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2021年2月13日发(作者：gougou)

列不定方程解应用题

教学目标

1

、

熟练掌握不定方程的解题技巧

2

、

能够根据题意找到等量关系设未知数解方程

3

、

学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明

历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元

3

世纪就开始研究不定方程，因此常称

不定方程为丢番图方程．

中国是研究不定方程最早的国家，

公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，

公元

5

世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题 标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的

大衍求一术将不定方程与 同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题 的重要方

法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习 中，不定方程也同样有着重

要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这 个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具

解题。

二、运用不定方程解应用题步骤

1< /p>

、根据题目叙述找到等量关系列出方程

2

、根据解不定方程方法解方程

3

、找到符合条件的解

模块一、不定方程与数论

【例

1

】

把

2001

拆成两个正整数的和，一个 是

11

的倍数（要尽量小）

，一个是< /p>

13

的倍数（要尽量大）

，求这

两个数．

【巩固】

甲、乙二人搬砖，甲搬的砖 数是

18

的倍数，乙搬的砖数是

23< /p>

的倍数，两人共搬了

300

块砖．问：< /p>

甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？

【巩固】

现有足够多的

5

角和

8

角的邮票，用来付

4.7

元的邮资，问

8

角的邮票需要多少张？

【例

2

】

用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的

16< /p>

倍，则满足条件的所有自然数之和为

_____________ ______.

模块二、不定方程与应用题

【例

3

】

有两种不同规格的油桶若干个，

大的能装

8

千克油，

小的能装

5

千克油，

44

千克油恰好装满这些油

桶．问：大、小油桶各几个？

【例

4

】

在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学

“< /p>

小博士

”

，他们让

“

小博士

”

猜他们各

命中多少次．

“

小博士

”

让丁丁把自己命中的次数乘以

5

，让冬冬把 自己命中的次数乘以

4

，再把两

个得数 加起来告诉他，

丁丁和冬冬算了一下是

31

，

“

小博士

”

正确地说出了他们各自命中的次数．

你

知道丁丁和冬冬各命 中几次吗？

【巩固】

某人打靶，

8

发共打了

53

< p>
环，全部命中在

10

环、

7

环和

5

环上．问：他命中

< p>
10

环、

7

环和

5

环各几

发？

1

【例

5

】

某次聚餐，每一位男宾付

130

元，每一位女宾付

100

元，每带一个孩子付

60

元，现在有

的成人各

3

带一个孩子，总共收了

2160

元，问：这个活动共有多少人参加

(

成人和孩子

)

？

1

【巩固】

单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有

的职工各带一个孩子参加< /p>

．

男职工

3

每人 种

13

棵树，女职工每人种

10

棵树，每个孩子都种

6

棵树，他们一共种了< /p>

216

棵树，

那么其中有

多少名男职工？

【例

6

】

张师傅每天能缝制

3

件上衣，或者

9

件裙裤， 李师傅每天能缝制

2

件上衣，或者

7< /p>

件裙裤，两人

20

天共缝制上衣和裙裤< /p>

134

件，那么其中上衣是多少件？

【巩固】

小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗

叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声

统计了

15

天，发现它们并不是每天早晚都见 面．在这

15

天内它们共叫了

61

声．问：波斯猫至少叫

了多少声？

【例

7

】

甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个

A

< br>配件与一个

B

配件组成．甲每天生产

300

个

A

配件，

或生产

150

个

B

< p>
配件；乙每天生产

120

个

A

配件，或生产

48

个

B

配件．为了在

10

天内生 产出更

多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？

【巩固】

某服装厂有甲、乙两个生产 车间，甲车间每天能生产上衣

16

件或裤子

20

件；乙车间每天能生产上

衣

1 8

件或裤子

24

件．现在要上衣和裤子 配套，两车间合作

21

天，最多能生产多少套衣服？

< p>

【例

8

】

有一项工程，

< br>甲单独做需要

36

天完成，

乙单 独做需要

30

天完成，

丙单独做需要< /p>

48

天完成，

现在由

甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这

项工程也用了整数天，那么丙休息了

天．

【例

9

】

实验小学的五年级学生租车去野外开展

“

走向大自然，

热爱大自然

”

活动，< /p>

所有的学生和老师共

306

人恰好坐满了

5

辆大巴车和

3

辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在

20

人到

< p>
25

人之间，求每辆

大巴车的载客人数．

【巩固】

实验小学的五年级学生租车 去野外开展

“

走向大自然，热爱大自然

”

活动，所有的学生和老师共

306

人 恰好坐满了

7

辆大巴车和

2

< p>
辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在

20

人到

25

人之间，求每辆

大巴车的载客人数 ．

【巩固】

每辆大汽车能容纳

54

人，每辆小汽车能容纳

36

人．现有

378

人，要使每个人都上车且每辆车都装< /p>

满，需要大、小汽车各几辆？

【巩固】

小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：

“

< br>你养了几只兔和鸡？

”

小峰说：

“

我养的兔比鸡多，鸡

兔共

24

条腿．

”

那么小峰养了多少兔和鸡？

【例

10

】

一个家具店在

1998

年总共卖了

213

张 床．

起初他们每个月卖出

25

张床，< /p>

之后每个月卖出

16

张床，

最后他们每个月卖出

20

张床．问：他们共有多少个 月是卖出

25

张床？

【例

11

】

五年级一班共有

36

人，每人参加一个 兴趣小组，共有

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五个小组．若参加

A

组

的有

15

人，参加< /p>

B

组的人数仅次于

A

组，参加

C

组、

D

组的人数相同，参加

E

组的人数最少，只

有

4

人．那么，参加

B

组的有

_______

人．

【例

12

】

将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为

37

，

23

，

41

.

甲

乙两组人合起 来的平均年龄为

29

；乙丙两组人合起来的平均年龄为

33

．则这一群人的平均年龄

为

.

【例

13

】

14

个大、中、小号钢珠共重

100

克，大号钢珠每个重

< p>
12

克，中号钢珠每个重

8

克，小号钢珠每个重

5

克．问：大、中、小号钢珠各有多少个 ？

【巩固】

袋子里有三种球，分别标有 数字

2

，

3

和

5

，小明从中摸出

12

个球，它们的数字之和是

43

．问：

< br>小明最多摸出几个标有数字

2

的球？

【例

14

】

公鸡

1

只值钱

5

，母鸡一只值钱

3

，小鸡三只值钱< /p>

1

，今有钱

100

，买鸡

100

只，问公鸡、母鸡、小

鸡各买几只？

【巩固】

小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得

9

分，套中小猴得

< p>
5

分，套中小狗得

2

分． 小明共套了

10

次，每

次都套中了，< /p>

每个小玩具都至少被套中一次，

小明套

1 0

次共得

61

分．

问：

小明至多套中小鸡几次？

【例

15

】

开学前，宁宁拿着妈妈给的< /p>

30

元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支

4

元，铅笔每支

3

元．宁宁买完

两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？

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