
x
1 <
/p>
把
y
1
代入原方程中，得
x
0
或
x
2
把<
/p>
y
2
代入原方
程中，得
x
1
或
x
2
所以不定方程的解为
:
x
2
x
2
x
1
x
0
x<
/p>
0
y
1
y
2
y
2
y
0
y
1
三．奇偶分析法
4
。
2
2
例
求
x
y
868
，列表如下：
x
y
x
y
x
y
奇
奇
偶
偶
偶
偶
偶
偶
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
奇
因
x
数
设
y
与
x
y
同奇、同偶
，则
x
y
与
x
y
均为偶
x
y
2u
，
x
y
2v
，
代
入
原
方
程
，
得
< br>uv
217
731
1217
4uv
868
5
所<
/p>
以
u
3
1
，
v
7
，
v
代
1
入
方
程
得
或
，
u
2
1
7
x
y
62
x
y
434
x
y
14
x
y
2
解之得原方程的正整数解为：
< br>
x
38
x
218
y
24<
/p>
y
216
<
/p>
四
.
求根公
式法
。求根公式一直以来是一元二次方程的主
要解法，把二元二
次转化为已知的一元二次求解，即化未知
为已知。
2
2
例
4.
求
2
x
y
2
xy
4
x
30
0
的正整数解
.
5
解：把原方程看成
y
的二元二次方程，
y
2
2
xy
(2
x
2
4
x
30)
0
2
x
4
x
2
4(2
x
2
4
x
<
/p>
30)
y
2
x
x
4
x
30
(
x
2)
34
34
2
2
x
因为
x
2
2
所
以
x
2
只可
能取
5,4,3,2,1,0
分别代入方程，
求得正整
数解为：
x
7
x
7
x
5
y
10
y
4
y
10
6
五
.<
/p>
估计法
6
<
/p>
。若一个不定方程有整数解，它当然就有实数
解。当方程的实数解
集为有界集时，就能用这一必要条件确
定整数解的界限，然后逐一检验以确定全部解。应
着眼于整
数，
利用整数的各种性质产生适用的不等式，
进行解得估计。
2
2
5
x
6
xy
7
y
130
的全部整数
例
6.
求不定方程
解
.
解：假设方程有整数解，当然就有实数解。作为
X
的
二次方程其判别式应非负，即
(
6
y
2
)
4
5
7
< br>y
2
4
5
130
0
2
可解得
y
2
5
即
5
y
5
，将
y
在这一<
/p>
范围内的整数逐一代入原方程检验（可首先检查上述判别式
（
3,5
）
是否为完全平方数）
，从而得出方程的全部整数解为
，
(
3,
5)
b
1)(
c
1)
例
< br>
式求求出所有的整数解
a,
b
,
c
使得
(
a
1)(
能
够整除
abc
1
,
其中
1
a
b
<
/p>
c
.
abc
1
s
(
s
N
)
的范围。
解：首先估计
(
a
1)(
b
1)(
c
1)
令
x
a
1,
y
b
1,
z
c
1
则
1
x
y
z
，注意到
(
x
1)(
y
1)(
z
1)
1
1
1
1
1
1
1
s
1
x
yz
x
y
z
x
y
yz
zx
7
(
x<
/p>
1)(
y
<
/p>
1)(
z
1)
s
xyz
1
1
1
(1
)(1
<
/p>
)(1
)
<
/p>
x
y
z
1
1
1
(1
)(1
)(1
)
4
1
2
3
所以
s
2
或
3
若
s
2
则
1
1
1
1
1
1
1
________
（
1<
/p>
）
x
y
z
xy
yz
zx
显然
x
1
，若
x
3
，则
y
4
，
z
5
此时
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
59
<
/p>
1
x
y
z
xy
< br>yz
zx
3
4
< br>5
12
20
15
60
x
2
< br>,
此时
与（
1
）矛盾，因此
<
/p>
1
1
1
1
1
1
y
z
2
y
yz
2
z
2
易知
3
y
5
（当
y
6
时
z
7
，上式不成立）
从而得出
x
,
y
,
z
2,4,14
若
x
3
，则
1
1
1
1
1
1
2
_____________
（
< br>2
）
x
y
z
xy
yz
zx
8