培优训练3(—不定方程、方程组应用题)
-
星源学校七年级数学培优训练题
班次
姓名
方程组——不定方程、二元一次方程组应用题
基本概念：
1
、若一个方程中出现两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。这个“不定方程”是指方程解
的不确定性。
2
、
若一个方程组中未知数的个数比方程的个数多，
则称该方程组为不定方
程组。
这个不定也是指方
程组的解的不确定。
< br>
3
、形如
ax+by=c
（
a
、
b
、
c
都是整数，且
ab
≠
0)
的方程称为二元一次不定方程，
二元一次不定方程
是最简单的不定方程。一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次
不定方程问题加以解决，
设
a
、
b
、
c
、
d
为整数，则不定方程
ax+by=c
有如下两个重要命题：
（
1
）若（
a
，
b
）
=d
，且
d
不能整除
c
，则不定方程
< br>ax+by=c
没有整数解。
（
2
）若
x
0
,
y
0
是方程
ax+b
y=c
且（
a
，
b
）
=1
的一组整数解（称特解）<
/p>
，则
x
x
0
bt
（
t
为整
y
y
0
at
数）是方程的全部
整数解（称通解）
。
4
、解不定方程方程（组）没有固定的方法，需要根据方程（组）的特点进行恰当的变形，并且灵活
运用：奇偶性、
整数的整除性质、分离整系数、穷举、不等式分析等方法。
<
/p>
5
、求整系数不定方程
ax+by=c<
/p>
的整数解，通常有以下几个步骤：
（
1
）判断有无整数解；
（
2
）求一
个特解；
（
3
）写出通解
（
4
）由整数
t
同时
要满足条件（不等式组）
，代入（
2
）
中表达式，写出不定方程的正整数解。
6
、解不定方程组的基本方法：
（
1
）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示
（
2
）通过消元，将问题转化为不定方程求
解
<
/p>
（
3
）运用整体思想方法求解。
练习：
1
、判断下列不定方程是否有整数解，若有求出其通解
①
2x+4y=7
②
2x+5y=1
2
、求不
定方程
31x+23y=185
的整数解。
3
、
①求方程
7x+4y=100
的正整数解：
②求方
程
6x+22y=90
的非负整数解
1
星源学校七年级数学培优训练题
班次
姓名
4
、小张带了
5
角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每
块
3
分，铅笔每支
1
< br>角
1
分，
5
角钱刚好买几块橡皮和
几只铅笔？
5
、公鸡
一只值钱
5
，母鸡一只值钱
3
，小鸡三只值钱
1
。今有钱
100
，买鸡
100
只，公鸡、母
鸡、小
鸡各几只？
6
、篮、排、足球放在一堆共
25
个，其中篮
球的个数是足球的
7
倍，那么其中排球的个数是多少？
7
、若正整数
x
，
y
满足
2004x=15y
，则
x+y
的最小值是多少？
8
、一个盒子里装有不多于
200
粒棋子，如果每次
2
粒子、
3
粒、
4
粒或
6
粒的取出，最终盒内都剩
1
粒棋
子，如果每次
11
粒地取出，那么正好取完，问：盒子里共有多
少粒棋子？
2
星源学校七年级数学培优训练题
班次
姓名
【练习
16
】
3
星源学校七年级数学培优训练题
班次
姓名
【练习
22
】
【练习
23
】一个自然数
< br>N
被
10
除余
< br>9
，被
9
除余
< br>8
，被
8
除余
< br>7
，被
7
除余
< br>6
，被
6
除余
< br>5
，被
5
除余
< br>4
，被
4
除余
< br>3
，被
3
除余
< br>2
，被
2
除余
< br>1
，则
N
的最小值是多少
/
7
、列方程组解应用题：关键是找出
题中的已知量，未知量，及它们之间的等量关系，其中包含数量
之间的基本关系，
题中所给的等量关系，
及一些隐含关系。<
/p>
可以根据需要设多个未知数，
列多元方程解题。
< br>一般有
几个未知数就要有
几个
方程，
当方程个数少于未知数个数时，
按照不定方程解法，
和题中的一些限制条件去找合适
的解。
【练习
24
】
【练习
25
】
4