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2021年2月13日发(作者：母亲节背景图片)

不定方程

【知识梳理】

当方程的个数比方程中 未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如

5x-3y=9

就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个 ；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数

就是有限的了。如

5x-3y=9

的解有：



x



2.4



x



2.7



x



3.06



x



3.6

；



；



；

< p>


；

……



y



2.1

y



1

y

< br>

1.5

y



< br>3









如果限定

x

、

y

的解是小于

5

的整数，那么解就只有

x=3

，

y=2

这一组了。因此，研究不定方程主要就是分

析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数 用另一个未知数来表示，然后再一定范围内

试验求解。解题时要注意观察未知数的特点， 尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有

3

个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定 方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制 条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

【例题精讲】

【例

< br>1

】求

3x+4y=23

的自然 数解。

解：先将原方程变形，

y



23



3

x

。可列表试验求解：

4

X

Y

1

5

2

×

3

×

4

×

5

2

6

×

7

×

所以方程

3x+4y=23

的自然数解为



< /p>

x



1



x



5

或

< p>




y



5



y



2

【变式

1-1

】求

3x+2y=25

的自然数解。

< br>

【变式

1-2

】求

4x+5y=37

的自然数解。

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6

页

【例< /p>

2

】求方程组的自然数解：



< p>


5

x



7

y



3

z



25

3

x



y



6

z



2



解：这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其 中的一个未知数，将方程组简化成例

1

那样

的不定方程：





5

x



7

y

< br>

3

z



25



3

x



y



6

z< /p>



2

①

②

由①

×

2+

②，得

13x+13y=52

，即

x+y=4……

③

把③式变形，得

y=4-x

。

因为

x

、

y

、

z

都是正整数，所以

x

只能取

1

、

2

、

3

。

当

x=1

时，

y=3

当

x=2

时 ，

y=2

当

x=3

< br>时，

y=1

把上面的结果再分别代入①或②，得

x=1

，

y=3

时，

z

无正整数解。

x=2

，

y=2

时 ，

z

也无正整数解。

x=3

时，

y=1

时，

z=1

。



4

x



3

y



2

z



7

①

【变式

2-1

】求方程组的自然数解：



。

3

x



2

y



< br>4

z



21

②



【变式

2-2

】求方程组的自然数解：



【例

3

】一个商人将弹子放进两种盒子里， 每个大盒子装

12

个，每个小盒子装

5

个，恰好装完。如果弹子数为

99

，盒 子数大于

9

，问两种盒子各有多少个？

解：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数 解。



7

x



9

y



11

z



68



5

x



7

y



9

z



52

①

②

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页

设大盒 子有

x

个，小盒子有

y

个，则

12x+5y=99

（

x

＞

0

< br>，

y

＞

0

，

x+y

＞

9

）

y=

（

99

－

12y

）

÷

5

经检验，符合条件的解有：





x



7



x



2

或





< br>y



15



y



3

答：大盒子有

2

个，小盒子有

15

个，或 大盒子有

7

个，小盒子有

3

< p>
个。

【变式

3-1

】某校六⑴班学生

48

人到公园划船。如果 每只小船可坐

3

人，每只大船可坐

5< /p>

人。那么需要小船和

大船各几只？（大、小船都有）

【变式

3-2

】甲级铅笔

7

< br>角钱一枝，乙级铅笔

3

角钱一枝，小华用六元钱恰好可以 买两种不同的铅笔共几枝？

【例

4< /p>

】买三种水果

30

千克，共用去

80

元。其中苹果每千克

4

元，橘子每千克

3

元，梨每千克

2

元。问三种水

果各买了多少千克？

< /p>

解：设苹果买了

x

千克，橘子买了

y

千克，梨买了（

30

－

x

－

y

） 千克。根据题意得：

4x+3y+2×

（

30

－

x

－

< br>y

）＝

82

y

x

＝

10

－

2

由式子可知：

y<20

，则

y

必须是

2

的倍数，所以

y

< p>
可取

2

、

4

、

6

、

8

< br>、

10

、

12

< br>、

14

、

16

< br>、

18

。因此，原方程

的解如下 表：

苹果

橘子

梨

9

2

19

8

4

18

7

6

17

6

8

16

5

10

15

4

12

14

3

14

13

2

16

12

1

18

11

【变式

4-1

】有红、黄、蓝三种颜色的皮球共

< p>
26

只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的

9

倍，蓝皮球有多少只？

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